Ramsey Och Intergenerational Välfärdsekonomi

Innehållsförteckning:

Ramsey Och Intergenerational Välfärdsekonomi
Ramsey Och Intergenerational Välfärdsekonomi

Video: Ramsey Och Intergenerational Välfärdsekonomi

Video: Ramsey Och Intergenerational Välfärdsekonomi
Video: Navigating the Multigenerational Workplace | Leah Georges | TEDxCreightonU 2024, Mars
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Ramsey och intergenerational välfärdsekonomi

Först publicerad lör 1 juni 2019

Hur ska vi föreställa mänskligt välbefinnande över tid och genom generationer? Hur borde man ta hänsyn till människors intressen i en avlägsen framtid när vi fattar våra egna beslut? Hur mycket av dess produktion ska en nation investera för framtiden? I vilka tillgångar ska investeringen göras? Vad bör vara balansen mellan privata, offentliga och kommunitära investeringar i den totala investeringen som en generation gör för framtiden? Hur mycket ska världen spendera för att motverka globala klimatförändringar?

I ett anmärkningsvärt papper utvecklade Frank Ramsey ett ramverk där var och en av dessa frågor kan studeras i en form som är noggrann och praktiskt tillräcklig för att få fram svar (Ramsey, 1928). Hans tillvägagångssätt var att tillämpa den klassisk-utilitaristiska kalkylen för att identifiera den bästa matchningen bland uppnåeliga och önskvärda användningsströmmar över tid och över generationer. Trots att det var mycket känt idag, hade papperet ingen inledande inverkan. Vissa ekonomer har tillskrivit bristen på intresse för tidningens tekniska karaktär. När han besvarade den fråga som han ställde ("Hur mycket av en lands produktion bör den spara?") Fick Ramsey använda beräkningen av variationer. Det är ingen tvekan om att få ekonomer då visste de nödvändiga tekniska egenskaperna. Men det är svårt att föreställa sig att det inte fanns några ekonomer som kunde lära sig den nödvändiga matematiken om de ville göra det. Anledningen till att det fanns lite intresse för Ramseys papper låg på andra håll. Åren efter publiceringen, en period som nu kallas The Great Depression, var det centrala ekonomiska problemet i industrialiserade länder att hitta sätt att öka sysselsättningen. Fabriker låg inaktiva, liksom människor. Arbetslösheten i Europa och USA låg i regionen på 25%. Politik som behövdes då hade att göra med att skapa incitament för arbetsgivare att anställa arbetare. Trots att det fanns kontroverser bland ekonomer om vad denna politik skulle vara, tvivlade ingen på att industrisamhällen stod inför ett problem på kort sikt. Däremot behandlade Ramsey en fråga som involverar det långa loppet; och för att ha ett okänt problem att analysera, tog han det med tanke på att det finns full sysselsättning vid varje datum för både kapital och arbetskraft.

Med framväxten av post-koloniala länder efter andra världskriget blev den långsiktiga ekonomiska utvecklingen framträdande i ekonomiska studier. I början av 1960-talet hade det blivit tydligt att Ramsey's uppsats är den naturliga utgångspunkten för att studera välfärdsekonomin på lång sikt, inte bara för att bedriva optimal utveckling i centralt planerade ekonomier (Chakravarty, 1969), men också för användning i sociala kostnader nyttoanalys av offentliga investeringar i blandade ekonomier (Arrow och Kurz, 1970), val av teknik i arbetsöverskottsekonomier (Little och Mirrlees, 1968, 1974), och nyligen, välfärdsekonomin för klimatförändringar (Cline, 1992; Nordhaus, 1994; Stern, 2007). Antalet spår som Ramsey lagt var anmärkningsvärt. Inom akademisk ekonomi är det ett av dussintals eller så mest inflytelserika artiklar från 1900-talet.

Klassisk Utilitarism tar det goda att vara det förväntade värdet på summan av verktyg över tid och genom generationerna (Sidgwick, 1907). Ramseys formulering byggdes på det moraliska resonemanget. Han använde till och med termen "njutning" för att tolka användbarheten. Artikeln förkroppsligar den typ av etisk överläggning Sen och Williams (1982) som kallas "Government House Utilitarism." Men Ramsey's artikel trivs idag för att regeringshuset behöver etisk vägledning som inte är en rekvisita för betalda tjänstemän för att agera på nepotistiska, inte tänk på rovdjur, utan istället är opartiska över människors behov och känslighet. Även om Ramsey använde det utilitaristiska språket, säger en generös läsning av sitt papper att mycket skulle uppnås om vi i stället för "njutning" skulle arbeta med det bredare begreppet "välbefinnande".”Ett sådant drag gör att man kan ägna större uppmärksamhet åt faktorerna, oavsett om de är materiella eller på annat sätt, som skapar blomstrande liv.

  • 1. Produktionsmöjligheter i Ramseys formulering
  • 2. Den klassisk-utilitaristiska beräkningen

    2.1 Nolldiskontering av framtida välbefinnande

  • 3. Problemet med optimal besparing

    • 3.1 Obesvarad utilitarism
    • 3.2 Re-normalisera odiskonterad utilitarism
    • 3.3 Kriteriet för övergrepp
    • 3.4 Rabatterad utilitarism
  • 4. Ramsey-regeln och dess förgreningar

    • 4.1 Variationsargumentet
    • 4.2 Ofullständighet i Ramseys analys
    • 4.3 Transversalitetsvillkoret
    • 4.4 Numeriska uppskattningar av den optimala besparingsgraden
    • 4.5 Kommentar
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Produktionsmöjligheter i Ramseys formulering

Ramseys mål var praktiskt: "Hur mycket av en lands produktion bör den spara för framtiden?" Den demografiska profilen över tid togs av honom att ges, vilket innebar att framtida antal människor sågs som exogena och förutsägbara. Vi skulle därför föreställa oss att den ekonomiska politiken har en försumbar effekt på reproduktivt beteende (men se Dasgupta, 1969, för en studie av den gemensamma befolkningen / besparingsproblemet, med klassisk Utilitarism som vägledande princip). Parfit (1984) döpt val med samma demografiska profil, "Samma siffror val."

Ingredienserna i Ramseys teori är individernas livsväsen. Regeringshuset i hans värld maximerar den förväntade summan av livets välbefinnande för alla som är här idag och alla som någonsin kommer att föds, med förbehåll för resursbegränsningar. Den optimala fördelningen av livsväxter över generationer härrör från den maximala övningen. Naturligtvis är tiden inte densamma som generationernas framåt. En individs livslångt välbefinnande är ett sammandrag av flödet av välbefinnande som hon upplever, medan intergenerationellt välbefinnande är ett sammanställning av livets välbefinnande för alla som dyker upp på scenen. Det är tveksamt att de två aggregaten bör ha samma funktionella form. Å andra sidan finns det lite som tyder på att vi skulle vara långt ifrån varumärket förutsatt att de har samma form. Som en fråga om praktisk etik, hjälper det enormt att tillnärma sig genom att inte skilja den funktionella formen för någons välbefinnande över tid från välbefinnande i generationerna. Ramsey antog denna genväg. Människor ansågs också vara identiska, så vi kan lika gärna anta att det finns en enda individ på varje datum. Flytten tar bort alla skillnader mellan tid och generationer. En alternativ tolkning skulle få oss att föreställa oss att ekonomin består av en enda dynasti, där föräldrar i varje generation lämnar testament för sina barn (Meade, 1966, antog denna tolkning). Ramsey antog också, förmodligen på grund av att matematiken är enklare, att tiden är en kontinuerlig variabel, inte diskret.det hjälper enormt att tillnärma sig genom att inte skilja den funktionella formen för någons välbefinnande över tid från välbefinnande i generationerna. Ramsey antog denna genväg. Människor ansågs också vara identiska, så vi kan lika gärna anta att det finns en enda individ på varje datum. Flytten tar bort alla skillnader mellan tid och generationer. En alternativ tolkning skulle få oss att föreställa oss att ekonomin består av en enda dynasti, där föräldrar i varje generation lämnar testament för sina barn (Meade, 1966, antog denna tolkning). Ramsey antog också, förmodligen på grund av att matematiken är enklare, att tiden är en kontinuerlig variabel, inte diskret.det hjälper enormt att tillnärma sig genom att inte skilja den funktionella formen för någons välbefinnande över tid från välbefinnande i generationerna. Ramsey antog denna genväg. Människor ansågs också vara identiska, så vi kan lika gärna anta att det finns en enda individ på varje datum. Flytten tar bort alla skillnader mellan tid och generationer. En alternativ tolkning skulle få oss att föreställa oss att ekonomin består av en enda dynasti, där föräldrar i varje generation lämnar testament för sina barn (Meade, 1966, antog denna tolkning). Ramsey antog också, förmodligen på grund av att matematiken är enklare, att tiden är en kontinuerlig variabel, inte diskret.så vi kan lika gärna anta att det finns en enda individ vid varje datum. Flytten tar bort alla skillnader mellan tid och generationer. En alternativ tolkning skulle få oss att föreställa oss att ekonomin består av en enda dynasti, där föräldrar i varje generation lämnar testament för sina barn (Meade, 1966, antog denna tolkning). Ramsey antog också, förmodligen på grund av att matematiken är enklare, att tiden är en kontinuerlig variabel, inte diskret.så vi kan lika gärna anta att det finns en enda individ vid varje datum. Flytten tar bort alla skillnader mellan tid och generationer. En alternativ tolkning skulle få oss att föreställa oss att ekonomin består av en enda dynasti, där föräldrar i varje generation lämnar testament för sina barn (Meade, 1966, antog denna tolkning). Ramsey antog också, förmodligen på grund av att matematiken är enklare, att tiden är en kontinuerlig variabel, inte diskret.inte diskret.inte diskret.

Låt (t / ge 0) markera tid. I Ramseys modell finns det ingen osäkerhet (men se Levhari och Srinivasan, 1969, för en av de första av många utvidgningar av Ramsey-modellen som innehåller osäkerhet om framtida möjligheter). Ekonomin har en enda, icke-deprecierande råvara som kan arbetas av arbetskraft för att producera produktion vid varje datum (Gale, 1967, och Brock, 1973, var bland de första av många förlängningar av Ramsey-modellen som innehåller en heterogen samling av kapitalvaror). Ekonomin antas vara stängd för internationell handel (att öppna ekonomin för handel innebär endast en mindre förlängning av Ramseys modell). Det betyder att en del av produktionen kan investeras så att den lägger till råvarans lager medan resten kan konsumeras omedelbart. Vi kallar lageret för varan som tjänar till att producera produktion,”kapital.”Problemet är då att hitta den optimala fördelningen av produktionen på varje datum mellan konsumtion och investering.

Ramsey antog att arbetet är obehagligt. Men eftersom att inkludera ojämnheten i arbete i vår redogörelse för hans arbete här inte skulle lägga till något innehåll, antar vi att arbetskraftsutbudet är en exogent givet konstant (t.ex. är det oberoende av lönen som arbetskraften kan kräva). Det gör att vi kan undertrycka utbudet av arbetskraft i både produktion och faktorer som påverkar välbefinnandet.

Om (K) är kapitalets lager i ekonomins enda råvara, tas produktionen till (F (K)), där (F (0) = 0) (dvs. output är noll om det inte finns något kapital), (dF (K) / dK / gt 0) (dvs kapitalets marginella produkt är positiv) och (d ^ 2 F (K) / dK ^ 2 / le 0) (dvs. marginalprodukten från (K) ökar inte med (K)). (F (K)) är ett flöde (produktion vid ett ögonblick i tid), i motsats till (K), som är ett lager (mängd kapital, period). Lägg också märke till att produktionen enbart beror på kapitalets lager. Det nämns inte om möjliga förbättringar av kvaliteten på kapital eller arbetskraft. Det finns således inga möjligheter till teknisk utveckling eller ansamling av mänskligt kapital i Ramseys modell (men se Mirrlees, 1967,för en av de första av många utvidgningar av Ramsey-modellen som inkluderar tekniska framsteg inom produktion och bildning av mänskligt kapital); Det finns inte heller några naturresurser i modellen (men se Dasgupta och Heal, 1974, för en av de första av många utvidgningar av Ramsey-modellen som inkluderar naturkapital i produktionen).

Låt (C (t)) vara konsumtion vid (t). Det är ett flöde (förbrukningsenheter per ögonblick). På liknande sätt skriver vi (K (t)) för kapitalet på (t). Eftersom (dK (t) / dt) är förändringstakten i kapitalbeståndet vid (t), är det "nettoinvestering vid (t)", vilket också är ett flöde. Och eftersom kapitalet antas inte avskrivas, är bruttoinvesteringar lika med nettoinvesteringarna.

I Ramseys modell är förväntad produktion i varje ögonblick lika med summan av avsedd investering och avsedd konsumtion. Avsikter förverkligas alltid. För att uttrycka det på ett tekniskt språk är ekonomin i jämvikt vid varje ögonblick, vilket är ett annat sätt att säga att avsedda sparande i varje ögonblick är lika med avsedda investeringar. (Antagandet behöver ingen förklaring i en modell med en enda agent, men har en verklig bit i en värld där sparare inte är samma agenter som investerare.) Kapitalet antas alltid vara fullt ut och arbetskraft (som är dold i produktionen funktion (F (K))) anses vara fullt anställd. Utdata vid (t) är (F (K (t))). Av detta följer att ekonomin drivs av den dynamiska ekvationen

(tag {1} frac {dK (t)} {dt} = F (K (t)) - C (t))

Ekvation (1) säger att om konsumtionen är (C (t)), är investeringar det som återstår av produktionen. Så, Ramseys problem kan kastas lika som, "Hur mycket av en lands produktion bör den konsumera?" Om konsumtionen är mindre än produktionen vid (t) (dvs (C (t) lt F (K (t))), är investeringen positiv (dvs (dK (t) / dt / gt 0)) och kapitalets lager ökar, men om konsumtionen överstiger produktionen vid (t) är investeringar negativa, vilket innebär att kapitalet äts in och beståndet minskar (dvs. (dK (t) / dt / lt 0).) Vi föreställer oss nu att regeringshuset får råd från en "socialt berörd medborgare", personen som är någon som försöker fastställa rätt balans mellan ekonomins konsumtion och investeringar vid varje datum. Vi ska kalla den personen beslutet maker, eller DM. Ramsey föreställde sig att DM är en klassisk-utilitaristisk.

2. Den klassisk-utilitaristiska beräkningen

Klassisk utilitarism identifierar det goda som den förväntade summan av välbefinnande över tid och över generationer. Här är Sidgwick (1907: 414) om saken:

Det verkar … tydligt att den tid då en människa existerar inte kan påverka värdet av sin lycka ur universell synvinkel; och att eftervärldens intressen måste beröra en utilitaristisk lika mycket som hans samtida, utom i den mån effekterna av hans handlingar på eftertiden - och till och med människors existens som påverkas - måste nödvändigtvis vara mer osäkra. (Kursiv tillagd)

För att formalisera detta överväger vi ett godtyckligt datum (t) vid vilket DM överväger. Låt (tau) ange datum som inte är tidigare än (t) (dvs (tau / ge t)). Ramsey ansåg en deterministisk, oändligt levd värld (men se Yaari, 1965, för den första av många förlängningar av Ramsey-modellen som innehåller risken för individuell eller samhällsutrotning). Välbefinnande antas vara en numerisk mängd. Låt (U (t)) vara välbefinnande på (t), och låt (V (t)) vara ett sammanlagt mått på flödet av välbefinnande över tid och generationer, som utvärderats vid tidpunkten (t). Ramsey följde Sidgwick när han antog det

(tag {2} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (tau)] d / tau)

(V (t)) är intergenerationellt välbefinnande hos (t). Eftersom Ramsey's värld är deterministisk är (V (t)) också det förväntade värdet på (V (t)). Så Sidgwicks kriterium är (V (t)) i ekvation (2).

Välbefinnande vid varje givet datum antas vara en funktion enbart av konsumtionen vid det datumet. Vi skriver därför (U (t) = U (C (t))). Ramsey antog att marginellt välbefinnande är positivt (dvs (dU (C) / dC / gt 0)) men minskar med ökande konsumtionsnivåer (dvs (d ^ 2 U (C) / dC ^ 2 / lt 0)). Den senare egenskapen innebär att (U (C)) är en strikt konkav funktion. (Edgeworth, 1885, hade rutiniserat idén att marginellt välbefinnande minskar med ökande konsumtion.) Således kan ekvation (2) skrivas som

(tag {3} V (t) = / int ^ { infty} _t [U (C (tau))] d / tau)

Klassisk Utilitarism, som återspeglas i ekvation (3), kräver att om (U) är ett numeriskt mått på välbefinnande, så är det (alpha U + / beta), där (alpha) är en positivt antal och (beta) är ett antal av båda tecknen. Formellt säger vi att (U) är unikt upp till "positiva affinetransformationer." Vi bekräftar för närvarande att teorinens rekommendationer är invarianta under sådana omvandlingar.

2.1 Nolldiskontering av framtida välbefinnande

I ekvation (3) diskonteras inte framtida värden på (U) när de ses från nuvarande tid, (t). Denna speciella rörelse har väckt mer debatt bland ekonomer och filosofer än något annat inslag i Ramseys teori om optimalt sparande. Debatten har ibland varit skingrare än till och med vi ekonomer är vana vid (se särskilt Nordhaus, 2007). Med risken att generera vildt har ekonomer gynnat användningen av positiva priser för att diskontera framtida välmående (t.ex. Arrow och Kurz, 1970), medan filosofer har insisterat på att framtida människors välbefinnande ska ges samma vikt som det för nuvarande människor (t.ex. Parfit, 1984).

Hur skulle Klassisk Utilitarism med positiv diskontering av framtida välmående se ut? Låt (delta / gt 0) vara den hastighet med vilken det anses önskvärt att diskontera framtida välmående (för enkelhets skull anser vi att diskonteringsräntan är konstant). Då, i stället för ekvationer (2) - (3), skulle generationens välbefinnande hos (t) läsa som

(tag {4} begin {align} V (t) & = / int ^ { infty} _t [U (tau) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau & = / int ^ { infty} _t [U (C (tau)) e ^ {- / delta (tau -t)}] d / tau, t / ge 0 \\ / end {align}]

I ekvation (4), (delta) "tidsrabattfrekvensen" och (e ^ {- / delta}) den resulterande "tidsrabatteringsfaktorn."

(delta / gt 0) antyder (e ^ {- / delta} lt 1). Det betyder (e ^ {- / delta (tau -t)}) tenderar till noll exponentiellt eftersom (tau) tenderar till oändlighet. I den senare delen av sitt papper använde Ramsey (1928: 553–555) ekvation (4) för att studera problemet med optimal besparing, men han godkände inte formuleringen. Istället skrev han (s. 543) att att rabattera senare (U) i jämförelse med tidigare är "… etiskt oförsvarligt och uppstår bara från fantasiens svaghet." I en bok som invigde den formella studien av ekonomisk utveckling följde Harrod (1948: 40) efter genom att kalla praktiken ett "… artigt uttryck för raseri och erövring av förnuft av passion."

Starka ord, men för vissa ekonomer läser Ramsey-Harrod-strikturen i en deterministisk värld som ett uttalande på söndag. Solow (1974a: 9) uttryckte denna känsla exakt när han skrev: "I högtidlig konklav sammansatt, så att säga, borde vi agera som om [diskonteringsräntan för framtida välmående] var noll."

Men saken kan inte lösas utan en studie av produktions- och konsumtionsmöjligheter som är öppna för en ekonomi. Tänk på följande spänning mellan två uppsättningar av överväganden:

  1. Låga konsumtionsnivåer av generationer tillräckligt långt in i framtiden skulle inte anses vara en dålig sak av den nuvarande DM om framtida välmående skulle diskonteras till en positiv takt. Så dagens DM skulle rekommendera höga konsumtionsnivåer för nu och inom en nära framtid även om det innebar att generationer i en avlägsen framtid skulle leva i straff. Men om en sådan politik följdes, skulle kraven på ytterligare ett moraliskt krav till klassisk utilitarism som DM kan innehålla, nämligen”mellan generationens rättvisa,” inte uppfyllas. Därför bör vi följa Ramsey och inte rabattera framtida välmående.
  2. Skriv (dF (K) / dK) som (F_K). Från ekvation (1) är det enkelt att dra slutsatsen att (F_K) är avkastningen på investeringen. I Ramseys ekonomi (F_K / gt 0), vilket innebär att varje produktionsenhet som sparas ger mer än en enhet för framtida konsumtion, andra saker lika. Om DM till exempel skulle minska konsumtionen vid (t) med en enhet, den ytterligare konsumtion som skulle vara tillgänglig inom kortaste perioder senare - vi skriver det som (Delta t) - utan att påverka konsumtionen på något framtida datum skulle vara (1+ [dF (K (t)) / dK (t)] Delta t). Produktiviteten i kapitalet är alltså bundet till tidens pil, vilket skapar en partiskhet till förmån för kommande generationer. Denna förspänning ger biten till orden "Vi kan göra något för eftertiden,men vad kan eftertiden göra för oss?” Tanken uppstår oundvikligen att kanske bias ska motverkas i DM: s kalkyl om hon skulle ägna någon uppmärksamhet åt mellangenerationell rättvisa i realiserat välbefinnande som ett komplement till Klassisk Utilitarism. Det antyder i sin tur att DM bör överge Ramsey och diskontera framtida välmående till en positiv takt.

Kraften för varje övervägande har visats i ekonomilitteraturen. Det har visats i samband med en enkel modell att om produktion kräver producerat kapital och uttömmande resurser, så minskar den optimala förbrukningen till noll på lång sikt om framtida välmående diskonteras till en positiv takt (Dasgupta och Heal, 1974), men ökar på obestämd tid om vi följer Ramsey när vi inte diskonterar framtida välmående (Solow, 1974b). Övningarna berättar för oss att de långsiktiga funktionerna för optimal sparpolicy beror på den relativa storleken på den takt med vilken framtida välmående diskonteras och kapitalproduktionens långsiktiga produktivitet.

Det finns en mer allmän punkt här, som utforskades av Koopmans (1960, 1965, 1967, 1972) i en anmärkningsvärd uppsättning publikationer om idén om ekonomisk utveckling. I sådana komplexa övningar som de som involverar konsumtion och investeringar under en lång tidshorisont är det dumt att betrakta alla etiska principer (t.ex. Klassisk Utilitarism) som sakrosankt. Man kan aldrig veta i förväg vad det kan stöta på. En mer förnuftig taktik än Ramseys skulle vara att spela upp en uppsättning etiska antaganden mot en annan i icke-otänkbara världar, se vad deras konsekvenser har för fördelningen av välbefinnande över generationer och sedan vädja till våra intuitiva sinnen innan vi argumenterar över politik. Att lösa förhands om man skulle använda en positiv ränta för att diskontera framtida välbefinnande kan vara ett självbedrägerande drag. [1]

3. Problemet med optimal besparing

Ramsey betraktade en värld med en obestämd framtid. Det kan tyckas vara ett konstigt drag, men det har en stark grund. Anta att DM skulle välja en horisont för (T) år. Eftersom hon inte vet när vår värld kommer att sluta kommer hon att vilja ange de resurser som ska lämnas kvar vid (T) om världen inte upphör då. Men för att hitta en motivering för det belopp som ska lämnas kvar vid (T), kommer DM att behöva en utvärdering av världen bortom (T). Det skulle emellertid motsvara att inkludera världen utanför (T). Och så vidare.

Beteckna en förbrukningsström från nuvarande ((t = 0)) till oändlighet som ({C (t) }.) (K (0) gt 0) omskriver ekonomin; det är den mängd kapital som samhället har ärvt från det förflutna. Matematiker skulle kalla (K (0)) ett "initialt villkor." Problemet som Ramsey ställde sig själv var att bestämma konsumtionsströmmen ({C (t) }) från 0 till oändlighet som DM skulle välja om hon var en klassisk Utilitarist.

3.1 Obesvarad utilitarism

Ring en konsumtionsström ({C (t) }) genomförbar om den uppfyller ekvation (1) med det initiala villkoret (K (0)). I Ramsey's deterministiska värld är den klassiska utilitaristiska formuleringen av problemet med optimal nationell besparing vid datumet (t = 0) således:

“Från uppsättningen av alla möjliga konsumtionsströmmar, hitta den ({C (t) }) som maximerar

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t))] dt.”)

Vi kommer att kalla detta optimeringsproblem, Ramsey Mark I.

Det finns en allvarlig svårighet med Ramsey Mark I: det är inte sammanhängande. Oändliga summor konvergerar inte nödvändigtvis. För alla ({C (t) }) för vilka den oändliga integralen inte konvergerar, finns (V (0)) inte. Om integralen inte är konvergent för alla möjliga konsumtionsströmmar ({C (t) }), är maximeringsproblemet meningslöst: Man kan inte maximera något som verkar vara en verkligt värderad funktion (V (0)) när funktionen faktiskt inte finns.

Denna observations kraft kan ses i

Exempel 1 (tillskrivs David Gale)

Anta som ett extremt speciellt fall av Ramsey-ekonomin, (F (K) = 0) för alla (K / ge 0). Sedan minskar ekvation (1) till

(tag {5} frac {dK (t)} {dt} = - C (t))

Ekonomin som beskrivs i ekvation (5) består av en icke-försämrad bit kaka, av storlek (K (0) gt 0) vid det inledande datumet. Det är uppenbart att varje konsumtionsström ({C (t) }) som uppfyller ekvationen (5) tenderar att bli noll på lång sikt. Formellt sett (C (t) högermark 0) som (t / högermark / infty).

Eftersom funktionen (U) - är unik upp till positiva affintransformationer, kan vi utan någon förlust av generalitet normalisera den så att (U (0) ne 0). Det är då uppenbart att för alla genomförbara ({C (t) }), (V (0)) i Ramsey Mark avviker jag till minus oändlighet om (U (0) lt 0), men avviker till plus oändlighet om (U (0) gt 0). Att det inte finns en optimal politik i kakamatmodellen kan ses om vi nu minns att (U (C)) har antagits vara strikt konkav. Antagandet innebär att varje icke-egalitär fördelning av konsumtionen mellan generationerna kan förbättras genom en lämplig omfördelning. Den ideala distributionen skulle vara lika konsumtion för alla generationer. Den enda förbrukningsströmmen med den senare egenskapen är (C (t) = 0) för alla (t). Men det är den sämsta möjliga distributionen. QED

3.2 Re-normalisera odiskonterad utilitarism

Frågan uppstår om det finns omständigheter där det finns den bästa konsumtionsströmmen även om (V (0)) inte konvergerar för alla konsumtionsströmmar. Ramsey formulerade frågan genom att ändra hur sparproblemet ställs.

Föreställ dig att välbefinnandet är avgränsat ovan oavsett hur stor konsumtion råkar vara. Låt (U) vara det numeriska måttet på välbefinnande som DM väljer att arbeta med. (Alla positiva affinetransformationer av (U) skulle vara lika legitima mått på välbefinnande.) Låt (B) vara den nedre övre gränsen för (U). Ramsey döpte det "Bliss". Eftersom avkastningen på investeringen ((F_K)) i hans modell är positiv, skulle konsumtionen växa på obestämd tid och tenderar att vara oändlig i det långa loppet om sparandesatserna skulle väljas på lämpligt sätt. Det betyder att det finns möjliga vägar för ekonomisk utveckling där (U (C (t))) tenderar att (B) på lång sikt. Men det innebär att det finns möjliga vägar för ekonomisk utveckling där det korta fallet av (U (C (t))) från (B) tenderar att bli noll på lång sikt. Om det korta fallet tenderar att bli noll tillräckligt snabbt,den opiskonterade integralen av skillnaden mellan (U (C (t))) och (B) skulle existera, och DM skulle kunna försöka maximera den modifierade integralen. Så vi har Ramsey Mark II, som läser som

“Från uppsättningen av alla möjliga konsumtionsströmmar, hitta den ({C (t) }) som maximerar

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) - B] dt.”)

Lägg märke till att Mark II är en omvandling av Mark I. Omvandlingen innebär att normaliseringskriteriet åter normaliseras. Inte bara var övergången från Mark I till Mark II på Ramseys sida genial, utan visade också hans moraliska integritet. Det hade varit tillräckligt enkelt för honom att be DM istället att diskontera framtida konsumtion och utöka omfånget av omständigheter där Utilitarism ger ett svar på problemet DM försöker lösa. Han valde att inte göra det.

Ramseys intuition att flytta från Mark I till Mark II var kraftfull, men i ett papper som initierade den moderna litteraturen om Ramsey-problemet konstaterade Chakravarty (1962) att för att uteslutande förlita sig på det villkor Ramsey hade identifierat sig vara nödvändigt för en konsumtionsström att vara det optimala (se nedan) kan leda till absurda resultat (se nedan, avsnitt 4). I själva verket observerade Chakravarty att oändliga integraler, inte ens när de kastas i den omnormaliserade formen i Ramsey Mark II, inte nödvändigtvis konvergerar till ändliga värden.

3.3 Kriteriet för övergrepp

Det som behövdes var att koppla bort frågan om oändliga välbefinnande integraler konvergerar från frågan om det finns optimala konsumtionsströmmar. Denna insikt tillhandahölls av Koopmans (1965) och von Weizsacker (1965). Den sistnämnda författarens redogörelse för problemet med optimalt sparande var som följer:

Vi säger att den möjliga förbrukningsströmmen ({C ^ * (t) }) är överlägsen en genomförbar förbrukningsström ({C (t) }) om det finns (T / gt 0) så att för alla (t / ge T), (tag {6} int ^ t_0 [U (C ^ * (s))] ds / ge / int ^ t_0 [U (C (s))] ds)

Vi kallar ({C ^ * (t) }) optimalt om det är överlägset alla andra möjliga konsumtionsströmmar.

Villkoret som representeras i ojämlikhet (6) kallas Overtaking Criterion (OC), för det är vad det är. OC undviker att fråga om integralerna på båda sidor om ojämlikhet (6) konvergerar som (t / högermark / infty). Om de gör det, reducerar OC till klassisk utilitarism. Men OC kan svara på Ramseys sparproblem i en bredare klass av situationer. I sitt arbete identifierade Koopmans (1965) en kanonisk ekonomisk modell där (U) - funktionen är avgränsad ovan och där Ramsey Mark II motsvarar ett optimeringsproblem som ställs i termer av OC.

Vad ska vi göra om etiken för att diskontera framtida generations välmående? Ramsey (1928) började med att avfärda den men studerade sedan den i slutet av sitt papper. DM kan naturligtvis motivera att diskontera framtida välbefinnande om det finns möjlighet till framtida utrotning. Sidgwick (1907) konstaterade själv att det i den citerade passagen tidigare. Om Klassisk Utilitarism tas för att berömma den förväntade summan av välbefinnande, är "riskfrekvensen" vid datum (t) (dvs. sannolikheten för utrotning vid datum (t) villkorad av att samhället överlever till (t))) visas i uttrycket för förväntat välbefinnande som en diskonteringsränta för välbefinnande vid (t). Frågan återstår om Klassisk Utilitarism skulle insistera på noll-diskontering av framtida verktyg i en deterministisk värld.

I ett anmärkningsvärt par verk exponerade Koopmans (1960, 1972) interna motsägelser i etiskt resonemang i en deterministisk värld i både Ramsey Mark I och Ramsey Mark II. Han (och därefter Diamond, 1965) visade att om relativt svaga normativa krav ställs på begreppet intergenerationellt välbefinnande i en deterministisk värld, måste likabehandling av (U) - funktionen över generationer överges. Vi vänder oss till det nu.

3.4 Rabatterad utilitarism

Det visar att matematiken är mycket enklare om man, i stället för att anta att tiden är kontinuerlig, tar tid att vara diskret. Således antar vi nu att (t = 0,1,2, / ldots). Antag också att intergenerationellt välbefinnande vid (t = 0) kan mätas i termer av en numerisk funktion (V). Tanken är att kräva funktionen, som är definierad på oändliga välbefinnande strömmar, för att tillfredsställa egenskaper som återspeglar etiska direktiv.

Låt ({U (t) }) vara en oändlig välfärdsström, det vill säga ({U (t) } = (U (0), U (1), / ldots, U (t), / ldots)). Vi säger (V ({U (t) })) är kontinuerligt om i lämplig matematisk mening värdena på (V) för välbefinnande strömmar ({U (t) }) som inte skiljer sig mycket i utrymmet för ({U (t) }) s ligger nära varandra. Ett ytterligare villkor för funktionen (V) - som är etiskt attraktiv är "monotonicity". För att definiera begreppet, låt oss säga att en välbefinnande ström är "överlägsen" för en annan om ingen generation har mindre välbefinnande längs den förra än längre den senare och om det finns minst en generation som åtnjuter större välbefinnande i den förra än det gör i det senare. Vi säger att (V) är monotont om (V) är större för en välfärdström än för en annan om den förstnämnda är överlägsen den senare.

Båda fastigheterna är attraktiva. Lexikografiska beställningar trots det finns det inte övertygande argument mot kontinuitet. Naturligtvis placerade Rawls (1972) prioriterade regler och de leksikografiska beställningarna på föremålen av intresse i hans uppfattning om rättvisa som kommer med dem i centrum för hans teori, men det har visat sig ha varit ett av hans mest kontroversiella drag. Rikligheten och djupet i hans analys skulle inte minskas om små avvägningar antogs mellan rättvisens objekt. Och det är svårt att hitta orsaker mot monotonicitet. Till och med Rawls, vars arbete var så riktat mot fördelande rättvisa, insisterade på monotonicitet.

Men det kan visas att alla (V) - funktioner som uppfyller kontinuitet och monotonicitet måste ha generationsrabatter inbyggda i den. Det verkar som att de verkliga siffrorna inte är tillräckligt rika för att rymma oändliga välbefinnande strömmar på ett sätt som respekterar kontinuitet och monotonicitet samtidigt som alla välmående generationer har samma vikt. Bevis på förslaget finns i Diamond (1965) och tillskrivs av författaren Menahem Yaari. Så vi introducerar nu positiv välbefinnande i funktionen (V) - och formulerar Ramsey Mark III.

Återvänd återigen till formuleringen där tiden är kontinuerlig. Som tidigare säger vi att en förbrukningsström ({C (t) }) är möjlig om den uppfyller ekvation (1) med ett initialt kapital på (K (0)). Ramsey Mark III (Ramsey, 1928, 553–555) är då:

“Från uppsättningen av alla möjliga konsumtionsströmmar, hitta den ({C (t) }) som maximerar

[V (0) = / int ^ { infty} _0 [U (C (t)) e ^ {- / delta t}] dt, / delta / gt 0.”)

I Mark III är diskonteringsräntan (delta) en positiv konstant. Det betyder att motsvarande diskonteringsfaktor (e ^ {- / delta}) är mindre än 1. Det senare kan i sin tur visas att det betyder i ett brett spektrum av ekonomiska modeller (e ^ {- / delta t}) tenderar att noll i så snabb takt att Mark III har ett svar.

Låt ({C ^ * (t) }) vara lösningen för Ramsey Mark III. Heuristiskt är det bra att föreställa sig att det finns en DM vid varje datum. Mätet för intergenerationellt välbefinnande för DM vid datum (t) är (V (t)) för ekvation (4). Lägg märke till att de etiska synen på de på varandra följande DM: erna överensstämmer med varandra. Det finns således inget behov av DM: erna att upprätta ett”mellangenerationskontrakt”. DM kommer att välja varje konsumtionsnivå som den anser vara optimal, medveten om att efterföljande DM kommer att välja i enlighet med vad hon planerat för dem. I modern spelteoretisk parlance är Ramsey optimal konsumtionsström ({C ^ * (t) }) en "icke-kooperativ" (Nash) jämvikt bland DM: erna.

4. Ramsey-regeln och dess förgreningar

Vi konstruerar nu en informell version av det variationella argumentet Ramsey använde för att bestämma ({C ^ * (t) }) i Mark III. Löst sett kräver DM: erna den marginella hastigheten för etiskt likgiltig substitution mellan konsumtion under två korta tidsperioder för att motsvara den marginella hastigheten vid vilken konsumtionen kan omvandlas mellan samma par korta tidsperioder. Deras jämlikhet (dvs. rätt balans mellan "önskvärda" och "genomförbara") är en nödvändig egenskap för en optimal konsumtionsström.

Ramsey konstruerade ett matematiskt uttryck för egenskapen, men letade inte efter förhållanden som, tillsammans, är både nödvändiga och tillräckliga. Vi kommer att använda ett enkelt exempel, som också finns i hans uppsats, för att visa hur ett tillräckligt villkor kan erhållas.

4.1 Variationsargumentet

Skriv (dU / dC = U_C) och (d ^ 2 U / dC ^ 2 = U_ {CC}.) Låt ({C (t) }) vara en genomförbar förbrukningsström. Vi drar först ett formellt uttryck för den marginella graden av etiskt likgiltig substitution mellan konsumtion under två korta tidsperioder. Anta att avsikten är att minska konsumtionen vid ett framtida datum (t) med en liten mängd (Delta C (t)) och höja konsumtionen på ett närliggande datum (t + / Delta t) och samtidigt behålla konsumtionen andra datum är samma som i ({C (t) }). Förlusten i välbefinnande som skulle följa från flytten är (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)} Delta C (t)). Vi försöker nu fastställa den procentuella ökningen av konsumtionen som skulle krävas vid (t + / Delta t) om (V (0)) ska förbli oförändrad; eftersom det är den marginella hastigheten för etiskt likgiltig substitution mellan konsumtion vid (t) och konsumtionen vid (t + / Delta t). Beteckna den graden med (varrho (t)). Då måste (varrho (t)) vara den procentsats som diskonterade marginella välbefinnande minskar vid (t). Det följer också att (varrho (t)) är den hastighet som DM vid (t = 0) skulle använda för att diskontera en förbrukningsenhet vid (t) för att föra den till nutid (eftersom det är vad som menas med den procentsats som diskonterade marginella välbefinnande minskar vid (t) - för en formell demonstration, se Dasgupta, 2008). Vissa ekonomer kallar (varrho (t)) konsumtionsräntan (Little and Mirrlees, 1974), andra kallar det den sociala rabatten (Arrow och Kurz, 1970). (varrho (t)) är ett grundläggande objekt i social kostnads-nyttoanalys. Det följer också att (varrho (t)) är den hastighet som DM vid (t = 0) skulle använda för att diskontera en förbrukningsenhet vid (t) för att föra den till nutid (eftersom det är vad som menas med den procentsats som diskonterade marginella välbefinnande minskar vid (t) - för en formell demonstration, se Dasgupta, 2008). Vissa ekonomer kallar (varrho (t)) konsumtionsräntan (Little and Mirrlees, 1974), andra kallar det den sociala rabatten (Arrow och Kurz, 1970). (varrho (t)) är ett grundläggande objekt i social kostnads-nyttoanalys. Det följer också att (varrho (t)) är den hastighet som DM vid (t = 0) skulle använda för att diskontera en förbrukningsenhet vid (t) för att föra den till nutid (det är vad som menas med den procentsats som diskonterade marginella välbefinnande minskar vid (t) - för en formell demonstration, se Dasgupta, 2008). Vissa ekonomer kallar (varrho (t)) konsumtionsräntan (Little and Mirrlees, 1974), andra kallar den den sociala rabatten (Arrow och Kurz, 1970). (varrho (t)) är ett grundläggande objekt i social kostnads-nyttoanalys. Vissa ekonomer kallar (varrho (t)) konsumtionsräntan (Little and Mirrlees, 1974), andra kallar den den sociala rabatten (Arrow och Kurz, 1970). (varrho (t)) är ett grundläggande objekt i sociala kostnads-nyttoanalyser. Vissa ekonomer kallar (varrho (t)) konsumtionsräntan (Little and Mirrlees, 1974), andra kallar den den sociala rabatten (Arrow och Kurz, 1970). (varrho (t)) är ett grundläggande objekt i social kostnads-nyttoanalys.

Låt (Delta) vara försvinnande liten. Sedan per definition

(tag {7} varrho (t) = - [d (e ^ {- / delta t} U_ {C (t)}) / dt] / e ^ {- / delta t} U_ {C (t)})

För att förenkla notationen låt (g (C (t))) beteckna den procentuella tillväxttakten i (C (t)) (dvs (g (C (t)) = [dC (t) / dt] / C (t)), vilket kan vara negativt), och låt (sigma (C)) beteckna elasticiteten hos marginellt välbefinnande (dvs. (sigma (C) = -CU_ { CC} / U_C / gt 0)). Ekvation (7) förenklar sedan till

(tag {8} varrho (t) = / delta + / sigma (C (t)) g (C (t)))

Eftersom ({C ^ * (t) }) är antagandet det optimala, kan ingen genomförbar avvikelse från ({C ^ * (t) }) öka (V (0)). Det betyder att konsumtionen av ränta ((varrho (t))) måste vara lika med den sociala avkastningen på investeringen ((F_ {K (t)})) vid varje (t). För att se varför, antar i ett försvinnande litet tidsintervall (F_ {K (t)} gt / varrho (t)). Då kunde (V (0)) ökas genom att konsumera en enhet mindre vid (t) och åtnjuta returen från ((1 + F_ {K (t)})) strax efter. Alternativt, om (F_ {K (t)} lt / varrho (t), kan V (0)) ökas genom att konsumera en enhet mer vid (t) och minska förbrukningen kort efter med ett belopp som är lika med returen ((1 + F_ {K (t)})). Men det betyder att konsumtionen av ränta (varrho (t)) är lika med den sociala avkastningsgraden (F_ {K (t)}) längs ({C ^ * (t) }) vid varje datum. Med hjälp av ekvation (8) har vi, (tag {9} delta + / sigma (C (t)) g (C (t)) = F_ {K (t)})

Ekvation (9) är Ramsey-regeln. Det är en nödvändig förutsättning för optimalitet i Ramsey Mark III och är utan tvekan den mest kända ekvationen inom intertemporal välfärdsekonomi. Regeln är ett formellt uttalande om kravet på ({C ^ * (t) }), att den marginella substitutionsgraden mellan konsumtion på två närliggande datum (den vänstra sidan av ekv. 9) är lika den marginella omvandlingshastigheten mellan konsumtion vid samma par av närliggande datum (höger sida av ekv. (9). Det är enkelt att bekräfta att ekvation (9) är invariant under positiva affintransformationer av (U)-fungera.

4.2 Ofullständighet i Ramseys analys

För närvarande kommer vi att ange en (U) - funktion för vilken (sigma) är oberoende av (C). För tillfället antar vi bara att (sigma) är konstant. I så fall läser Ramsey-regeln som

(tag {10} delta + / sigma g (C (t)) = F_ {K (t)})

I Ramsey Mark III ges (K (0)) som en arv från det förflutna. Det betyder att (F_ {K (0)}) ges som ett initialt villkor, det är inte ett val för DM vid (t = 0). Dessutom är (delta) och (sigma) parametrar som båda återspeglar etiska värden. DM kan därför bestämma (g (C (0))) från ekvation (10). Men det är den optimala procentuella tillväxttakten i konsumtionen vid det första dagen. Ramsey-regeln ger DM en ekvation för att bestämma den initiala tillväxttakten för konsumtion, men den säger inte vad den ursprungliga konsumtionsnivån borde vara. Nedan visar vi som exempel att det finns en oändlighet av genomförbara förbrukningsvägar som tillfredsställer Ramsey-regeln. Av detta följer att DM vid (t = 0) behöver ett ytterligare villkor för att bestämma (C ^ * (0)).

Exempel 2 (den linjära ekonomin)

Antar

(börja {align} tag {11a} F (K) & = / mu K, / mu / gt 0 \\ / tag {11b} U (C) & = - C ^ {- (sigma -1)}, / sigma / gt 1 / end {align})

Från ekvation (11a) följer att (F_K = / mu), vilket innebär att avkastningen på investeringen är konstant. Från ekvation (11b) följer att (sigma) är elasticiteten hos marginellt välbefinnande. Lägg också märke till att (U (C) högermark - / infty) som (C / högermark 0) och att, under den valda normaliseringen av funktionen (U) -, (U (C) högermark) 0) som (C / högermark / infty). Användning av ekvation (11a) i ekvation (1) ger, (tag {12} frac {dK (t)} {dt} = / mu K (t) - C (t))

Skriv (m = (mu - / delta) / / sigma). Att tillämpa ekvationer (11a – b) på ekvation (10) reducerar Ramsey-regeln till

(tag {13} frac {dC (t)} {dt} = [(mu - / delta) / / sigma] C (t) = mC (t))

Ekvation (13) säger att om (mu / lt / delta, C (t)) minskar till 0 i en exponentiell hastighet. Empiriskt är det pausbara fallet att överväga (mu / gt / delta), vilket är vad vi ska göra här. Det betyder att avkastningen på investeringen ((mu)) överstiger den hastighet vid vilken tidpunkten diskonteras ((delta)). Och det i sin tur betyder (m / gt 0). Integrering av ekvation (13) ger

(tag {14} C (t) = C (0) e ^ {mt})

Ekvation (14) säger (C (t)) växer exponentiellt med hastigheten (m). Vi bekräftar en punkt som gjordes tidigare, att även om ekvation (14) avslöjar tillväxttakten för optimal konsumtion vid det inledande datumet (dvs. (t = 0)), avslöjar den inte den initiala konsumtionsnivån (dvs., (C (0))). Det är obestämdheten i Ramsey-regeln.

Det enklaste sättet att bestämma den optimala initiala förbrukningen, (C ^ * (0)), är att observera från ekvation (14) att om (C ^ * (t)) växer på obestämd tid med hastigheten (m), så borde (K (t)) krävas för att växa i samma takt. Anledningen är att om tillväxttakten för (K (t)) skulle vara mindre än (m), skulle kapitalet ätas in, vilket innebär att beståndet skulle vara uttömt i tid. Ekonomin skulle då upphöra att existera ((V (0)) skulle vara minus oändligt om den framtida banan för ekonomin skulle vara så.) Om å andra sidan tillväxttakten på (K (t)) skulle överstiga (m) skulle det finnas överansamling av kapital, i den meningen att konsumtionen skulle vara lägre vid varje datum än den behöver. Situationen skulle likna en situation där DM kastar bort en del av det ursprungliga kapitalet (K (0)) och sedan löser sig på ett sparande beteende som tillfredsställer Ramsey-regeln.

Den exponentiella tillväxten i vår linjära ekonomi (eq. 11a) säger att sparandet bör vara konstant. Låt oss definiera sparandesatsen, (s), som andelen produktion (BNP) som investeras vid varje ögonblick. Sedan kan ekvation (1) skrivas om som

(tag {15} frac {dK (t)} {dt} = s / mu K (t))

Ekvation (15) säger att avsedd sparing är lika med avsedd investering. Integrering av ekvation (15) ger

(tag {16} K (t) = K (0) e ^ {s / mu t})

Men vi insisterar på att både (K (t)) och (C (t)) ska växa i samma takt. Ekvationer (14) och (16) innebär därför

(tag {17} m = / frac { mu - / delta} { sigma} = s / mu)

Sparingsgraden i ekvation (17) är den optimala. Så vi skriver det som (s ^ *). Således

(tag {18} s ^ * = / frac {m} { mu} = / frac { mu - / delta} { sigma / mu} lt 1)

Ekvationer (16) - (18) säger att den optimala tillväxttakten för konsumtion, (g ^ *), är

(tag {19} g ^ * = / frac { mu - / delta} { sigma} gt 0)

Lägg också märke till att om (delta = 0) minskar ekvationen (18) till

(tag {20} s ^ * = / frac {1} { sigma})

Ekvation (20) erbjuder ett så elegant och förenklat svar som det kan vara på frågan med vilken Ramsey startade sitt papper.

4.3 Transversalitetsvillkoret

Den linjära tekniken (ekv. 11a) och den iso-elastiska (U) - funktionen (ekv. 11b) gjorde det möjligt för oss att omedelbart erkänna att om en konsumtionsström som tillfredsställer Ramsey-regeln ska vara den optimala, bör både kapital och konsumtion växa med samma exponentiella hastighet, (m). Att identifiera ett tillräckligt villkor för optimalitet i mer allmänna modeller är mycket svårare. Det vi behöver är ett villkor på de långsiktiga funktionerna i en konsumtionsström som uppfyller Ramsey-regeln som kan säkerställa att den är optimal. von Weizsacker (1965) visade att det nödvändiga villkoret hänför sig till det långsiktiga beteendet av det sociala värdet på kapital som är förknippat med den konsumtionsströmmen. Vi formaliserar nu villkoret.

Låt (U) vara kontoenheten. Tänk på en förbrukningsström ({C (t) }). Av detta följer att (U_ {C (t)}) är det sociala värdet för en marginell konsumtionsenhet. Skriv (P (t)) för (U_ {C (t)}. P (t)) kallas (spot) redovisningspriset för konsumtion. Eftersom (e ^ {- / delta t} P (t)) är det diskonterade värdet på (P (t)), kallas det nuvarande redovisningspris för konsumtion. Om ({C (t) }) uppfyller Ramsey-regeln i Mark III, är (e ^ {- / delta t} P (t)) också det nuvarande redovisningspriset för en kapitalenhet stock. von Weizsacker (1965) visade att ett tillräckligt villkor för optimaliteten för ({C (t) }) är (e ^ {- / delta t} P (t) K (t) högermark A) som t (högermark / infty), där (A) är ett (begränsat) icke-negativt tal. I ord,ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att ({C (t) }) ska vara det optimala är (i) att det uppfyller Ramsey-regeln, och (ii) att nuvärdet av ekonomins kapitalandel är begränsat. Tillstånd (ii), som är allmänt känt som "transversalitetsvillkoret", eliminerar de genomförbara konsumtionsströmmar som uppfyller Ramsey-regeln men som det är för mycket besparing. En enkel beräkning bekräftar att i exempel 2 är transversalitetsvillkoret uppfyllt om sparingsgraden är (s ^ *) (ekv. 18). En enkel beräkning bekräftar att i exempel 2 är transversalitetsvillkoret uppfyllt om sparingsgraden är (s ^ *) (ekv. 18). En enkel beräkning bekräftar att i exempel 2 är transversalitetsvillkoret uppfyllt om sparingsgraden är (s ^ *) (ekv. 18).

4.4 Numeriska uppskattningar av den optimala besparingsgraden

Ekvation (18) säger att (s ^ *) är en ökande funktion av avkastningen på investeringen ((mu)), en minskande funktion av tidsräntan för rabatt ((delta)), och en minskande funktion av elasticiteten hos marginellt välbefinnande ((sigma)). Var och en av dessa egenskaper är intuitivt uppenbar:

(1) Ju högre är avkastningen på investeringar ((mu)), desto större är vinsten för framtida generationer genom en marginell ökning av sparandet av de första generationerna. Det säger att den optimala besparingsgraden borde vara en ökande funktion av (mu), andra saker lika.

(2) Ju större är värdet på den tidsdiskonteringsränta ((delta)) som väljs av DM, desto lägre är vikten som hon tilldelar framtida generationers välbefinnande. Det innebär högre optimala konsumtionsnivåer för tidiga generationer (Avsnitt 2.1), vilket i sin tur innebär att den optimala besparingsgraden är lägre, andra saker lika.

(3) Eftersom avkastningen på investeringen är positiv ((mu / gt 0)) visar tidens pil en förspänning till förmån för kommande generationer (Avsnitt 2.1). Men ju större är det valda värdet på (sigma), desto mer visar DM oro över eget kapital i konsumtionen genom generationerna. Därför, desto större är det oro, desto högre är den optimala konsumtionsgraden som de första generationerna ska åtnjuta. Så vi kan förvänta oss att den optimala sparningsgraden är en minskande funktion av (sigma), andra saker lika.

Det är lärorikt att ta hänsyn till stiliserade figurer för parametrarna på höger sida om ekvationerna (18) respektive (19). Även om de är stiliserade är de siffror för paret med etiska parametrar (sigma) och (delta) som ekonomer som har skrivit om klimatförändringsekonomin har antagit i sitt arbete. För att vara säker, har välfärdsekonomin för klimatförändringar krävt mer komplicerade modeller än modellen som representeras i ekvationerna (1) och (11a), men som vi bekräftar nedan har den inte erbjudit några ytterligare teoretiska insikter. I det följande tar vi ett år för att vara tidsenheten och antar att (mu = 0,05) (dvs. 5% per år). Längs det optimala är konsumtionsräntan lika med avkastningen på investeringen (Ramsey-regeln), vilket innebär att den optimala konsumtionsräntan motsvarar konstant 5% per år.

En siffra på 5% per år för (mu) innebär ett kapital / produktionsförhållande ((1 / / mu)) på 20 år, vilket är mycket högre än beräkningarna av kapital-produktionskvoten från branschen studier som ekonomer i olika delar av världen har kommit till (Behrman, 2001); ett representativt tal för 1 / (mu) i den litteraturen är 3 år. Men deras uppskattningar har baserats på en definition av”kapital” som är begränsat till”producerat” kapital, som fabriker, vägar, hamnar och byggnader. Mänskligt kapital (utbildning, hälsa, kunskap) saknas hos dem, liksom naturligt kapital (ekosystem, jordbunden resurser). Ramsey's modell, som ingår i ekvation (11a), omfattar alla former av kapitalvaror. Utan tvekan kräver hans formulering en heroisk (läs, omöjlig!) Sammanslagning, men när alla kapitalvaror som kommer in i produktionen beaktas,vi kan förvänta oss att en sammanlagd kapital-produktionskvot (som vi borde kalla den (inkluderande) förmögenhet-produktionskvoten) är mycket högre än 3 år; kanske till och med högre än 20 år (Arrow et al., 2012, 2013). Stora kategorier av kapitalvaror saknas i de nationella ekonomiska redovisningarna som informerar våra ekonomers förståelse för produktions- och konsumtionsmöjligheter (Dasgupta, 2019). Det verkar sålunda att det fortfarande finns en lång väg att gå innan vi kan nå en bra tillnärmning av vad vi borde lämna till våra ättlingar. Stora kategorier av kapitalvaror saknas i de nationella ekonomiska redovisningarna som informerar våra ekonomers förståelse för produktions- och konsumtionsmöjligheter (Dasgupta, 2019). Det verkar sålunda att det fortfarande finns en lång väg att gå innan vi kan nå en bra tillnärmning av vad vi borde lämna till våra ättlingar. Stora kategorier av kapitalvaror saknas i de nationella ekonomiska redovisningarna som informerar våra ekonomers förståelse för produktions- och konsumtionsmöjligheter (Dasgupta, 2019). Det verkar sålunda att det fortfarande finns en lång väg att gå innan vi kan nå en bra tillnärmning av vad vi borde lämna till våra ättlingar.

Exempel 3 (hämtat från klimatförändringsekonomin)

Vi uppmärksammar nu värdena på de två etiska parametrarna i ekvation (11b) som valts av tre ekonomer i sin studie av klimatförändringsekonomin.

(börja {align} tag * {Cline (1992)} sigma = 1,5 / quad & / text {och} quad / delta = 0 \\ / tag * {Nordhaus (1994)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,03 / text {(3% per år)} / \ tag * {Stern (2007)} sigma = 1 / quad & / text {and} quad / delta = 0,001 / text {(0,1% per år)} slut {align})

(OBS: (sigma = 1) motsvarar den logaritmiska välfärdsfunktionen, det vill säga (U (C) =) log (C)) och kan erhållas som en gräns för den funktionella formen för (U (C)) i ekvation (11b) som (sigma / högerpil 1.))

Vi lägger dessa parametervärden för att upptäcka att den optimala sparhastigheten (s ^ *) (ekv. 18) och den optimala tillväxttakten för konsumtion (ekv. 19) är i sin tur:

(börja {align} tag {21a} s ^ * = 67 \% / quad & / text {och} quad g ^ * = 3.3 \% / text {ett år (Cline)} / \ tag { 21b} s ^ * = 40 \% / quad & / text {och} quad g ^ * = 2.0 \% / text {ett år (Nordhaus)} / \ tag {21c} s ^ * = 98 \% / quad & / text {and} quad g ^ * = 4.9 \% / text {ett år (Stern)} end {align})

4.5 Kommentar

En nationell besparingsgrad på 40% (ekv. 21b) är utan tvekan hög enligt standarderna för samtida västerländska ekonomier, men det finns länder som under de senaste åren har uppnått besparingsgraden på 40–45% (Kina är ett framträdande exempel). Ett värde på 67% för (s ^ *) (ekv. 21a) är högre än sparandet i något land, men är inte övertygande. De verkligt outlandiska siffrorna är 98% (jämförelse 21c). Det är outlandiskt, speciellt för att siffran är den optimala besparingsgraden oavsett hur liten (K (0)) råkar vara. Visserligen är modellen här (ekv. 11a – b) fenomenalt stiliserad, men den visar tydligt observationen av Koopmans (1965), att det är dumt att anta (delta = 0) (eller nära 0) utan att först kontrollera dess möjliga konsekvenser för fördelningen av välbefinnande över generationerna.

Ekvation (19) har visat att den optimala tillväxttakten för konsumtion begränsas ovan av (mu), vilket förklarar varför (g ^ *) är mindre än 5% per år för var och en av de tre parametriska specifikationerna som vi har anses vara. Specifikationerna kommer från tre studier i välfärdsekonomin för global klimatförändring, där författarna arbetade med modeller som är mycket mer komplexa än Ramsey's. Och ändå är deras resultat exakt vad hans formulering skulle peka på (Dasgupta, 2008), nämligen att andra saker lika, desto lägre är det valda värdet på (delta) och / eller desto större är skadan på framtida väl- eftersom det förväntas orsakas av globala klimatförändringar, desto större är investeringsnivån DM bör rekommendera för att avvärja klimatförändringarna eller mildra effekterna av den förändringen på människors välbefinnande. Den ofta skingrande debatten (t.ex. Nordhaus,2007) om i vilken utsträckning globala investeringar bör riktas mot att minska de skadliga effekterna av klimatförändringar sporrades av skillnader i modellspecifikation bland klimatförändringsekonomer.

Den linjära tekniken (ekv. 11a) och den iso-elastiska (U) - funktionen (ekv. 11b) har, när de tagits tillsammans, erbjudit djupa insikter även om vi har begränsat diskussionen till penna-och-pappersberäkningar här. De funktionella formerna är inte trovärda; ändå använde Ramsey dem. Hans uppsats visade att otroligt förenklade modeller, förutsatt att deras konstruktion stöds av stark intuition, kan belysa frågor som är till synes omöjliga att rama in, än mindre att svara kvantitativt. Det har varit Ramsey's bestående gåva till teoretisk ekonomi.

Bibliografi

  • Arrow, KJ, P. Dasgupta, LH Goulder, KJ Mumford och K. Oleson (2012), “Hållbarhet och mätning av rikedom,” Miljö- och utvecklingsekonomi, 17 (3), 317–355.
  • ––– (2013),”Hållbarhet och mätning av rikedom: Ytterligare reflektioner,” Miljö- och utvecklingsekonomi, 18 (4), 504–516.
  • Arrow, KJ och M. Kurz (1970), Offentliga investeringar, avkastningstakten och optimal finanspolitik (Baltimore: Johns Hopkins University Press).
  • Behrman, JR (2001), "Ekonomi för utveckling", International Encyclopedia of Social and Behavioural Sciences (Amsterdam: Elsivier Science Direct), sid. 3566–3574.
  • Brock, WA (1973), "Vissa resultat på bestämda staters unika egenskaper i multisektormodeller för optimal tillväxt när framtida verktyg diskonteras," International Economic Review, 14 (3), 535–559.
  • Chakravarty, S. (1962), "Existence of Optimal Savings Programs," Econometrica, 32 (1), 178–187.
  • ––– (1969), Capital and Development Planning (Cambridge, MA: MIT Press).
  • Cline, WR (1992), The Economics of Global Warming (Washington, DC: Institute for International Economics).
  • Dasgupta, P. (1969), "On the Concept of Optimization of Population," Review of Economic Studies, 36 (3), 295–318.
  • ––– (2008),”Diskontera klimatförändringar,” Journal of Risk and Uncer vissness, 37 (2-3), 141–169.
  • ––– (2019), Time and the Generations: befolkningsetik för en minskande planet (New York: Columbia University Press).
  • Dasgupta, P. och GM Heal (1974), "Optimal uttömning av uttömliga resurser", Översyn av ekonomiska studier, 41 (Symposium Number), 3–28.
  • Diamond, PA (1965), "Utvärderingen av oändliga verktygsströmmar", Econometrica, 33 (1), 170–177.
  • Edgeworth, FY (1881), Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences (London: Kegan Paul).
  • Gale, D. (1967), “On Optimal Development in a Multi-Sector Economy,” Review of Economic Studies, 34 (1), 1–18.
  • Harrod, RF (1948), Mot en dynamisk ekonomi (London: McMillan).
  • Koopmans, TC (1960), "Stationär ordinal nytta och otålighet", Econometrica, 28 (2), 287–309.
  • ––– (1965), "On the Concept of Optimal Economic Growth", Pontificiae Academiae Scientiarum Scripta Varia, 28. Omtryckt i TC Koopmans (1966), The Econometric Approach to Development Planning (Amsterdam: North Holland).
  • ––– (1967),”Mål, begränsningar och resultat i optimala tillväxtmodeller,” Econometrica, 35 (1), 1–15.
  • ––– (1972),”Representation av preferensbeställningar över tid”, i CB McGuire och R. Radner, red., Decision and Organization (Amsterdam: North Holland).
  • Levhari, D. och TN Srinivasan (1969), "Optimal besparingar under osäkerhet", Review of Economic Studies, 36 (2), 153–163.
  • Little, IMD och JA Mirrlees (1968), Manual for Industrial Project Analys in Developing Countries: Social Cost Benefit Analysis (Paris: OECD).
  • ––– (1974), Projektbedömning och planering för utvecklingsländer (London: Heinemann).
  • Meade, JE (1966),”Livscykelbesparingar, ärv och ekonomisk tillväxt,” Review of Economic Studies, 33 (1), 61–78.
  • Mirrlees, JA (1967), “Optimal tillväxt när teknik förändras,” Review of Economic Studies, 34 (1), 95–124.
  • Nordhaus, WD (1994), Managing the Global Commons: The Economics of Climate Change (Cambridge, MA: MIT Press).
  • ––– (2007), “En översyn av den sena översynen om klimatförändringsekonomin,” Journal of Economic Literature, 45 (3), 686–702.
  • Parfit, D. (1984), Reasons and Persons (Oxford: Oxford University Press).
  • Ramsey, FP (1928), “A Mathematical Theory of Saving,” Economic Journal, 38 (4), 543–559.
  • ––– (1931),”Epilogue”, i RB Braithwaite, red., The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays (London: Routledge and Kegan Paul).
  • Rawls, J. (1972), A Theory of Justice (Oxford: Oxford University Press).
  • Sen, A. och B. Williams (1982), "Introduktion", i, Utilitarism and Beyond (Cambridge: Cambridge University Press).
  • Sidgwick, H. (1907), The Methods of Ethics (London: MacMillan), 7: e upplagan.
  • Solow, RM (1974a), “The Economics of Resources and the Resources of Economics,” American Economic Review, 64 (Papers & Proceedings), 1–21.
  • ––– (1974b),”Intergenerational Equity and Exhaustible Resources”, Review of Economic Studies, 41 (Symposium Issue), 29–45.
  • Stern, NH (2006), The Stern Review of the Economics of Climate Change (Cambridge: Cambridge University Press).
  • von Weizsacker, CC (1965),”Existence of Optimal Accumulation Programs for a Infinite Time Horizon,” Review of Economic Studies, 32 (2), 85–104.
  • Yaari, M. (1965), "Osäker livstid, livförsäkring och konsumentteori", översyn av ekonomiska studier, 32 (2), 137–158.

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

[Vänligen kontakta författaren med förslag.]

Rekommenderas: