Beskrivande Beslutsteori

Innehållsförteckning:

Beskrivande Beslutsteori
Beskrivande Beslutsteori
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Beskrivande beslutsteori

Först publicerad tis 26 september 2017

Den beskrivande beslutsteorin handlar om att karakterisera och förklara regelbundenheter i de val som människor är benägna att göra. Det skiljer sig vanligt från en parallellföretag, normativ beslutsteori, som syftar till att redogöra för de val som människor borde bortskaffas. Mycket av arbetet inom detta område har ägnats åt att bygga och testa formella modeller som syftar till att förbättra den beskrivande adekvatheten för ett ramverk som kallas”Subjektivt förväntat verktyg” (SEU). Denna tillräcklighet ifrågasattes först i mitten av förra seklet och utmanades ytterligare av en mängd experimentellt arbete inom psykologi och ekonomi från mitten av 1960-talet och framåt.

Detta inlägg skisserar först de grundläggande åtagandena från SEU, innan det går vidare till några av dess mest kända empiriska brister och ett litet urval av de modeller som har föreslagits att ersätta det. Förhållandet mellan beskrivande beslutsteori och dess normativa motsvarighet diskuteras sedan, vilket ger några kopplingar till ett antal relaterade ämnen i filosofisk litteratur. [1]

  • 1. Standardmodellen: Subjektivt förväntat verktyg

    • 1.1 Savages representationssats
    • 1.2 Savages bevis
    • 1.3 Sannolikhetstrekanten
  • 2. Frågan om självständighet

    • 2.1 Allais paradoxer
    • 2.2 Teoretiska svar

      • 2.2.1 Probabilistisk sofistikering
      • 2.2.2 Modeller med Betweenness
      • 2.2.3 Modeller utan betweenness
  • 3. Frågan om sannolik tro

    • 3.1 Ellsbergs trefärgsparadox
    • 3.2 Teoretiska svar

      • 3.2.1 Icke-additiv”sannolikheter”
      • 3.2.2 Flera tidigare
  • 4. Frågan om svag ordning

    • 4.1 Transitivitet
    • 4.2 Fullständighet
  • 5. Beskrivande vs normativ beslutsteori
  • 6. Vidare läsning
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Standardmodellen: Subjektivt förväntat verktyg

Den kanoniska valteorin - Subjektivt förväntat nytta (SEU) - gör det möjligt för Savage (1954), baserat på tidigare bidrag från De Finetti (1937), Ramsey (1931) och von Neumann och Morgenstern (1947). Det erbjuder en homogen behandling av båda besluten under "risk" -situationer där beslutsfattaren har kunskap om, eller har fast övertygelse om, de objektiva sannolikheterna för alla händelser som är relevanta för framgången av hans eller hennes handlingar - och beslut under "osäkerhet"”Som han eller hon inte gör. I sin icke-normativa inkarnation föreslår den åtminstone att medel kan beskrivas som om:

  1. koppla till de möjliga konsekvenserna av de handlingar som finns tillgängliga för två numeriska mängder:

    1. en”nytta” som motsvarar i vilken grad de önskar att resultatet skulle inträffa och
    2. en "subjektiv sannolikhet" motsvarande deras grad av förtroende för förekomsten av resultatet med tanke på handlingens utförande, en grad av förtroende som kanske eller inte kan ges genom en motsvarande bedömning av objektiva sannolikheter;
  2. att vara sådana att deras preferenser mellan handlingar, och därmed deras dispositioner att välja vissa handlingar framför andra, bestäms av dessa kvantiteter på ett sådant sätt att handlingar rangordnas av deras subjektiva förväntade användbarhet, dvs den subjektiva sannolikhetsviktade summan av verktygen för deras möjliga resultat.

Ontologiskt djärvare inkarnationer av uppfattningen säger att agenter är så beskrivbara eftersom de verkligen har grader av tro och önskningar, introspektivt bekanta psykologiska tillstånd, som bestämmer deras preferenser och val på ett sådant sätt.

Ett antal viktiga formella resultat, så kallade”representationsteorem”, visar att detta påstående om beskrivbarhet kan härledas från en uppsättning av prima facie troliga allmänna principer, alias”postulater” eller”axiomer”, som rör agenternas preferenser framför handlingar. Dessutom är inte bara dessa axiomer kollektivt tillräckliga för att härleda SEU: s påstående, utan en betydande korrekt delmängd av dem visar sig också vara individuellt nödvändig. Det är inte förvånande att mycket av arbetet med att utvärdera SEUs empiriska tillräcklighet har fokuserat på testningen av de nämnda axiomerna. Sådana tester kan i bästa fall undergräva en viktig anledning till att stödja påståendet och i värsta fall ge skäl att avvisa det. Följaktligen är en kort skiss av Savages eget tidiga resultat i ordning.

1.1 Savages representationssats

I Savages ramverk modelleras handlingar som funktioner som kartlägger möjliga tillstånd i världen till resultat, följderna, om du vill, av att genomföra den aktuella handlingen i relevant naturtillstånd. Uppsättningen av handlingar kommer att betecknas med (mathcal {A} = {f_1, f_2, / ldots g_1, g_2 / ldots }), uppsättningen av tillstånd av (mathcal {S} = {s_1, s_2, / ldots }) och uppsättningen av resultat med (mathcal {X} = {x_1, x_2, / ldots, x_n }). För nuvarande ändamål kan det antas att de handlingar som beaktas är enkla, dvs. att deras räckvidd är begränsad. En handling kommer att kallas "konstant" om och bara om den kartlägger alla tillstånd på samma resultat. Uppsättningar av tillstånd, även kända som händelser, kommer att betecknas med stora bokstäver (A_1, A_2, / ldots, B_1, B_2, / ldots) etc. Uppsättningen av sådana händelser kommer att betecknas med (mathcal { E}).(E_i ^ f) kommer att beteckna den uppsättning stater som handlingen (f) kartlägger utfallet (x_i), dvs ({s / in / matematisk {S}: f (s) = x_i }). Det kommer också att vara användbart att beteckna med (fAg) den handling som kartlägger tillstånden i (A) till samma resultat som (f) gör och staterna utanför (A) till samma resultat. som (g) gör.

Agentens val av dispositioner vid en viss tidpunkt tas för att bestämmas av hans eller hennes preferenser, på ett sådant sätt att agenten från alla uppsättningar av särskilda handlingar är skyldig att välja alla och endast de handlingar som ingen annan handling gör är absolut föredraget. (f / succeq g) kommer att beteckna det faktum att en agent tycker att handling (f) är inte mindre önskvärd än handling (g). (succ) (strikt preferens) respektive (sim) (likgiltighet) står för de asymmetriska och symmetriska delarna av (succeq), så att (f / succ g) iff (f / succeq g) men inte (g / succeq f) och (f / sim g) iff både (f / succeq g) och (g / succeq f). Det är bekvämt att utöka detta preferensförhållande till uppsättningen av resultat genom att ställa in, för alla utfall (x_1) och (x_2),(x_1 / succeq x_2) iff den ständiga handlingen som ger (x_1) i alla tillstånd är svagt att föredra framför den som ger (x_2) i alla tillstånd.

Savage bevisar att det finns en viss specifik begränsning för preferensbeställningar framför handlingar som kommer att vara uppfyllda om och bara om denna beställning kan representeras av en verkligt värderad funktion (U) med domän (mathcal {A}) (så att (f / succeq g) iff (U (f) succeq U (g))), så att

(tag {1} U (f) = / sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i))

där (u: / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) är en följdverktygsfunktion unik upp till positiv linjär transformation och (P: / mathcal {S} mapsto [0,1]) är en unik subjektiv sannolikhetsfunktion, tillfredsställande (P (varnothing) = 0), (P (mathcal {S}) = 1), och den begränsade tillsatsegenskapen (P (A / cup B) = P (A) + P (B)) för alla osammanhängande händelser (A, B). Med andra ord returnerar (U) summan av verktygen för de möjliga utfallen, var och en multiplicerad med den subjektiva sannolikheten för uppsättningen av tillstånd som kartläggs på det resultatet.

För det fall där (mathcal {X}) är begränsad, är Savages uppsättning axiomer sex. Endast tre av dessa visar sig dock i den efterföljande diskussionen. Den första kräver ingen kommentar:

Svag ordning (succeq) är en svag ordning, det vill säga: den är både övergående (för alla handlingar (f, g, h): if (f / succeq g) och (g / succeq h), sedan (f / succeq h)) och fullständig (för alla handlingar (f, g): antingen (f / succeq g) eller (g / succeq f)).

Den andra berättar att man, när man jämför två handlingar, ignorerar deras beteende på uppsättningen av tillstånd där de har identiska konsekvenser:

Sure-Thing För alla handlingar (f, g, h, h ') och alla händelser (A): (fAh / succeq gAh) iff (fAh' / succeq gAh ').

Den tredje ges som följer:

Svag jämförande sannolikhet för alla resultat (x_1, x_2, x_3, x_4) och händelser (A, B): om (x_1 / succ x_2) och (x_3 / succ x_4), sedan (x_1Ax_2 / succeq x_1Bx_2) iff (x_3Ax_4 / succeq x_3Bx_4).

Skälen för sitt förslag ligger i idén att om (x_1 / succ x_2), då (x_1Ax_2 / succeq x_1Bx_2) återspeglar ett åtagande till påståendet att (A) är minst lika sannolikt som (B), och därmed måste också (x_3Ax_4 / succeq x_3Bx_4), när (x_3 / succ x_4).

Dessa tre villkor, det bör noteras, är individuellt nödvändiga för SEU-representabilitet, så att varje SEU-maximizer måste uppfylla dem. Dessutom föreslår Savage två ytterligare icke-nödvändiga, alldeles "strukturella", förhållanden - kända som "Non-Degeneracy" och "Small Event Continuity", samt ett ytterligare, nödvändigt villkor för "Eventvis Monotonicity", som berättar oss att resultatet under vissa milda omständigheter kommer resultatet av att ersätta en eller flera händelser av ett givet resultat av en annan ge en föredragen handling om och bara om det nya utfallet är att föredra framför originalet.

1.2 Savages bevis

Med allt detta i hand kan Savages resultat fastställas enligt följande. Först introducerar man en relation mellan "subjektiv jämförande sannolikhet" (unrhd), så att (A / unrhd B) iff för alla resultat (x_1) och (x_2) så att (x_1 / succ x_2), (x_1Ax_2 / succeq x_2Ax_1) iff (x_1Bx_2 / succeq x_2Bx_1). Savages axiomer kan sedan visas för att säkerställa att (unrhd) uppfyller ett antal lämpliga egenskaper, med Continuity för Small Event som säkerställer att (unrhd) kan representeras av en subjektiv sannolikhetsfunktion (P) som är unik. Det är värt att notera att i närvaro av svag jämförande sannolikhet är det huvudsakligen Sure-Thing-principen som tillåter härledningen av additivitetsegenskapen för (P).

För det andra, med användning av dessa axiomer igen, kan det sedan konstateras att en agent är likgiltig mellan alla två handlingar som, för varje utfall, tilldelar lika sannolikheter till respektive uppsättning av tillstånd att de varje kartlägger på det resultatet. Med andra ord:

Tillståndsneutralitet Om (P_f = P_g), då (f / sim g), där (P_f (x_i) = P (E ^ f_i)).

Eftersom det också kan visas att för varje lotteri (P) i (matematik {P}) finns det en handling (f) så att (P_f = P), det viktiga resultat av detta resultat är att man effektivt kan förenkla representationen av agentens preferenser framför handlingar, omforma dem som preferenser framför den mindre uppsättningen (mathcal {P}) av så kallade subjektiva lotterier, dvs subjektiva sannolikhetsfördelningar över utfall. För att förenkla notationen kommer preferensrelationen över (mathcal {P}) att betecknas med samma symbol, (succeq), så att sammanhanget kan disambiguera.

En ytterligare tillämpning av axiomerna låter oss konstatera att dessa preferenser framför lotterier uppfyller tre viktiga egenskaper: (i) ett "Mixture Weak Order" -villkor, vilket kräver att preferenser framför lotterier är transitiva och fullständiga, (ii) ett "Mixture Continuity" -villkor vars detaljer inte är av betydelse här och slutligen (iii) ett "oberoende" villkor, som, tillsammans med beställningsvillkoret, kommer att vara i fokus för en betydande diskussion i det följande.

För att presentera detta sista villkor krävs ytterligare en definition, tillsammans med en notationsbit: För två lotterier (P_f) och (P_g) och (lambda / i [0,1]), kan man definiera ett tredje enkla lotteri (lambda P_f + (1- / lambda) P_g) i (matematik {P}), (lambda) - blandningen av (P_f) och (P_g), genom att ställa in ((lambda P_f + (1- / lambda) P_g) (x)), sannolikheten tilldelad utfallet (x) av blandningslotteriet, lika med (lambda P_f (x) + (1- / lambda) P_g (x)). Det är heuristiskt användbart att tänka på (lambda P_f + (1- / lambda) P_g) som ett högre ordningslotteri som ger en sannolikhet för (lambda) att spela lotteri (P_f) och ett komplement sannolikheten för att spela (P_g). Villkoret lyder då:

Oberoende för alla handlingar (f, g) och (h) och alla (lambda / in (0,1]): (P_f / succeq P_g) iff (lambda P_f + (1 - / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h).

Beviset avslutas sedan genom att vädja till ett resultat av von Neumann och Morgenstern (1947), vilket visar att den nämnda trio av egenskaper är nödvändig och tillräcklig för att representanten (succeq) ska kunna representeras av en funktion (U) det där

[U (P_f) = / sum / limits_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i),)

där (u: / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) är en följdverktygsfunktion unik upp till positiv linjär transformation.

1.3 Sannolikhetstrekanten

Sannolikhetstriangeln (alias "Marschak-Machina triangel") ger en användbar visuell representation av preferenser framför utrymmet för lotterier över ({x_1, x_2, x_3 }), med (x_3 / succ x_2 / succ x_1). Eftersom för alla (P / i / matematik {P}), (P (x_2) = 1- P (x_1) -P (x_3)) kan man representera situationen tvådimensionellt, med lotterier som dyker upp som punkter i en enhetstriangel där den horisontella axeln ger oss (P (x_1)) och den vertikala ger oss (P (x_3)). De nordvästra, sydvästra och sydöstra hörnen motsvarar de lotterier som ger visserligen (x_3, x_2) och (x_1).

Nu, som lätt kan demonstreras, är SEU engagerat i

Stokastisk dominans För alla handlingar (f) och (g): om, för något resultat (x), är sannolikheten enligt (P_f) att få ett resultat som svagt föredras framför (x)) är minst lika stor som motsvarande sannolikhet enligt (P_g) (med andra ord: (sum _ { {y / in / matematik {X}: y / succeq x }} P_f (y)) (geq) (sum _ { {y / in / matematik {X}: y / succeq x }} P_g (y))), sedan (P_f / succeq P_g).

Ovanstående princip följer faktiskt från Oberoende och är i själva verket likvärdigt med Savages Eventvis Monotonicity-tillstånd, med tanke på de andra förutsättningarna på plats (Grant 1995). Därför blir lotterier alltmer föredragna både när man flyttar norrut och när man flyttar västerut, eftersom man, genom att göra endera, flyttar sannolikheten från ett mindre till ett mer föredraget resultat (från (x_2) till (x_3) när man flyttar norrut och från (x_1) till (x_2) när du flyttar västerut). Likgiltighetskurvorna är därmed lutande uppåt. Brantare sluttningar motsvarar större riskaversion, i följande mening: nordöstra rörelser ökar spridningen av distributionen, dvs graden av risk som är involverad, flyttande sannolikheter från det mellersta resultatet ((x_2)) till extrema ((x_1) och (x_3)). Ju brantare likgiltighetskurvan,ju större en ökning av sannolikheten för bästa resultat krävs för att kompensera för denna ökade risk. SEU kräver tydligt att likgiltighetskurvor är både linjära och parallella.[2] För att illustrera:

höger triangel med 90 graders vinkel längst ner till vänster och märkt '0'. De andra två vinklarna är vardera märkta '1'. Den vertikala sidan är märkt 'P (x 3)' och den horisontella sidan märkt 'P (x 1)'. Fem parallella diagonala linjer i triangeln från vänster till vänster uppe till höger
höger triangel med 90 graders vinkel längst ner till vänster och märkt '0'. De andra två vinklarna är vardera märkta '1'. Den vertikala sidan är märkt 'P (x 3)' och den horisontella sidan märkt 'P (x 1)'. Fem parallella diagonala linjer i triangeln från vänster till vänster uppe till höger

Figur 1

Även om SEU fortsätter att åtnjuta brett stöd som en normativ modell för valbeteende (men se avsnitt 5 nedan), anses det inte längre vara beskrivande tillräckligt. Ett antal väsentliga avvikelser från dess förutsägelser noterades redan på 1950-talet och början av 1960-talet av Allais (1953a, b) och Ellsberg (1961) och undersöktes ytterligare under 1970-talet. Dessa observationer ledde till utvecklingen av alternativa modeller vars egna prediktiva konsekvenser har blivit i fokus för omfattande tester under de senaste tre decennierna eller så. [3]

2. Frågan om självständighet

2.1 Allais paradoxer

Allais (1953a: 527) ansåg hypotetiska preferenser avslöjade genom val som tagits från två respektive menyer av lotterier som gav olika inkrement i förmögenhet med olika objektiva sannolikheter, den ena innehåller (P_1) och (P_2) nedan, den andra (P_3) och (P_4):

cirkel med P1 med en rad märkt '1' till höger och pekar på '$ 1M'
cirkel med P1 med en rad märkt '1' till höger och pekar på '$ 1M'

(A)

cirkel med P2 med en linje märkt '.1' till '$ 5M' och en rad märkt '.89' till '$ 1M' och en rad märkt '.01' till '$ 0' '
cirkel med P2 med en linje märkt '.1' till '$ 5M' och en rad märkt '.89' till '$ 1M' och en rad märkt '.01' till '$ 0' '

(B)

cirkel med P3 med en rad märkt '.11' till '$ 1M' och en rad märkt '.89' till '$ 0' '
cirkel med P3 med en rad märkt '.11' till '$ 1M' och en rad märkt '.89' till '$ 0' '

(C)

cirkel med P4 med en rad märkt '.1' till '$ 5M' och en rad märkt '.9' till '$ 0' '
cirkel med P4 med en rad märkt '.1' till '$ 5M' och en rad märkt '.9' till '$ 0' '

(D)

figur 2

Han hävdade att man för en väsentlig del av agenterna skulle finna att (P_ {1} succ P_ {2}) och (P_ {4} succ P_ {3}) (kalla dessa”Allais” preferenser”). Men på antaganden att (i) försökspersonernas grader av tro överensstämmer med de angivna objektiva sannolikheterna och (ii) kan utfallen karakteriseras tillräckligt helt i termer av tillhörande förändringar i förmögenhetsnivå, en sådan kombination av preferenser löper i strid med självständighet. Mer specifikt strider det mot principens speciella fall, enligt vilket ersättningen av en gemensam "konsekvens", dvs. lotteri, i ett par blandningar lämnar preferensordningen oförändrad:

Vanlig konsekvens för alla handlingar (f, g, h, h ') och (lambda / in (0,1]):

(börja {split} lambda P_f + (1- / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h \\ / textrm {iff} lambda P_f + (1- / lambda) P_ { h '} succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_ {h'}. / slut {split})

För att se varför, låt (lambda = 0.11), (Q_1) ("konsekvensen" som är gemensam för (P_1) och (P_2)) vara ett lotteri som ger $ (1) M för säker, (Q_2) vara ett lotteri som ger $ (5) M med sannolikhet (10/11) och ($ 0) annars, och slutligen (Q_3) ("konsekvensen" som är vanligt för (P_3) och (P_4)) ett lotteri som ger ($ 0) säkert. (P_1) visar sig vara en (lambda) - blandning av (Q_1) och (Q_1), (P_2) en av (Q_2) och (Q_1), (P_3) en av (Q_1) och (Q_3) och (P_4) en av (Q_2) och (Q_3). Detta ses förmodligen bäst genom att överväga beslutsträd som representerar motsvarande sammansatta lotterier:

cirkel med P1 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q1 som har en linje märkt '1' till '$ 1M'. En annan rad från P1 märkt '1' går till en cirkel också med Q1 som har en rad märkt '1' till '$ 1M'
cirkel med P1 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q1 som har en linje märkt '1' till '$ 1M'. En annan rad från P1 märkt '1' går till en cirkel också med Q1 som har en rad märkt '1' till '$ 1M'

(A)

cirkel med P2 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q2 som har en linje märkt '10 / 11 'till' $ 5M 'och en linje märkt' 1/11 'till' $ 0 '. En andra rad från P1 märkt '.89' går till en cirkel med Q1 som har en rad märkt '1' till '$ 1M' ''
cirkel med P2 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q2 som har en linje märkt '10 / 11 'till' $ 5M 'och en linje märkt' 1/11 'till' $ 0 '. En andra rad från P1 märkt '.89' går till en cirkel med Q1 som har en rad märkt '1' till '$ 1M' ''

(B)

cirkel med P3 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q1 som har en linje märkt '1' till '$ 1M'. En annan rad från P1 märkt '1' går till en cirkel med Q3 som har en rad märkt '1' till '$ 0'
cirkel med P3 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q1 som har en linje märkt '1' till '$ 1M'. En annan rad från P1 märkt '1' går till en cirkel med Q3 som har en rad märkt '1' till '$ 0'

(C)

cirkel med P4 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q2 som har en linje märkt '10 / 11 'till' $ 5M 'och en linje märkt' 1/11 'till' $ 0 '. En andra rad från P1 märkt '.89' går till en cirkel med Q3 som har en linje märkt '1' till '$ 0' ''
cirkel med P4 med en linje märkt '.11' till en cirkel med Q2 som har en linje märkt '10 / 11 'till' $ 5M 'och en linje märkt' 1/11 'till' $ 0 '. En andra rad från P1 märkt '.89' går till en cirkel med Q3 som har en linje märkt '1' till '$ 0' ''

(D)

Figur 3

Resultatet av detta av Common Consequence är då den (P_1 / succeq P_2) iff (P_3 / succeq P_4). [4]

Sannolikhetstriangeln ger en användbar illustration av oförenlighet med Allais-preferenser med SEU. Faktum är att segmenten som förbinder (P_1) och (P_2) å ena sidan och (P_3) och (P_4) å andra sidan är parallella, så att en EU-maximiserare, vars likgiltighetskurvor är också parallella, skulle vara oförmögen att visa modala preferenser, eftersom inga par likgiltighetskurvor skulle kunna vara, såsom krävs, så att man korsar segmentet ([P_1, P_2]) underifrån medan den andra korsar ([P_3, P_4]) från ovan:

Liknar figur 1 förutom inga diagonala linjer och den vertikala sidan är märkt "P (x 1)" och den horisontella "P (x 3)". Dessutom startar ett kort vertikalt segment i höger vinkel och är märkt "P 1" längst ner och "P 2" upptill. Ett annat kort vertikalt segment som verkar ha samma längd är till höger som ansluter triangelns horisontella linje till dess hypotenus; det är märkt "P 3" på botten och "P 4" på toppen
Liknar figur 1 förutom inga diagonala linjer och den vertikala sidan är märkt "P (x 1)" och den horisontella "P (x 3)". Dessutom startar ett kort vertikalt segment i höger vinkel och är märkt "P 1" längst ner och "P 2" upptill. Ett annat kort vertikalt segment som verkar ha samma längd är till höger som ansluter triangelns horisontella linje till dess hypotenus; det är märkt "P 3" på botten och "P 4" på toppen

Figur 4

Förutom ovanstående, som har blivit känt som Common Consequence-problemet, föreslogs ytterligare en fråga, Common Ratio-problemet, av Allais (1953a: 529–530). Svårigheten den här gången gällde en ytterligare följd av oberoende, som säger att preferensordningen mellan två identiskt viktade blandningar som delar ett gemensamt lotteri av komponenter inte påverkas av en förändring i blandningsvikten:

Gemensamt förhållande för alla handlingar (f, g, h) och (lambda, / gamma / in (0,1]):

(börja {split} lambda P_f + (1- / lambda) P_h / succeq / lambda P_g + (1- / lambda) P_h \\ / textrm {iff} gamma P_f + (1- / gamma) P_h / succeq / gamma P_g + (1- / gamma) P_h. / End {split})

En presentation av relevanta par alternativ kommer inte att ges här. Notera helt enkelt att även här problematiska val visar sig involvera två par alternativ vars respektive motsvarande segment i sannolikhetstriangeln löper parallellt. [5]

Ett antal experimentella studier på 1960- och 1970-talet bekräftade därefter robustheten av effekterna som avslöjades av Allais. Slovic & Tversky (1974) rapporterar till exempel att 17 av 29 (59%) av försökspersonerna i sin studie uppvisar Allais preferenser i sin undersökning av problemet med gemensam konsekvens. Se MacCrimmon & Larson (1979) för en användbar sammanfattning av detta och annat tidigt arbete och ytterligare information om deras egna.

Sedan slutet av 1970-talet har ett stort antal generaliseringar av SEU utformats för att tillgodose de problematiska preferensmönstren. En kort undersökning av dessa finns i följande underavsnitt.

2.2 Teoretiska svar

2.2.1 Probabilistisk sofistikering

En väsentlig del av svaren på fenomen av Allais-typ har involverat generaliseringar av SEU som förblir konservativa nog för att bevara kravet på vad Machina & Schmeidler (1992) kallar”sannolikhetsförfining”: att preferenser framför handlingar minskar till preferenser framför lotterier och att dessa i sin tur följer blandningens svaga ordning, blandningskontinuitet och stokastisk dominans, om inte självständighet. [6]Machina & Schmeidler erbjuder en axiomatisk karaktärisering av probabilistiskt sofistikerade preferenser som ger upp Savages Sure-Thing-tillstånd, som spelar en kritisk roll i härledningen av självständighet och behåller resten av hans villkor. Eftersom Sure-Thing-principen dock också spelar en viktig roll för att säkerställa förekomsten av en lämplig sannolikhetsfördelning över uppsättningen av händelser, stärker de villkoren för svag jämförande sannolikhet till följande:

Stark jämförande sannolikhet för alla resultat (x_1, x_2, x_3, x_4), handlingar (f, g) och osammanhängande händelser (A, B): if (x_1 / succ x_2) och (x_3 / succ x_4), sedan (x_1Ax_2Bf / succeq x_2Ax_1Bf) iff (x_3Ax_4Bg / succeq x_4Ax_3Bg).

där (x_1Ax_2Bf) anger den handling som ger (x_1) för alla (s / i A), utfall (x_2) för alla (s / i B) och (f (s)) för alla andra (s). De erbjuder sedan en motsvarande ändrad redogörelse för den föreslagna korrespondensen mellan den subjektiva kvalitativa sannolikheten och preferensrelationerna, och föreslår att om (x_1 / succ x_2), då (A / unrhd B) iff (x_1Ax_2Bf / succeq x_2Ax_1Bf).

2.2.2 Modeller med Betweenness

Bland modellerna med sannolikt sofistikerade preferenser som inte tillfredsställer oberoende och närmare bestämt inte påverkar egenskapen av likgiltighetskurvernas parallellitet, är ett nummer fortfarande tillfredsställande en svagare princip som innebär linearitet, nämligen:

Betweenness För alla handlingar (f) och (g) och (lambda / i [0,1]): om (P_f / sim P_g), då (P_f / sim / lambda P_f + (1- / lambda) P_g).

Detta är särskilt fallet med Weighted Utility (WU) (Chew & MacCrimmon 1979; Chew 1983), som föreslår att topparna i den förväntade verktygsformeln multipliceras med en motsvarande vikt, så att preferenser mellan lotterier kan representeras av de mer allmänna funktionell

(tag {2} U (f) = / sum / limit_ {i = 1} ^ {n} P_f (x_i) u (x_i) Bigg (w (x_i) / / sum / limit_ {i = 1} ^ {n} w (x_i) P_f (x_i) Bigg))

där (w) är en positiv verkligt värderad funktion på (matematisk {X}). Om (w) är konstant återhämtar man EU-funktionen. Införandet av vikter rymmer Allais preferenser genom att tillåta likgiltighetskurvor att "fläta ut" från en enda korsning belägen i kvadranten sydväst om sannolikhetstriangeln. Dessa kurvor blir brantare och representerar därför en större grad av riskaversion, när man rör sig nordväst, i riktning mot allt mer föredragna lotterier. En lämpligt placerad korsning gör att likgiltighetskurvor kan korsa både ([P_1, P_2]) underifrån och ([P_3, P_4]) ovanifrån, efter behov. [7]

2.2.3 Modeller utan betweenness

Det finns emellertid väsentliga bevis för att likgiltighetskurvenas linearitet inte är mer empiriskt tillräcklig för att deras parallellitet (se Camerer & Ho 1994 för en undersökning) och ett antal modeller med sannolikt sofistikerade preferenser ger upp Betweenness också. Den mest kända av dessa är utan tvekan Rank Dependent Utility (RDU), vars version först föreslogs av Quiggin (1982). [8] För att presentera förslaget i funktionell form kommer det att antas att de underskrifter som är associerade med varje utfall i (mathcal {X}) antyder ökande preferensordning, så att (x_1 / preceq x_2 / preceq / ldots / preceq x_n) och därmed (bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) är den händelse som ges som (f) ger ett resultat minst lika föredraget som (x_i). RDU föreslår:

(tag {3} U (f) = u (x_1) + / sum / limit_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) w / Bigg (P / bigg (bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} bigg) Bigg))

där (w: [0,1] mapsto [0,1]) är en strikt ökande sannolikhetsviktningsfunktion, så att (w (0) = 0) och (w (1) = 1). Med andra ord: nyttan av ett lotteri är lika med summan av de marginella nyttjebidragen för utfallen, var och en multiplicerad med den vägda sannolikheten för att få ett resultat som är minst lika föredraget (det marginella bidraget av (x_1) är (u (x_1)) och dess tillhörande multiplikator är (w / big (P ({ mathcal {S} }) big) = w (1) = 1)). Om (w) är identitetsfunktionen, så att (w / circ P = P), visar det sig att man återställer den förväntade funktionsfunktionen. Om inte, kan ett lämpligt val av (w) återställa Allais-preferenser. För att se hur, antar du för enkelhet att (u (0) = 0). En har sedan (P_1 / succ P_2) iff

[U (1) w (1)> u (1) w (0,99) + / stora (u (5) -u (1) stora) w (0,1))

och (P_4 / succ P_3) iff (u (5) w (0,1)> u (1) w (0,11)). Detta innebär att preferenserna kommer att återvinnas genom att ha (w) vara sådan att (w (1) -w (0,99)> w (0,11) -w (0,1)), så att skillnaden i sannolikheten för (0,01) har en större påverkan i den högre änden av sannolikhetsskalan än den gör mot dess relativt lägre ände. [9]

Det bör noteras att RDU i sig är ett speciellt fall av vad som kanske är det mest kända alternativet till SEU, Kahneman & Tversky's Cumulative Prospect Theory (Tversky & Kahneman 1992), som fick Kahneman ett Nobelpris i ekonomi 2002. Denna modell generaliserar RDU genom att införa en referenspunkt, ett resultat som delar uppsättningen av resultat i positiva och negativa delmängder, beroende på om dessa är strikt föredragna eller strikt disprepererade till det. Två sannolikhetsomvandlingsfunktioner, (w ^ +) och (w ^ -), är sedan involverade i preferensfunktionen: (w ^ +) vid bestämning av nyttjebidragen för de negativa utfallen och (w ^ -) spela en analog roll i förhållande till de positiva. RDU återställs när (w ^ +) är dubbelen av (w ^ +).

Medan RDU inte tillfredsställer självständighet, tillfredsställer den en försvagning av denna princip som kallas”Ordinal självständighet” (Green & Jullien 1988). Denna princip presenteras som en begränsning för de kumulativa distributionsfunktionerna (cdf) som motsvarar olika lotterier, som för varje (x_i) returnerar sannolikheten för att få ett resultat som inte är bättre än (x_i) (dvs. ett resultat (x_j), med (j / leq i)). Den cdf som motsvarar (P_f) ska betecknas med (F). Vi har då

Ordinär självständighet För alla handlingar (f, f ', g) och (g') och delmängder (A) av (mathcal {X}): Om (P_f / succeq P_g), och

  1. för alla (x / i A), (F (x) = G (x)) och (F '(x) = G' (x))
  2. för alla (x / notin A), (F (x) = F '(x)) och (G' (x) = G '(x))

sedan (P_ {f '} succeq P_ {g'}). [10]

Begränsningen kan mer användbart sägas på följande sätt: I jämförelse av två handlingar ignorerar man värdena för deras respektive cd-skivor i uppsättningen av resultat med avseende på vilka de håller med. Det kan lätt verifieras att Allais-preferenser överensstämmer med denna princip. Med tanke på probabilistisk sofistikering kan ordinal självständighet själva härledas från en begränsning av preferenser framför handlingar som kallas "Comonotonic självständighet", presenterad i avsnitt 3.2.1 nedan. Wakker (2010) erbjuder en lärobok introduktion till RDU och Cumulative Prospect Theory, samt till relaterade behandlingar av de frågor som diskuteras i nästa avsnitt.

3. Frågan om sannolik tro

3.1 Ellsbergs trefärgsparadox

I en annan klassisk utmaning för SEU bad Ellsberg (1961) försökspersonerna att överväga en uppsättning där en urna innehåller 30 röda bollar och 60 svarta eller gula bollar i okända relativa proportioner och rapportera sina preferenser mellan olika satsningar på färgen på en boll som dras slumpmässigt från urnen. De önskade preferenserna var de som höll mellan (f_1) och (g_1) nedan, å ena sidan, och (f_2) och (g_2) å andra sidan:

(overbrace { phantom {30 balls}} ^ { textrm {30 balls}}) (overbrace { phantom {45630 balls}} ^ { textrm {60 balls}})
r b y
(F_1) $ 100 $ 0 $ 0
(G_1) $ 0 $ 100 $ 0
(F_2) $ 100 $ 0 $ 100
(G_2) $ 0 $ 100 $ 100

Ellsberg rapporterade att en majoritet av individerna visade preferenser (f_1 / succ g_1), men (g_2 / succ f_2), ett exempel på ett fenomen som har känt sig som tvetydighetsaversion: en relativ preferens för att satsa på händelser med känd snarare än okänd ("tvetydig") sannolikhet.

Om man beviljar att resultaten är tillräckligt karakteriserade i enbart termer av tillhörande förändringar i förmögenhetsnivå, står dessa”Ellsberg-preferenser” i direkt motsägelse med Savages Sure-Thing-princip. Dessa preferenser strider också mot Machina & Schmeidlers princip om stark jämförelse sannolikhet, med det naturliga antagandet att försökspersonerna strikt föredrar utfallet ($ 100) framför utfallet ($ 0). Och det är faktiskt lätt att se att Ellsberg-preferenserna är oförenliga med sannolikhet. Mer specifikt är de oförenliga med att det är fallet att båda (i) beslutsfattarens preferenser framför handlingar kan reduceras till preferenser jämfört med motsvarande lotterier framför resultat,genereras genom en tilldelning av subjektiva sannolikheter till uppsättningen av händelser och (ii) han eller hon beställer delvis dessa lotterier genom första ordningen stokastisk dominans. För att se varför, antar att dessa villkor gäller. Observera först att (P_ {g_1}) stokastiskt skulle dominera (P_ {f_1}) om och bara om (P ({b }) geq P ({r })) och det (P_ {f_2}) skulle stokastiskt dominera (P_ {g_2}) om och bara om (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) skulle innebära att (P_ {g_1}) inte stokastiskt dominerar (P_ {f_1}), och därmed att (P ({r })> P ({ b })). Men (g_2 / succ f_2) skulle innebära att (P_ {f_2}) inte stokastiskt dominerar (P_ {g_2}), och därmed att (P ({b })> P ({r })). Motsägelse. Observera först att (P_ {g_1}) stokastiskt skulle dominera (P_ {f_1}) om och bara om (P ({b }) geq P ({r })) och det (P_ {f_2}) skulle stokastiskt dominera (P_ {g_2}) om och bara om (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) skulle innebära att (P_ {g_1}) inte stokastiskt dominerar (P_ {f_1}), och därmed att (P ({r })> P ({ b })). Men (g_2 / succ f_2) skulle innebära att (P_ {f_2}) inte stokastiskt dominerar (P_ {g_2}), och därmed att (P ({b })> P ({r })). Motsägelse. Observera först att (P_ {g_1}) stokastiskt skulle dominera (P_ {f_1}) om och bara om (P ({b }) geq P ({r })) och det (P_ {f_2}) skulle stokastiskt dominera (P_ {g_2}) om och bara om (P ({r }) geq P ({b })). (f_1 / succ g_1) skulle innebära att (P_ {g_1}) inte stokastiskt dominerar (P_ {f_1}), och därmed att (P ({r })> P ({ b })). Men (g_2 / succ f_2) skulle innebära att (P_ {f_2}) inte stokastiskt dominerar (P_ {g_2}), och därmed att (P ({b })> P ({r })). Motsägelse. Men (g_2 / succ f_2) skulle innebära att (P_ {f_2}) inte stokastiskt dominerar (P_ {g_2}), och därmed att (P ({b })> P ({r })). Motsägelse. Men (g_2 / succ f_2) skulle innebära att (P_ {f_2}) inte stokastiskt dominerar (P_ {g_2}), och därmed att (P ({b })> P ({r })). Motsägelse.

Betydande empiriska bevis har bekräftat Ellsbergs informella observationer och relaterade fenomen (börjar med Becker & Brownson 1964 och inkluderar klassiska studier som Slovic & Tversky 1974 och MacCrimmon & Larsson 1979; se den klassiska Camerer & Weber 1992, såväl som den mer uppdaterade -datum Trautmann & van de Kuilen 2015, för ytterligare detaljer) och litteraturen innehåller nu ett betydande antal generaliseringar av SEU som kan rymma dessa.

3.2 Teoretiska svar

3.2.1 Icke-additiv”sannolikheter”

En framträdande försvagning av SEU som kan rymma Ellsbergfallen är Choquet Expected Utility (CEU), som ursprungligen föreslogs av Schmeidler (1989). Det viktigaste begreppet i dess representation av preferenser är det för en kapacitet: en funktion (v: / mathcal {E} mapsto [0,1]), så att (v (varnothing) = 0), (v (mathcal {S}) = 1) och, för alla (A, B / i / mathcal {E}), (A / subseteq B) innebär (v (A) leq v (B)). Man kan tänka på detta som en slags icke-additiv "sannolikhets" -funktion, eftersom additivitetsegenskapen, enligt vilken (v (A / cup B) = v (A) + v (B)) för osammanhängande händelser (A) och (B), håller inte. Liksom med presentationen av RDU, är konventionen här att de index som är associerade med resultaten indikerar ökande preferenser, så att, återigen,(bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j}) är den händelse som ges som (f) ger ett resultat som är minst lika föredraget som (x_i). CEU föreslår:

(tag {4} U (f) = u (x_1) + / sum / limit_ {i = 2} ^ {n} Big (u (x_i) -u (x_ {i-1}) Big) v / Bigg (bigcup / limit_ {j = i} ^ {n} E ^ {f} _ {j} Bigg))

På detta förslag värderas sedan en handling av summan av de marginella användbarhetsbidragen för utfallen, var och en multiplicerad med kapaciteten för den givna händelsen som den akten skulle ge ett resultat som är minst lika föredraget. Det finns uppenbara formella likheter här med RDU och i själva verket kan det senare ses som det speciella fallet för CEU där beslutsfattarens kapacitet härrör från hans eller hennes sannolikhetsgrader av tron genom en sannolikhetsviktningsfunktion ((v = w / circ P)). [11]

När vi återgår till Ellsberg-inställningarna i problem med tre färger är det lätt att se att (f_1 / succ g_1) iff (v ({r })> v ({b })) och (g_2 / succ f_2) iff (v ({b, y })> v ({r, y })). Dessa ojämlikheter kan uppenbarligen inte samtidigt uppfyllas i speciella fall där (c) är additiv och i sådana fall minskar CEU till SEU. I det mer allmänna fallet finns det inga problem: låt (v) till exempel vara så att:

(börja {inriktad} v ({r }) & = v ({r, y }) = v ({b, y }) = / nicefrac {1} {3} / v ({b }) & = v ({y }) = 0 \\ v ({b, y }) & = / nicefrac {2} {3}. / End {linje})

Gilboa (1987) och Wakker (1989) har båda tillhandahållit axiomatiseringar av förslaget inom en Savage-ram. Det viktigaste kännetecknande för dessa är den effektiva begränsningen av Savages Sure-Thing-princip till vissa typer av uppsättningar av handlingar:

Comonotonic Sure-Thing För alla handlingar (f, g, h, h ') och alla händelser (A): if (fAh), (gAh), (fAh') och (fAh ') är komonotoniska, sedan (fAh / succeq gAh) iff (fAh' / succeq gAh ').

där två handlingar (f) och (g) är komonotoniska iff finns det inga två tillstånd (s_1) och (s_2), så att (f (s_1) succ f (s_2)) men (g (s_2) succ g (s_1)), eller igen iff (f) och (g) ger beställningar av tillstånd genom önskvärt tillhörande konsekvens som är gemensamt konsekvent (Chew & Wakker 1996). Det är uppenbart att Ellsberg-preferenser är helt kompatibla med denna försvagning av Sure-Thing-principen, eftersom de handlingar som ingår inte är komonotoniska. Till exempel (f_1 (r) succ f_1 (b)) men (f_2 (b) succ f_2 (r)). [12]

3.2.2 Flera tidigare

Kapaciteten som användes ovan för att illustrera CEU: s överensstämmelse med preferenser i Ellsberg-stil har en anmärkningsvärd egenskap: den är konvex, vilket betyder att den är sådan att för alla (A, B / i / matematisk {E}), [v (A / cup B) + v (A / cap B) geq v (A) + v (B).)

Det har visats av Schmeidler (1986) att om konvexitet av kapaciteter införs, blir CEU ett speciellt fall av en metod som kallas Maxmin Expected Utility (MEU) (Gilboa & Schmeidler 1989), som representerar beslutsfattaren som maximalt förväntat minimum verktyg över en icke-tom uppsättning sannolikhetsfunktioner (Gamma) på (matematisk {X}), så att:

(tag {5} U (f) = / inf / limit_ {P / in / Gamma} Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) label {eq: MEU})

Den specifika anslutningen är följande: en CEU-maximiserare med avseende på en konvex kapacitet (v) är en EU-maxminer över den så kallade kärnan i (v), definierad som den uppsättning sannolikhetsfunktioner som tilldelar, för varje händelse, en sannolikhet som är minst lika stor som den kapacitet som tilldelas den händelsen av (v): ({P / in / matematisk {P}: P (A) geq v (A), / forall A / i / mathcal {E} }).

En vanlig, men inte obligatorisk, tolkning av (Gamma) är nu att den motsvarar den uppsättning objektiva sannolikhetsuppdrag som beslutsfattaren tar för att vara förenlig med hans eller hennes bevis. Med tanke på resultatet som just flaggas ut, inbjuder detta i sin tur till en tolkning av kapacitet som lägre uppskattningar av objektiva sannolikheter. Mer specifikt kan en CEU-maximiserare vars kapacitet är konvex tolkas som att överväga möjliga alla och endast de tilldelningar av objektiva sannolikheter som överensstämmer med de lägre uppskattningarna som ges av den kapaciteten. Denna tolkning av kapaciteten i det existerande exemplet är uppenbarligen särskilt frestande, eftersom (nicefrac {1} {3}) och (nicefrac {2} {3}) utgör rimliga lägre gränser för beslutsfattaren uppskattningar av sannolikheterna för ({r }) och ({b, y }),respektive.

Om man tolkar (Gamma) på detta sätt blir avslappnande CEU med konvex kapacitet till MEU ett attraktivt alternativ, eftersom det gör att man inte bara kan modellera Ellsberg-preferenser utan också tillgodose preferenser för beslutsfattare vars åsikter om objektiva sannolikheter inte bara kan vara fångas i termer av lägre uppskattningar (till exempel de som innebär åtaganden till vissa fakta om förhållanden mellan sannolikheter). På grund av rymdöverväganden utelämnas detaljerna om den axiomatiska behandlingen av MEU här. [13]

Fortfarande förblir MEU ganska restriktivt, eftersom det verkställer en ganska radikal form av tvetydighetaversion. En populär generalisering av modellen, (alpha-) MEU (Ghirardato et al. 2004) föreslår att MEU: s preferenser bara ligger i ena änden av ett spektrum av möjlig tvetydighetsaversion, fångad av följande försvagning av ((ref {eq: MEU})):

(tag {6} U (f) = / alpha / inf / limit_ {P / in / Gamma} Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big) + (1- / alpha) sup / limit_ {P / in / Gamma} Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big))

där (alfa / i [0,1]). Med (alpha = 1) återställer man den mycket tvetydighets-averse MEU. Med (alpha = 0) har vi starkt tvetydighetsälskande preferenser. Parametern (alpha) är således i en mening tolkbar som ett mått på tvetydighetsaversion. [14], [15]

Precis som med MEU, emellertid, begränsar (alpha) - MEU sin uppmärksamhet till extrema förväntade verktyg (i detta fall bäst såväl som värsta fall). En populär klass med förslag gör det möjligt att ta reda på hela utbudet av förväntade verktyg över (Gamma) genom att komplettera flera tidigare modeller med en högre ordnings sannolikhetsfördelning (mu). En välkänd funktionell form, som framför allt finns i "Smooth Model" av Klibanoff et al. (2005), innebär att man tar förväntningarna i förhållande till (mu) av de vägda förväntade verktygen, relativt medlemmarna i (Gamma):

(tag {7} U (f) = / sum / limit_ {P / in / Gamma} mu (P) Phi / Big (sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) Big))

En konkav (Phi) kommer att överväga låga förväntade verktyg, vilket resulterar i relativt tvetydiga averse preferenser.

4. Frågan om svag ordning

4.1 Transitivitet

Samtidigt som alla modeller som nämns ovan sätter preferenser för transitivitet finns det en lång historia av att undersöka möjliga brott mot principen, både med avseende på val under säkerhet och val under risk. Beträffande det sistnämnda föreslog Tversky (1969) i en klassisk tidig studie, betydande systematiska kränkningar av transitiviteten för strikt preferens, vilket medförs av svag preferens, i förhållande till en serie lotterier (P_1) - (P_5), var och en som erbjuder en chans (p_i) att få ett pris (x_i) och en kompletterande chans att få ingenting:

(pi) (X_i)
(P_1) (Nicefrac {7} {24}) $ (5)
(P_2) (Nicefrac {8} {24}) $ (4,75)
(P_3) (Nicefrac {9} {24}) $ (4,5)
(P_4) (Nicefrac {10} {24}) $ (4,25)
(P_5) (Nicefrac {11} {24}) $ (4)

Tversky tog sina uppgifter för att antyda att ett betydande antal försökspersoner var benägna att uttrycka strikta preferenser för varje lotteri framför dess omedelbara efterträdare, men en strikt preferens för det sista lotteriet över det första. Han föreslog att dessa försökspersoner rangordnade angränsande lotterier med enbart utbetalning eftersom skillnaderna i sannolikheten för att vinna var knappt märkbara, men tog sannolikheten att vinna i beaktande i jämförelsen mellan (P_1) och (P_5), eftersom skillnaden i värden där var stora. Även om Tverskys resultat senare replikerades bör det noteras att det pågår kontroverser kring nivån av empiriskt stöd för intransitiv preferens (se Regenwetter et al. 2011 för en ny litteraturöversikt).

Intransitiviteter av något annorlunda slag förutsås också av Loomes & Sugdens (1982, 1987) Regret Theory. [16] Den vägledande tanken bakom detta förslag är att uppskattningen av ett visst resultat i en given stat är en väsentligen jämförande fråga. Det bestäms av beklagan (eller glädjen) som är förknippad med tanken att de alternativt tillgängliga handlingarna under samma omständigheter skulle ha lett till en viss uppsättning alternativa resultat. I det speciella fallet med binära alternativ översätter denna intuition till följande menyberoende preferensfunktion:

(tag {8} label {eqn: RT} U _ { {f, g }} (f) = / sum / limit_ {s / in / mathcal {S}} P / big ({s } big) M / big (f (s), g (s) big))

där (M: / mathcal {X} times / mathcal {X} mapsto / mathbb {R}) är en jämförande verktygsfunktion som ökar i sitt första argument och inte minskar i det andra. I deras diskussion om ramverket presenterar Loomes & Sugden saker på samma sätt som följer:

(tag {9} label {eqn: RT '} f / succeq g / text {iff} sum / limit_ {s / in / mathcal {S}} P / big ({s } big) Psi / big (f (s), g (s) big) geq 0)

där (Psi / big (f (s), g (s) big)) definieras som (M / big (f (s), g (s) big) -M / big (g (s), f (s) stora)). Denna mängd motsvarar således nettobalansen av ånger / glädje i samband med att välja (f) över (g) i stater (s). Beroende på egenskaperna hos (Psi) kan beslutsfattare karakteriseras som”ångringsneutrala”,”ångrande” eller till och med”ångringssökande”. Ångerneutralitet motsvarar fallet där för alla (x_1, x_2, x_3 / i / mathcal {X}), (Psi (x_1, x_3) = / Psi (x_1, x_2) + / Psi (x_2, x_3).)

Under dessa förhållanden överensstämmer valbeteendet med SEU. Ångeraversion motsvarar situationen där (Psi) uppfyller följande konvexitetskrav: för (x_1 / succ x_2 / succ x_3), (Psi (x_1, x_3)> / Psi (x_1, x_2) + / Psi (x_2, x_3).)

Loomes & Sugden (1982) har visat att, åtminstone under antagandet om sannolikt oberoende hos de involverade lotterierna, denna typ av disposition kan förutsäga både den gemensamma konsekvensen och de gemensamma förhållanden effekterna: Ånger teori innebär inte självständighet. [17]

För att få en känsla av de överträdelser av transitivitet som förutses av Regret Theory, här är ett exempel på grund av Loomes & Sugden 1987. Antag konvexitet av (Psi) och överväg följande beslutsproblem, där (x_1 / prec x_2 / prec x_3) och (P (A_i) = / nicefrac {1} {3}):

(A_1) (A_2) (A_3)
(F) (X_1) (X_2) (X_3)
(G) (X_3) (X_1) (X_2)
(H) (X_2) (X_3) (X_1)

Enligt Regret Theory, (f / succ g) iff

(Psi (x_1, x_3) + / Psi (x_2, x_1) + / Psi (x_3, x_2)> 0.)

Konvexitet av (Psi) kommer att säkerställa att denna ojämlikhet gäller. Genom liknande resonemang kan det sedan fastställas att (g / succ h) och (h / succ f). [18]

Ovanstående exempel visar också tydligt att ångerteorin tillåter kränkningar av statens neutralitet, eftersom de olika handlingarna ger samma sannolikhetsfördelning över resultat. Loomes & Sugden (1987) visar vidare att kränkningar av Stochastic Dominance är licensierade enligt deras modell. Trots dessa avvikelser från ortodoxin bör det noteras att Regret Theory behåller ett antal andra starka konsekvenser av SEU, inklusive Sure-Thing-principen, samt Betweenness för probabilistiskt oberoende distributioner. En instruktiv axiomatisering av en generalisering av ((ref {eqn: RT})) till ändliga menyer erbjuds i Sugden 1993. Se Bleichrodt & Wakker 2015 för en tydlig översikt över ramverket och dess relation till experimentdata.

4.2 Fullständighet

Även om frågan kommer sist i denna katalog över empiriska utmaningar för SEU, sändes tidiga tvivel om den empiriska tillräckligheten för fullständighetsantagandet av själva arkitekterna i ramverket, inklusive von Neumann & Morgenstern (1947: 630) och Savage (1954: 21). Till exempel skriver von Neumann & Morgenstern:

Det är mycket tvivelaktigt, om idealiseringen av verkligheten som behandlar denna postulat som en giltig, är lämplig eller till och med bekväm.

Brist på fullständighet har påstås stämma både från (i) ofullständighet i bedömningar av jämförande sannolikhet eller (ii) ofullständighet i preferenser mellan resultat. Båda källorna till ofullständighet kan hanteras i "flera tidigare förväntade multi-verktyg" -modeller, som erbjuder vad man kan kalla en "övervakningsföreställare" -representation av preferenser framför handlingar, enligt följande:

[f / succeq g / text {iff, för alla} langle P, u / rangle / in / Phi, / sum / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ f) u (x_i) geq / summa / limit_ {i = 1} ^ n P (E_i ^ g) u (x_i))

där (Phi) är en uppsättning par av sannolikhets- och nyttofunktioner. På grund av rymdhänsyn lämnas axiomatiska detaljer här ute. Den intresserade läsaren hänvisas till den senaste allmänna behandlingen som ges av Galaabaatar & Karni (2013), som relaterar sina resultat till viktigt tidigare arbete av Bewley (1986), Seidenfeld et al. (1995), Ok et al. (2012) och Nau (2006), bland andra.

5. Beskrivande vs normativ beslutsteori

Det erkändes ganska omedelbart att Allais hade visat en empirisk brist på SEU, men det är viktigt att notera att hans ambitioner överträffade denna prestation något. Han föreslog vidare att hans resultat också ger anledning att betvivla teorins normativa tillräcklighet. Enligt hans uppfattning kan två typer av övervägande bringas till tabellen vid bedömningen av en teori om rationellt val. Den första är en demonstration som teorin deduktivt följer eller ligger i logisk konflikt med olika allmänna principer för säker epistemisk ställning. Den andra är en mängd experimentella bevis angående

beteende hos personer som man på annat sätt har skäl [("det är på kriterier som är fria från alla hänvisningar till varje hänsyn till slumpmässigt val.")] att tro, agera rationellt. (Allais 1953b: 34) [19]

Han fann emellertid inga tillräckliga bevis för den första typen som kunde styras för att stödja någonting lika starkt som SEU. Han avvisade till exempel Marschaks (1951)”långsiktiga framgång” argument för förväntad maximering av nyttan i risksituationer (Allais 1953b: 70–73). Han beviljade förekomsten av ett krav på”konsistens” enligt vilket

en man anses agera rationellt (a) om han förföljer mål som är ömsesidigt konsekventa (dvs. inte motstridiga), (b) om han använder medel som är lämpliga för dessa ändamål. (Allais 1953b: 78)

Men detta krav, hävdade han, innebar helt enkelt att preferenser framför lotterier är svagt ordnade och tillfredsställer Stochastic Dominance. Detta lämnade data om valbeteende för att bedöma SEU: s ytterligare åtaganden. Dessa uppgifter stödde enligt hans uppfattning klart den rationella tillåtelsen att kränka självständigheten.

Savage diskuterade inte uttryckligen den bevisliga kraften för de kollektiva preferenserna för hans kamrater i förhållande till Allais fall. Han kommenterade emellertid bärandet av sina egna personliga preferenser, som Allais berömt hade fått från honom vid ett Paris-symposium 1952 och som befann sig i strid med SEU: s rekommendationer. Medgivande att det skulle ha varit irrationellt för honom att bibehålla både dessa preferenser och ett åtagande om den normativa adekvatheten för hans axiomer, rapporterade han att ytterligare "reflektion" lutade honom att revidera den förra och bedöma att de hade varit i fel, i likhet med en logisk inkonsekvens i tron. Detta faktum, hävdade han, berättigade honom att behålla sina normativa åtaganden (se Savage 1952: 101–103). [20]Eftersom det är lätt att anta att Savage tog sina egna lutningar för att vara representativ för befolkningen i stort, har hans kommentarer i stor utsträckning antagits för att implicit föreslå en alternativ experimentell väg för att testa teorier om rationellt val. (Se Slovic & Tversky 1974 och Jallais & Pradier 2005. Detta är också uppfattningen om Ellsberg, som i kapitel 1 i sin doktorsavhandling från 1961, trycker om som Ellsberg 2001, en värdefull diskussion om frågorna av nuvarande intresse med Zappia 2016 ger en nyligen filosofiskt orienterad diskussion.). Denna procedur skulle innebära att bestämma, inte om vissa beslutsfattare uppvisar preferensmönster som förklaras av teorin, men om de fortfarande visar sådana mönster efter reflektion över deras konflikt med teorins grundläggande axiomer.

Ett antal studier som syftar till att testa den normativa adekvatheten för SEU enligt de föreslagna linjerna. MacCrimmon (1968) rapporterade överträdelser, i ett urval av erfarna företagsledare, av ett brett spektrum av konsekvenser av SEU, av vilka ett antal kvarstod efter att försökspersonerna särskilt gavs överväganden som både stödde och undergrävde dessa principer. Dessa principer med avseende på vilka kränkande preferenser senare korrigerades inkluderade särskilt Transitivity och Stochastic Dominance. Allais- eller Ellsberg-stilpreferenser var väsentligt mer motståndskraftiga, men ett faktum bekräftades i en senare studie av Slovic & Tversky (1974). En annan typ av motståndskraft av preferenser, som inte beaktas av Savage, undersöktes nyligen av van de Kuilen & Wakker (2006). De studerade effekterna av att ge feedback på beslutsresultat om förekomsten av vanliga konsekvenseffekter i sekvenser av val, men fann dock en signifikant minskning av SEU-kränkningar.

Trots en långvarig tradition för att bära teorier om rationellt val av olika filosofiska problem, [21] verkar inte frågan om den beskrivande beslutsteorinens relevans för dess normativa motsvarighet ha väckt stort intresse för det filosofiska samhället. Allais utmaning till Savage har till stor del ignorerats i den filosofiska litteraturen. [22]

Med detta sagt har en hel del filosofisk uppmärksamhet ägnats åt den relaterade frågan om sambandet mellan resonemangsnormer och observerade slutsmönster. En inflytelserik tankegång som finns där, som verkar relevant för Allais påståenden, har sitt ursprung i Goodmans diskussion om motiveringen av induktiv resonemang. Enligt hans syn

[t] Uppgiften att formulera regler som definierar skillnaden mellan giltiga och ogiltiga induktiva slutsatser är ungefär som uppgiften att definiera alla termer med en etablerad användning. (Goodman 1965: 66)

Precis som semantiska analyser kan godkännas på grundval av att tillhandahålla goda systematiseringar av en uppsättning intuitioner beträffande tillämpningen av särskilda termer i särskilda situationer, hävdar Goodman, kan normativa resonemangsteorier på samma sätt motiveras med deras goda passform med de specifika … slutsatserna. vi verkligen gör och sanktionerar”(Goodman 1965: 63): inga ytterligare överväganden krävs för att kunna stödja en viss princip som rationellt bindande.

Goodmans diskussion är en kort diskussion och lämnar åtminstone ett antal frågor vid vår läsning. Bör vi erkänna överväganden som är relevanta utöver observerade inferensmönster, såsom egenskaper för långsiktig konvergens till sanningen och så vidare? Till vem hänvisar”vi” till när Goodman talar om”de speciella … slutsatser som vi faktiskt gör och sanktionerar”? Experter? Människor i stort? Ska vi omskatta klassen av relevanta slutsatser om de domar som man kanske vill kalla "betraktad"? Det här är viktiga frågor att lösa. Verkligen,en viss kombination av svar på detta, vilket innebär att motiveringen av normativa teorier om resonemang helt hänger på deras förmåga att systematisera”omedelbara och outsatta” inferentiella dispositioner som observerats i den allmänna befolkningen-berättigade fick Cohen (1981) att stödja den häpnadsväckande påståendet att, eftersom normativa och beskrivande modeller bärs av samma datauppsättning, är beteendebevis i princip oförmögen att fastställa mänsklig irrationalitet. För ytterligare diskussion om detta allmänna ämne, se till exempel Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) och Thagard (1982).se till exempel Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) och Thagard (1982).se till exempel Stich (1990: Ch. 4), Stein (1996: Ch. 5), Stanovich (1999: Ch. 1) och Thagard (1982).[23]

Även om varken Allais eller Goodman drar kopplingen, kan en potentiell motivering för den bevisbara relevansen av experimentella data i normativ teoriuppbyggnad kanske sökas i litteraturen om Condorcet Jury Theorem och relaterade resultat. [24]Denna sats säger att under vissa förhållanden sannolikheten för att en majoritetsbedömning, med avseende på en viss fråga, i en grupp av (n) minimalt tillförlitliga personer som avger ja / nej röster på en viss fråga konvergerar till 1 som (n) tenderar till oändlighet, konvergerar snabbare desto större är de individuella tillförlitligheten. Dessutom når majoritetens pålitlighet betydande nivåer, även med tanke på mycket begränsad individuell tillförlitlighet, för ganska blygsamma gruppstorlekar. Naturligtvis passar frågan om intresse inte riktigt till den specifika modellen: medan uttrycket av Allais-preferenser utan tvekan kan tolkas som en "röst" mot självständighetens normativa tillräcklighet, kan uttrycket av preferenser som överensstämmer med denna princip knappast tolkas som en röst för det.

Slutligen, medan detta avsnitt har fokuserat på frågan om bärandet av beskrivande beslutsteori på dess normativa motsvarighet, bör det noteras att det har varit en del diskussion om den omvända inflytningsriktningen. Både Guala (2000) och Starmer (2005) har hävdat att utvecklingen av beskrivande teorier som valts har styrts av en partiskhet mot att behålla en kärna av principer som anses vara normativt adekvata. När det gäller beslut som fattas under risk är dessa i huvudsak övergångskomponenten i svag ordning och stokastisk dominans, som är nöjda enligt de allra flesta icke-SEU-teorier som hittills har utvecklats. [25]Starmer påstår sig hitta ett argument som motiverar denna praxis i ett välkänt papper av Friedman och Savage (1952). Denna tankesnör, som Starmer tar upp med, går ut från antagandet att principerna om rationalitet i god tro skulle vara uppenbara som sådana för de flesta ämnen och att beslutsfattare följaktligen kommer att uppträda i linje med dem.

6. Vidare läsning

Medan den filosofiska litteraturen om ämnet förblir ganska gles, saknas brist på förstklassiga sammanfattningar i ekonomi- och psykologilitteraturen. För noggranna presentationer av de tekniska resultaten som avses i avsnitt 1, se Fishburn (1970: Ch. 14) eller de något mindre detaljerade Kreps (1988: Ch. 9). Ch. 3 av Joyce (1999) är också till hjälp här. När det gäller litteraturen om självständighet, som diskuteras i avsnitt 2, se Machina (1987), Starmer (2000) och Weber & Camerer (1987). Beträffande frågan om probabilistisk tro specifikt, diskuterad i avsnitt 3, se Camerer & Weber (1992), Etner et al. (2012), Gilboa & Marinacci (2013), Machina & Siniscalchi (2014) och Trautmann & van de Kuilen (2015). Ett antal bredare undersökningar täcker både ovanstående frågor och några. Dessa inkluderar framför allt Camerer (1995) och den utmärkta Sugden (2004). Slutligen, för en tydlig och detaljerad historisk redogörelse för utvecklingen av den experimentella litteraturen om beslutsfattande, se Heukelom (2014).

Bibliografi

  • Allais, Maurice, 1953a, “Le Comportement de l'Homme Rationnel devant le Risque: Critique des Postulats et Axiomes de l'Ecole Américaine”, Econometrica, 21 (4): 503–546. doi: 10,2307 / 1.907.921
  • –––, 1953b, “Fondements d'une Théorie Positive des Choix Comportant un Risque et Critique des Postulats et Axiomes de L'Ecole Américaine”, Econométrie, Colloques Internationaux du CNRS, XL: 257–332; sidhänvisning är till översättningen med titeln “The Foundations of a Positive Theory of Choice Involving Risk and a Criticism of the Postulates and Axioms of the American School” i Allais & Hagen 1979: 27–145. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1_2
  • Allais, Maurice och Ole Hagen (red.), 1979, Expected Utility Hypoteses and Allais Paradox, (Theory and Decision Library, 21), Dordrecht: Reidel. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1
  • Anscombe, FJ och RJ Aumann, 1963, "En definition av subjektiv sannolikhet", Annals of Mathematics and Statistics, 34 (1): 199–205. doi: 10,1214 / AOMs / 1177704255
  • Anand, Paul, 2009, “Rationalitet och intransitiv preferens: Fundament för den moderna synen”, i Anand, Pattanaik och Puppe 2009: 156–172. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199290420.003.0007
  • Anand, Paul, Prastanta K. Pattanaik och Clemens Puppe (red.), 2009, Handbook of Rational and Social Choice, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199290420.001.0001
  • Becker, Selwyn W. och Fred O. Brownson, 1964, “Vilket prisduklighet? Eller rollen för tvetydighet i beslutsfattande”, Journal of Political Economy, 72 (1): 62–73. doi: 10,1086 / 258.854
  • Becker, Joao L. och Rakesh K. Sarin, 1987, "Lottery Dependent Utility", Management Science, 33 (11): 1367–1382. doi: 10,1287 / mnsc.33.11.1367
  • Bewley, Truman F., 1986,”Knightian Decision Theory: Part I”, diskussionsdokument från Cowles Foundation nr. 807. Omtryckt med mindre förändringar, 2002, Beslut i ekonomi och finans, 25 (2): 79–110. doi: 10,1007 / s102030200006
  • Bleichrodt, Han och Peter P. Wakker, 2015, “Beklagar teori: Ett djärvt alternativ till alternativen”, Economic Journal, 125 (583): 493–532. doi: 10,1111 / ecoj.12200
  • Broome, John, 1991, vägning av varor: jämställdhet, osäkerhet och tid, Oxford: Basil Blackwell.
  • Buchak, Lara, 2013, Risk and Rationalitet, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199672165.001.0001
  • Camerer, Colin F., 1989, "Ett experimentellt test av flera generaliserade nyttighetsteorier", Journal of Risk and Unceribility, 2 (1): 61–104. doi: 10,1007 / BF00055711
  • –––, 1995, “Individual Decision Making”, i John H. Kagel och Alvin E. Roth (red.), Handbook of Experimental Economics, Princeton, NJ: Princeton University Press, s. 587–703.
  • Camerer, Colin F. och Teck-Hua Ho, 1994, "Violations of the Betweenness Axiom and Nonlinearity in Probability", Journal of Risk and Unceribility, 8 (2): 167–96. doi: 10,1007 / BF01065371
  • Camerer, Colin och Martin Weber, 1992, "Nya utvecklingar i modelleringspreferenser: osäkerhet och tvetydighet", Journal of Risk and Unceribility, 5 (4): 325–370 doi: 10,1007 / BF00122575
  • Chew Soo Hong, 1983,”En generalisering av det kvasinära medelvärdet med tillämpningar för mätning av inkomstjämlikhet och beslutsteori som löser Allais paradox”, Econometrica, 51 (4): 1065–1092. doi: 10,2307 / 1.912.052
  • ––– 1989, “Axiomatic Utility Theories with the Betweenness Property”, Annals of Operations Research, 19 (1): 273–298. doi: 10,1007 / BF02283525
  • Chew Soo Hong, LG Epstein och U. Segal, 1991, "Blandningssymmetri och kvadratisk verktyg", Econometrica, 59 (1): 139–163. doi: 10,2307 / 2.938.244
  • Chew Soo Hong och K. MacCrimmon, 1979, "Alpha-Nu Choice Theory: A Generalization of Expected Utility Theory", arbetsdokument 669, University of British Columbia.
  • Chew Soo Hong och Peter Wakker, 1996,”The Comonotonic Sure-Thing Principle”, Journal of Risk and Uncereness, 12 (1): 5–27. doi: 10,1007 / BF00353328
  • Cohen, L. Jonathan, 1981, "Kan man påvisa experimentell mänsklig irrationalitet?", Beteende- och hjärnvetenskap, 4 (3): 317–370. doi: 10,1017 / S0140525X00009092
  • de Finetti, Bruno, 1937, "La Prévision: Ses Lois Logiques, ses Sources Subjectives", Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1–68.
  • Ellsberg, Daniel, 1961, "Risk, tvetydighet och vilda axiomer", Quarterly Journal of Economics, 75 (4): 643–669. doi: 10,2307 / 1.884.324
  • –––, 2001, Risk, tvetydighet och beslut, New York & London: Garland.
  • Etner, Johanna, Megleria Jeleva och Jean-Marc Tallon, 2012, “Decision Theory under Ambiguity”, Journal of Economic Surveys, 26 (2): 234–270. doi: 10,1111 / j.1467-6419.2010.00641.x
  • Fishburn, Peter C., 1970, Utility Theory for Decision Making, (Publications in Operations Research, No. 18), New York: John Wiley and Sons.
  • –––, 1989, “Icke-transitivt mätbart verktyg för beslut under osäkerhet”, Journal of Mathematical Economics, 18 (2): 187–207. doi: 10,1016 / 0304-4068 (89) 90021-9
  • Friedman, Milton och LJ Savage, 1952, "The Expected-Utility Hypothesis and the Measurability of Utility", Journal of Political Economy, 60 (6): 463–474. doi: 10,1086 / 257.308
  • Galaabaatar, Tsogbadral och Edi Karni, 2013,”Subjektivt förväntat verktyg med ofullständiga preferenser”, Econometrica, 81 (1): 255–284. doi: 10,3982 / ECTA9621
  • Ghirardato, Paolo, Fabio Maccheroni, Massimo Marinacci och Marciano Siniscalchi, 2003, "Ett subjektivt snurr på roulettehjul", Econometrica, 71 (6): 1897–1908. doi: 10,1111 / 1468-0.262,00472
  • Gilboa, Itzhak, 1987, "Expected Utility with Purely Subjektive Non-Additive Probabilities", Journal of Mathematical Economics, 16 (1): 65–88. doi: 10,1016 / 0304-4068 (87) 90022-X
  • Gilboa, Itzhak och Massimo Marinacci, 2013, "Ambiguity and the Bayesian Paradigm", i D. Acemoglu, M. Arellano och E. Dekel (red.), Advances in Economics and Econometrics: Theory and Applications, (tionde World Congress of Econometric Society), New York: Cambridge University Press.
  • Gilboa, Itzhak och David Schmeidler, 1989, "Maxmin förväntat nyttjande med en icke-unik förut", Journal of Mathematical Economics, 18 (2): 141–153. doi: 10,1016 / 0304-4068 (89) 90018-9
  • Goodman, Nelson, 1965, Fact, Fiction and Forecast, andra upplagan, Indianapolis, IN: Bobbs-Merrill.
  • Grant, Simon, 1995, "Subjektiv sannolikhet utan monotonicitet: Eller hur Machinas mamma också kan bli probabilistiskt sofistikerad", Econometrica, 63 (1): 159 189. doi: 10.2307 / 2951701
  • Green, Jerry R. och Bruno Jullien, 1988, "Ordinal självständighet i icke-linjär användbarhetsteori", Journal of Risk and Uncerurity, 1 (4): 355–387. doi: 10,1007 / BF00117641
  • Guala, Francesco, 2000, "The Logic of Normative Falsification: Rationalitet och experiment in Decision Theory", Journal of Economic Methodology, 7 (1): 59–93. doi: 10,1080 / 135017800362248
  • Gul, Faruk, 1991, "A Theory of Disappointment Aversion", Econometrica, 59 (3): 667–686. doi: 10,2307 / 2.938.223
  • Hales, Steven D., 2006, Relativism and the Foundations of Philosophy, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Handa, Jagdish, 1977, "Risk, sannolikheter och en ny teori om kardinal nytta", Journal of Political Economy, 85 (1): 97–122. doi: 10,1086 / 260.547
  • Harless, David W. och Colin F. Camerer, 1994, "Det förutsägbara användbarheten av generaliserade förväntade nyttighetsteorier", Econometrica, 62 (6): 1251–1289. doi: 10,2307 / 2.951.749
  • Heukelom, Floris, 2014, Behavioral Economics: A History, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9781139600224
  • Hej, John Denis, 2014, “Choice under osäkerhet: Empiriska metoder och experimentella resultat”, i Machina & Viscusi 2014: 809–850.
  • Hurwicz, Leonid, 1951, "Vissa specifikationsproblem och tillämpningar på ekonometriska modeller", Econometrica, 19 (3): 343–344.
  • Jallais, Sophie och Pierre-Charles Pradier, 2005, "Allais-paradoxen och dess omedelbara konsekvenser för förväntad nytta-teori", i Philippe Fontaine och Robert Leonard (red.) Experiment in the History of Economics, London: Routledge, s. 25 -49.
  • Jallais, Sophie, Pierre-Charles Pradier och David Teira, 2008, "Fakta, normer och förväntade nyttofunktioner", Humanvetenskapshistoria, 21 (2): 45–62. doi: 10,1177 / 0952695108091414
  • Joyce, James M., 1999, The Foundations of Causal Decision Theory, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10,1017 / CBO9780511498497
  • ––– 2005,”Hur sannolikheter återspeglar bevis”, Filosofiska perspektiv, 19 (1): 153–178. doi: 10,1111 / j.1520-8583.2005.00058.x
  • Kahneman, Daniel och Amos Tversky, 1979, "Prospektteori: En analys av beslut under risk", Econometrica, 47 (2): 263–291. doi: 10,2307 / 1.914.185
  • Keynes, John Maynard, 1921, A Treatise on Probability, London: Macmillan.
  • Klibanoff, Peter, Massimo Marinacci och Sujoy Mukerji, 2005, "En smidig modell för beslutsfattande under tvetydighet", Econometrica, 73 (6): 1849–1892. doi: 10,1111 / j.1468-0262.2005.00640.x
  • Kreps, David M., 1988, Notes on Theory of Choice, Boulder, CO: Westview Press.
  • List, Christian och Philip Pettit, 2011, Group Agency: Corporate Agents möjlighet, design och status, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199591565.001.0001
  • Loomes, Graham och Robert Sugden, 1982, "Beklagar teori: En alternativ teori om rationellt val under osäkerhet", Economic Journal, 92 (386): 805–824. doi: 10,2307 / 2.232.669
  • ––– 1987,”Vissa implikationer av en mer allmän form av ångerteori”, Journal of Economic Theory, 41 (2): 270–287. doi: 10,1016 / 0022-0531 (87) 90020-2
  • Luce, R. Duncan och Howard Raiffa, 1957, Spel och beslut: Introduktion och kritisk undersökning, New York: Wiley.
  • Machina, Mark J., 1987, "Val under osäkerhet: Problem löst och olöst", Journal of Economic Perspectives, 1 (1): 121–154. doi: 10,1257 / jep.1.1.121
  • Machina, Mark J. och David Schmeidler, 1992, "En mer robust definition av subjektiv sannolikhet", Econometrica, 60 (4): 745–780. doi: 10,2307 / 2.951.565
  • Machina, Mark J. och Marciano Siniscalchi, 2014, “Ambiguity and Ambiguity Aversion”, i Machina & Viscus 2014i 2014: 729–807.
  • Machina, Mark J. och Kip Viscusi (red.), 2014, Handbook of the Economics of Risk and Uncer vissness, Volym 1, Amsterdam: Elsevier.
  • MacCrimmon, Kenneth R., 1968, "Beskrivande och normativa implikationer av besluts-teoripostulaten", i K. Borch och J. Mossin (red.), Risk och osäkerhet, New York: St. Martins Press, s. 3– 32.
  • MacCrimmon, Kenneth R. och Stig Larsson, 1979,”Utility Theory: Axioms versus“Paradoxes”, i Allais & Hagen 1979: 333–409. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1_15
  • Maher, Patrick, 1993, Betting on Theories, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Marschak, Jacob, 1951,”Varför” borde”statistiker och affärsmän maximera” moraliska förväntningar”, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley: University of California Press, s. 493–506.
  • May, Kenneth O., 1954, "Intransitivity, Utility and the Aggregation of Preference Patterns", Econometrica, 22 (1): 1–13. doi: 10,2307 / 1.909.827
  • McClennen, Edward F., 2009, “The Normative Status of Independence Principle”, i Anand, Pattanaik, & Puppe 2009: 140–155. doi: 10,1093 / acprof: oso / 9780199290420.003.0006
  • Mongin, Philippe, 2009, “Duhemian Themes in Expected Utility Theory”, Anastasios Brenner & Jean Gayon (eds), French Studies In The Philosophy Of Science, (Boston Studies In The Philosophy Of Science, 276), Springer, s. 303– 357. doi: 10,1007 / 978-1-4020-9368-5_13
  • ––– 2014, “Le Paradoxe d'Allais. Kommentar Lui Rendre sa Signification Perdue?”, Revue Économique, 65 (5): 743–779.
  • Morgenstern, Oskar, 1979, "Vissa reflektioner över nyttan", i Allais & Hagen 1979: 175–184. doi: 10,1007 / 978-94-015-7629-1_6
  • Nau, Robert, 2006, “Formen av ofullständiga preferenser”, Annals of Statistics, 34: 2430–2448. doi: 10,1214 / 009053606000000740
  • Ok, Efe A., Pietro Ortoleva, och Gil Riella, 2012, "Ofullständiga preferenser under osäkerhet: obeslutsamhet i tro mot smaker", Econometrica, 80 (4): 1791–1808. doi: 10,3982 / ECTA8040
  • Quiggin, John, 1982, “A Theory of Anticipated Utility”, Journal of Economic Behavior and Organization, 3 (4): 323–343. doi: 10,1016 / 0167-2681 (82) 90008-7
  • ––– 1992, Generalised Expected Utility Theory: The Rank Dependent Model, Dordrecht: Kluwer.
  • Ramsey, Frank P., 1931, "Sanning och sannolikhet", i RB Braithwaite (red.) The Foundations of Mathematics and other Logical Essays, New York: Harcourt and Brace, s. 156–198.
  • Regenwetter, Michel, Jason Dana och Clinton P. Davis-Stober, 2011, “Transitivity of Preferences”, Psychological Review, 118 (1): 42–56. doi: 10,1037 / a0021150
  • Savage, Leonard J., 1954, The Foundations of Statistics, New York: Wiley, andra upplagan.
  • Schmeidler, David, 1986, "Integral representation without Additivity", Proceedings of the American Mathematical Society, 97 (2): 255–261.
  • –––, 1989,”Subjektiv sannolikhet och förväntat nyttjande utan additivitet”, Econometrica, 57 (3): 571–587. doi: 10,2307 / 1.911.053
  • Seidenfeld, Teddy, Mark J. Schervish och Joseph B. Kadane, 1995, "En representation av delvis ordnade preferenser", Annals of Statistics, 23 (6): 2168–2217. doi: 10,1214 / aos / 1034713653
  • Slovic, Paul och Amos Tversky, 1974, "Vem accepterar Savages axiom?", Systemforskning och beteendevetenskap, 19 (6): 368–373. doi: 10,1002 / bs.3830190603
  • Stanovich, Keith E., 1999, Who Is Rational? Studier av individuella skillnader i resonemang, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
  • Starmer, Chris, 2000, "Utvecklingar i icke-förväntad nyttighetsteori: Jakten på en beskrivande teori om val under risk", Journal of Economic Literature, 38 (2): 332–382. doi: 10,1257 / jel.38.2.332
  • ––– 2005, “Normativa uppfattningar i beskrivande dialoger”, Journal of Economic Methodology, 12 (2): 277–289. doi: 10,1080 / 13501780500086206
  • Stein, Edward, 1996, Utan god anledning: Rationalitetsdebatten i filosofi och kognitiv vetenskap, Oxford: Clarendon Press.
  • Stich, Stephen P., 1990, The Fragmentation of Reason, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Sugden, Robert, 1993, "An Axiomatic Foundation For Regret Theory", Journal of Economic Theory, 60 (1): 159–180. doi: 10,1006 / jeth.1993.1039
  • ––– 2004, “Alternatives to Expected Utility: Foundations”, i Salvador Barberà, Peter J. Hammond och Christian Seidl (red.), Handbook of Utility Theory: Volume 2 Extensions, Boston, MA: Springer, s. 685 -755.
  • Sytsma, Justin och Jonathan Livengood, 2014, Theory and Practice of Experimental Philosophy, Peterborough, ON: Broadview Press.
  • Talbot, Brian, 2014, “Varför så negativt? Evidence Aggregation and Armchair Philosophy”, Synthèse, 191 (16): 3865–3896. doi: 10,1007 / s11229-014-0509-z
  • Thagard, Paul, 1982, "Från det beskrivande till det normativa i psykologi och logik", Philosophy of Science, 49 (1): 24–42. doi: 10,1086 / 289.032
  • Trautmann, Stefan T. och Gijs van de Kuilen, 2015, "Ambiguity Attitudes", i Gideon Keren & George Wu (red.), Wiley Blackwell Handbook of Judgment and Decision Making, Oxford: Blackwell, 89–116.
  • Tversky, Amos, 1969, "Intransitivity of preferences", Psychological Review, 76 (1): 31–48. doi: 10,1037 / h0026750
  • Tversky, Amos och Daniel Kahneman, 1986, "Rational Choice and the Framing of Decisions", The Journal of Business, 59 (4): 251–278.
  • ––– 1992,”Framsteg i prospektteori: kumulativ representation av osäkerhet”, Journal of Risk and Unceribility, 5 (4): 297–323. doi: 10,1007 / BF00122574
  • van de Kuilen, Gijs och Peter P. Wakker, 2006, “Lärande i Allais-paradoxen”, Journal of Risk and Unceribility, 33 (3): 155–164. doi: 10,1007 / s11166-006-0390-3
  • van Fraassen, Bas C., 1989, Laws and Symmetry, Oxford: Oxford University Press. doi: 10,1093 / 0198248601.001.0001
  • von Neumann, John och Oskar Morgenstern, 1947, Theory of Games and Economic Behaviour, andra upplagan, Princeton: Princeton University Press.
  • Wald, Abraham, 1950, statistiska beslutsfunktioner. New York: John Wiley and Sons.
  • Wakker, Peter P., 1989, "Continuous Subjektive Expected Utility with Nonadditive Probabilities", Journal of Mathematical Economics, 18 (1): 1–27. doi: 10,1016 / 0304-4068 (89) 90002-5
  • –––, 2010, Prospect Theory: For Risk and Ambiguity, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Wakker, Peter P. och Amos Tversky, 1993, "En axiomatisering av kumulativ prospektteori", Journal of Risk and Uncer vissness, 7 (2): 147–175. doi: 10,1007 / BF01065812
  • Weber, Michael, 1998,”Allais-paradoxens motståndskraft”, Etik, 109 (1): 94–118. doi: 10,1086 / 233.875
  • Weber, Michael och Colin F. Camerer, 1987, "Senaste utvecklingen i modelleringspreferenser under risk", OR Spektrum, 9 (3): 129–151. doi: 10,1007 / BF01721094
  • Weirich, Paul, 1986, "Expected Utility and Risk", British Journal for the Philosophy of Science, 37 (4): 419–442. doi: 10,1093 / bjps / 37.4.419
  • Zappia, Carlo, 2016, “Daniel Ellsberg and the Validation of Normative Propositions”, Oeconomia, 6 (1): 57–79. doi: 10,4000 / oeconomia.2276

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

  • Bibliografi, kommenterad, i ord, av Peter Wakker; en användbar resurs som börjar med en lista med nyckelord och förkortningar, men består mestadels av en kommenterad lista med referenser med länkar till papperet när det finns tillgängligt.
  • Beslutsteoriforum på Google-grupper; innehåller regelbundna inlägg från ledande beslutsteoretiker, inklusive konferensmeddelanden och liknande.

Rekommenderas: