Epistemology Of Geometry

Innehållsförteckning:

Epistemology Of Geometry
Epistemology Of Geometry

Video: Epistemology Of Geometry

Video: Epistemology Of Geometry
Video: Plato's Meno: The Geometry Lesson 2024, Mars
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Epistemology of Geometry

Först publicerad mån 14 oktober 2013; substantiell revidering mån 31 juli 2017

Geometrisk kunskap avser vanligtvis två slags saker: teoretisk eller abstrakt kunskap som finns i definitionerna, teorier och bevis i ett geometri-system; och viss kunskap om den yttre världen, såsom uttrycks i termer hämtade från ett system för geometri. Förhållandet mellan den abstrakta geometrien och dess praktiska uttryck måste också beaktas.

Denna uppsats anser olika teorier om geometri, deras skäl för begriplighet, för giltighet och för fysisk tolkningsbarhet under perioden till stor del före tillkomsten av de teorier om speciella och allmänna relativitets i 20 : e århundradet. Det visar sig att ett komplicerat samspel mellan kortaste och rakaste är i arbete i många stadier.

Före 19 : e -talet endast en geometri studerades i någon djup eller tros vara en korrekt eller korrekt beskrivning av fysiskt utrymme, och det var euklidiska geometri. Den 19 : e århundradet själv såg ett överflöd av nya geometrier, av vilka de viktigaste var projektiv geometri och icke-euklidiska eller hyperbolisk geometri. Projektiv geometri kan betraktas som en fördjupning av de icke-metriska och formella sidorna av euklidisk geometri; icke-euklidisk geometri som en utmaning för dess metriska aspekter och implikationer. Genom öppningen åren av 20 : eårhundradet hade en rad olika Riemanniska differentiella geometrier föreslagits, vilket gjorde strikt känsla av icke-euklidisk geometri. Det fanns också betydande framsteg inom abstrakta geometrier, såsom de som David Hilbert föreslog. Av detta följer att begreppen geometri och 'fysiska rummet' inte har enkla betydelser i 19 : e århundradet, och ändra uppfattningar om dessa villkor inte följer ett enkelt mönster av förfining. Deras inbördes relationer har därför också en komplicerad historia.

  • 1. Epistemologiska frågor i Euclids geometri
  • 2. Epistemologiska problem inom tillämpad geometri

    2.1 Mekanikens implikationer

  • 3. Projektiv geometri

    • 3.1 Koordinera transformationer; Kleinian geometri
    • 3.2 Hilbert och andra om axiomatisk projektiv geometri
  • 4. Icke-euklidisk geometri
  • 5. Riemannian geometri

    • 5.1 Geodesik och anslutningar
    • 5.2 Riemann och Beltrami och rigorös icke-euklidisk geometri
  • 6. Förståelsen för icke-euklidisk geometri

    • 6.1 Herbarts filosofi
    • 6.2 Helmholtz och Poincaré
    • 6.3 Poincaré kontra Russell
  • 7. Avslutande anmärkningar
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Epistemologiska frågor i Euclids geometri

En detaljerad undersökning av geometri som Euclid presenterade den avslöjar ett antal problem. Det är värt att överväga dessa i detalj eftersom kunskapsteoretiskt övertygande status Euklides Elementa var obestridd av nästan alla tills de senare decennierna av 19 : e århundradet. Huvud bland dessa problem är en brist på tydlighet i definitionerna av rak linje och plan, och en förvirring mellan kortaste och rakaste som en, eller den grundläggande geometriska egenskapen. (Se de många kommentarer som samlats in i Heaths utgåva av Euclid's Elements.) Konsekvenserna för det parallella postulatet kommer att behandlas separat, se avsnitt om icke-euklidisk geometri.

De första fyra Books of Euclids element handlar om raka linjer och cirklar, men det är väl känt att begreppet rak linje bara får en mycket otillfredsställande definition. En linje sägs vara "en breddslös längd" och en rak linje att vara en linje "som ligger jämnt med poäng på sig själv". Detta kan hjälpa till att övertyga läsarna om att de delar en gemensam uppfattning om den raka linjen, men det har ingen nytta om oväntade svårigheter uppstår i skapandet av en teori, som vi kommer att se.

För dem som bestämde sig för att läsa elementen noggrant och se hur de avgörande termerna används, blev det tydligt att kontot både på något sätt är anmärkningsvärt noggrant och felaktigt i andra. Raka linjer uppstår nästan alltid som begränsade segment som kan förlängas på obestämd tid, men som många kommentatorer noterade, även om Euclid uttalade att det finns ett segment som går med i två punkter sa han inte uttryckligen att detta segment är unikt. Detta är en brist i beviset på den första kongruenssatsen (I.4) som säger att om två trianglar har två par sidor lika och den inkluderade vinkeln är lika så är de återstående sidorna av trianglarna lika.

Sats I.4 är intressant på ett annat sätt. Sats I.2 har ett noggrant, och inte alls uppenbart bevis på att ett givet linjesegment i ett plan kan kopieras exakt med en av dess slutpunkter vid vilken som helst föreskriven punkt i planet. Sats I.4 kräver korrekt ett bevis på att en vinkel också kan kopieras exakt vid en godtycklig punkt, men denna Euclid kan inte tillhandahålla i detta skede (en ges i I.23, som dock bygger på dessa tidigare resultat). Därför gav han ett kallt påstående att en triangel kan kopieras exakt i ett godtyckligt läge, vilket får en att undra varför sådan vård ägnades åt I.2. Faktum är att hela begreppet rörelse för figurer skulle bli ett långvarigt diskussionsämne i arabisk / islamisk tid. (om avdrag i Euclid, se Mueller 1981).

En trolig avläsning av Elements Book I är att en rak linje kan förstås som att ha en riktning, så att det finns en rak linje i varje riktning vid varje punkt och endast en rak linje vid en given punkt i en given riktning. Det parallella postulatet säger då att linjer som korsar en given linje i lika vinklar pekar i samma riktning och inte möter. Men detta måste betraktas som en tolkning och en som kräver en hel del arbete för att göra exakt.

Riktning är dock en mer trovärdig kandidat än distans; Euclid började inte med tanken att den raka linjen som sammanfogar två distinkta punkter är den kortaste kurvan som sammanfogar dem. Det relevanta primitiva konceptet i elementen är det av likhet mellan segment, såsom alla radier i en given cirkel. Euclid uttalade som Common Notion 4 att om två segment kan göras för att sammanfalla så är de lika, och (i den besvärliga I.4) använde han konversationen, att om två segment är lika kan de göras att sammanfalla. Segment är sådana att antingen det ena är mindre än det andra eller de är lika, och i I.20 visade Euclid att "i någon triangel är två sidor sammansatta på något sätt större än den återstående." Detta resultat har blivit känt som ojämlikhet i triangeln,och det går långt för att bevisa att linjesegmentet som sammanfogar två olika punkter är den kortaste kurvan genom dessa punkter. När det parallella postulatet införts visade Euclid att motsatta sidor av ett parallellogram är lika, och så är avståndet mellan ett par parallella linjer ett konstant.

Men det finns en annan svaghet i elementen som också är värt att notera, även om det drog mindre uppmärksamhet, och detta är planetens natur. Flygplanet har en annan undermålig definition, uppenbarligen modellerad på linjen: "en plan yta är en yta som ligger jämnt med de raka linjerna på sig själv" (och, förvånansvärt, "en yta är den som bara har längd och bredd”). Därefter nämns inte ordet "plan" i de första fyra böckerna, även om de enbart handlar om plangeometri. När Euclid vände sig till fast geometri i bok IX, började han med tre teorem för att visa successivt att en rak linje inte kan ligga delvis i ett plan och delvis inte, att om två raka linjer skär varandra ligger de i ett plan och varje triangel ligger i ett plan, och att om två plan möts så gör de det i en rad. I alla fall,han kan bara sägas hävda dessa resultat och göra dem troliga, eftersom han inte kan använda sin definition av ett plan för att bevisa någon av dem. De utgör dock grunden för nästa teorem: det finns en vinkelrätt mot ett plan vid vilken punkt som helst i planet, och alla linjer vinkelräta mot en given linje vid en given punkt bildar ett plan.

Återigen är I.4 problematisk. Tänk, för en reduktion ad absurdum, att man har två trianglar, (ABC) och (A'BC) på samma sida av deras gemensamma bas (BC), och så att (BA = BA ') och (CA = CA'). Det är avsett att visa att därför topparna (A) och (A ') sammanfaller, och för detta måste man, som Gauss noterade (i opublicerade kommentarer, se Gauss Werke 8, 193) använda det faktum att trianglar ligger i samma plan. En bra definition av ett plan krävs, en som gör att detta resultat kan bevisas.

Låt oss säga att en rent syntetisk geometri är en som handlar om primitiva koncept som raka linjer och plan på något liknande sättet ovan. Det vill säga det tar rättheten i den raka linjen och planets planhet som grundläggande och tilltalar de just beskrivna incidensegenskaperna. Det är motståndskraftigt mot idén att ta avstånd som ett grundläggande koncept, eller mot tanken att ersätta uttalanden i geometri med uttalanden om siffror (säg som koordinater), även om det inte är fientligt att koordinera geometri som uppförs på den.

Låt oss också säga för nuvarande ändamål att en metrisk geometri är en där avståndet är ett primitivt koncept, så linjesegment kan sägas ha samma längd, kongruenta figurer har motsvarande sidor lika långa och geometriska transformationer bevarar längder. Vi kan också tillåta att likheter är tillåtna: det är transformationer som producerar skalakopior av figurer. (Inget teorem i Euclids element beror på den faktiska storleken på en siffra: varje ställe som gäller för en siffra gäller alla dess skalkopior.)

Elementärgeometri i det moderna väst rörde sig på ett förvirrat sätt mot att göra avstånd till det primära primitiva konceptet, medan de ofta bibehöll den euklidiska betoningen på rakhet och därmed ofta blanda samman konsekvenserna av de olika koncepten. Ett anmärkningsvärt exempel på att detta ändå var produktivt var John Wallis argument för att försvara det parallella postulatet (som föreläsning 1665 och publicerat i Wallis 1693). Det vilade, som han insåg, på förmågan att göra kopior av godtycklig skala av en triangel, och detta verkar vara första gången som ekvivalensen erkändes mellan dessa två system:

  1. Euclids element
  2. Euclids element med det parallella postulatet avlägsnade och antagandet att godtyckliga liknande siffror finns.

I Encylopédie Méthodique (1784: vol. 2, 132) definierade d'Alembert geometri som vetenskapen som lär oss att känna kroppens omfattning, position och soliditet. Dess principer grundas, fortsatte han, på sanningar så tydliga att det inte är möjligt att bestrida dem. En linje (i betydelsen av en kurva) är en-dimensionell, och den kortaste linjen som sammanfogar två punkter är den raka linjen. Parallella linjer är linjer som, oavsett hur långa de är utökade aldrig kommer att möta eftersom de är överallt lika stora.

Joseph Fourier tog i en diskussion med Monge också begreppet avstånd som grundläggande, men han började med tredimensionellt rymd. Sedan definierade han successivt sfären, planet (som punkterna ekvististant från två givna punkter) och linjen (som punkterna ekvidistant från tre givna punkter). Detta gav åtminstone honom definitioner av dessa tidigare oroande begrepp (se Bonola 1912, 54).

Adrien-Marie Legendre var en matematiker som sympatiserade med elementens didaktiska mål men inte till dess ursprungliga formuleringar. Han skrev flera olika versioner av sina Éléments de géométrie (1794) i syfte att återställa den euklidiska strängen i geometriundervisningen, som enligt hans syn hade korroderats av texter, till exempel en av Clairaut (1741), som förlitade sig på uppfattningar om självklarhet. De skiljer sig till stor del, som han var tvungen att erkänna, i deras misslyckade försök att härleda det parallella postulatet.

I alla dessa utgåvor tog Legendre en fast metrisk synvinkel. Hans öppningsdefinition av den första upplagan förkunnade att”Geometri är en vetenskap som har som syfte mått på omfattningen”. Omfattningen, förklarade han, har tre dimensioner, längdbredd och höjd; en linje är en längd utan bredd, dess extremiteter kallas punkter och en punkt har därför ingen utsträckning. En rak linje är den kortaste vägen från en punkt till en annan; ytor har längd och bredd men ingen höjd eller djup; och ett plan är en yta där om två godtyckliga punkter förenas av en rak linje ligger denna linje helt i ytan.

Legendre satte sig sedan ut för att bevisa teorierna om elementen tillsammans med några resultat som Euclid föredrog att anta, till exempel (Legendres första resultat): alla två rätvinklar är lika. Hans teorem 3 visade att linjen som sammanfogar två olika punkter är unik (dess existens har tystnad antagits vara en konsekvens av definitionen av en rak linje). Kända kongruenssatser följer i varje utgåva tills parallellpostulatet inte längre kunde ignoreras. När existerande av parallella linjer var säkerställd visade Legendre att de var lika stora.

I själva verket var Legendres försök att återställa strikthet i behandlingen av elementär geometri inte bättre än Euclids, och på vissa sätt värre, inte bara för att hans försök att bevisa det parallella postulatet oundvikligen misslyckades, utan för att han smugglade mer till sitt konto än han insåg. Men dess främsta betydelse för nuvarande syften är att den exemplifierar försöket att grunda elementär geometri på ett begrepp av avstånd, eller snarare, och mer exakt, på idén att en rak linje är kurvan för kortaste avståndet mellan någon av dess punkter. Avståndet i sig definieras inte.

Avslutningsvis: en rimlig uppfattning vid den tiden hade varit att metrisk geometri behövdes för att ordna sitt hus, och det kunde förmodligen inte göra det genom att ympa begreppet avstånd på en struktur som modellerades på Euclids element. Detta är en besvärlig position för traditionell geometri att vara i, och det kan ha öppnat människors sinne för alternativen. Visst skulle två produceras. En, projektiv geometri, förstärkte och förbättrade den syntetiska sidan av geometri. Den andra, icke-euklidiska geometri, var en ny och utmanande metrisk geometri. Men innan vi tittar på dem vänder vi oss till samtida filosofiska diskussioner om geometri.

2. Epistemologiska problem inom tillämpad geometri

Det är en användbar överförenkling att säga att omkring 1800 var uppfattningen att det fanns ett fysiskt utrymme (universum) och att detta utrymme beskrivs av geometrien i Euclids element, som var den enda kandidaten för en sådan uppgift. Tvister rörde den stränga presentationen av denna geometri och dess exakta tillämpning på den fysiska världen. Arten av kunskapen som geometri gav var också en fråga om en viss diskussion.

Locke (se posten om Locke) tog från den aristoteliska traditionen idén att euklidisk geometri och rationell teologi är exemplen på vetenskaplig kunskap, men försökte grunda sin filosofi i intuitiv, demonstrativ och känslig typ av kunskap. Intuitiv kunskap är vad som omedelbart fattas; demonstrativ kunskap utnyttjar de mellanliggande stegen i ett bevis, som i geometri. Båda dessa former av kunskap är säkra. Känslig kunskap är inte säker: det är vad vi lär oss genom våra sinnen, det ger effekter men inte orsaker, det är i bästa fall delvis och kan vara vilseledande. Men eftersom Locke grundade viss kunskap om kunskaper om essenser, som han kände var för alltid dolda för oss, tvingades han att försvara denna svagare form av kunskap som är lämplig för mänsklig kunskap. Rymden kan betraktas som sammansatt av alla (faktiska och möjliga) positioner av objekt; rent utrymme är rymden med alla fasta kroppar avlägsnade och distanserar det primitiva konceptet vi använder för att diskutera separationen mellan kroppar.

I sin an essay beträffande mänsklig förståelse (1690) hävdade Locke det

När vi besitter oss själva med den största säkerheten för demonstrationen, att de tre vinklarna i en triangel är lika med två rätta, vad uppfattar vi mer än uppfattar att jämställdhet med två rätta nödvändigtvis samtycker till och är oskiljbar från tre vinklar i en triangel? (Uppsats IV.i.2)

och senare det

… idén om en högerfodrad triangel medför nödvändigtvis en jämlikhet mellan dess vinklar och två rätta. Vi kan inte heller tänka oss detta förhållande, denna sammankoppling av dessa två idéer, för att vara möjlig att bli förändrad, eller att vara beroende av någon godtycklig makt, som valde gjorde det så, eller skulle kunna göra det på annat sätt. (Uppsats IV.iii.29, s. 559–560)

Känslig kunskap om motsvarande objekt kan emellertid aldrig ha denna grad av säkerhet, och eftersom vår kunskap härrör från vår kunskap om objekt kan det tyckas att vetenskaplig kunskap om rymden är av en annan typ än vår kunskap om geometri. För Locke tillhandahöll således euklidisk geometri en slags kunskap, erfarenhet och vetenskapligt experiment, ett annat. I själva verket kan man säga att ett epistemologiskt gap kvarstår till idag i filosofi i form av en åtskillnad mellan empirisk och a priori kunskap som fortfarande är allmänt erkänd.

Situationen med Hume är mer komplicerad, men också utan tvekan tydligare eftersom gapet tas upp direkt. I sin A Treatise of Human Nature (1739–1740) försvarade han säkerheten för aritmetik och algebra, men höll det kvar från geometri med motiveringen att vår kunskap om punkter och linjer i sig är orimlig. Sanningarna om euklidisk geometri var inte sanningar om världen utan om ett abstrakt system och skulle förbli sanna om det inte fanns några figurer i världen som motsvarar deras euklidiska ekvivalenter. Isosceles triangel teorem, som hävdar jämställdhet mellan två sidor av en triangel med två lika vinklar, måste förstås, föreslog Hume, som påståendet att under de givna omständigheterna är två sidor av en triangel ungefär lika - och tolkas på detta sätt påståendet är säkert (se Badici 2011 och de Pierris 2012).

I Kants metafysik (se hans kritik av ren förnuft (1781/1787) och posten Kants syn på rum och tid) är situationen igen mer komplicerad eller sofistikerad. Kant introducerade uppfattningen om a priori kunskap i kontrast till a posteriori och syntetisk kunskap i kontrast till analytisk kunskap för att möjliggöra existensen av kunskap som inte förlitade sig på erfarenhet (och därmed var a priori) men inte var tautologisk karaktär (och därför syntetisk och inte analytisk). Analytiska uttalanden är a priori, den omtvistade klassen a priori icke-analytiska uttalanden innehåller de som inte kunde vara på annat sätt och så ger viss kunskap. Bland dem är uttalandena från den euklidiska geometri; Kant tillskrev syntetisk a priori status till kunskapen om rymden. Han tillskrev också säkerhet till Euklidisk geometri. Men, skrev Kant,det är inte filosofen som vet att vinkelsumman för en triangel är två raka vinklar, det är matematikern, eftersom matematikern gör en viss konstruktion som gör sanningen i påståendet påvisbar (se Kritik, A 716, B 744).

Bland de franska filosofierna var den dominerande positionen på 1770-talet den kartesiska, som, exemplifierat av Clairauts Élémens de géométrie (1741), kanske var onödigt naiv i sitt insisterande på tydliga och omedelbara idéer. Positionen för d'Alembert, i hans artiklar i Encylopédie Méthodique (1784), var mer sofistikerad. Geometriobjekten ska förstås genom att abstrahera från kroppar alla kvaliteter förutom att vara genomträngliga, delbara och tänkte omfattningar. Bland dessa föremål finns linjer som saknar bredd och ytor som saknar djup. Sanningar som fastställts om geometriobjekten är rent abstrakta och hypotetiska, eftersom det inte finns något sådant, till exempel som en perfekt cirkel. De demonstrerade egenskaperna kan innehålla faktiska cirklar bara i den mån det faktiska objektet närmar sig tillståndet att vara en perfekt cirkel,

De är i någon mening en gräns och, om man kan uttrycka det på detta sätt, asymptot för fysiska sanningar, termen för de objekt som närmar sig så nära som man önskar utan att nå någonsin exakt. (se Encylopédie Méthodique II, 132)

Men om matematiska teorem inte exakt håller i naturen, tjänar dessa teorem åtminstone med tillräcklig precision i praktiken. För att kunna demonstreras med fullständig hårdhet måste de betraktas som innehav av kroppar i ett tillstånd av abstrakt perfektion som de inte riktigt har.

Kurvorna som studerats i geometri är inte helt raka eller perfekt krökta, ytorna är inte helt plana eller inte perfekt krökta, men ju närmare de är så, desto mer närmar sig tillståndet att ha de egenskaper som man bevisar om linjer exakt raka eller böjda och ytor exakt platta eller böjda.

Dessa reflexioner, fortsatte d'Alembert, kommer att räcka för att motbevisa skeptikerna, som klagar över att geometriska föremål egentligen inte existerar, och andra okunniga om matematik som betraktar det som ett meningslöst och meningslöst spel.

Det verkar därför som filosofer inte hittade några problem i Euclids element, men Hume, d'Alembert och andra av en empiristisk övertalning bestred tillämpningen av teorierna på grund av att geometriobjekten kanske inte hade motsvarande objekt i världen. Filosofer som är mer öppna för idén om ett brett spektrum av viss kunskap (som till exempel Kant) skulle kunna ge geometriska teorem status som a priori sanningar som inte kunde vara andra än de är.

2.1 Mekanikens implikationer

Det fysiska utrymmet var den naiva, tredimensionella versionen av utrymmet i Euclids element och kartesiska samordnade tredimensionella geometri, och det var så Newton hade betraktat det i sin Principia Mathematica (1687). Det var tänkt som en neutral arena utan egna egenskaper, som genomsyrades av olika slags krafter som skapades av och i sin tur påverkade fysiska kroppar. Huvud bland dessa var tyngdkraften, som matematiker i den kartesiska traditionen betraktade som ett mystiskt, till och med oacceptabelt begrepp när det introducerades, men som i början av det 19: eårhundrade hade visats av Laplace för att kunna hantera alla de kända rörelserna i solsystemet. Som en följd av detta hade tyngdkraften blivit ett naturligt, primitivt koncept som inte längre behövde ytterligare förklaring, och efter 1800 var det rimligt att människor som arbetade med de nya teorierna om magnetism och elektricitet betraktade dem som krafter och modellera dem, där så är lämpligt, på Newtonian gravitation.

Det fysiska utrymmet, som beskrivs av Newton i hans Principia, ska studeras genom att gå från observationer av kroppar i rörelse relativt varandra och tidsinställda av en godtycklig klocka till motsvarande sanna rörelse i absolut rum och tid. Som Newton uttryckte det i slutet av sitt första Scholium var syftet med hans avhandling att visa

hur man bestämmer verkliga rörelser utifrån deras orsaker, effekter och uppenbara skillnader och omvänt hur man avgör från rörelser, vare sig det är sant eller uppenbart, deras orsaker och effekter.

Det fanns helt klart ingen tvekan i Newtons sinne om det fysiska rymdets euklidiska natur, och det verkar verkligen inte ha varit tvivel bland astronomer under 1600- talet om att rymden var beskrivbar i termerna som användes i Euclids element. Det är också troligt att det växande erkännandet av fördelarna med Newtons fysik cementerade en övertygelse om att rymden var tredimensionell, homogen, isotropisk och att beskrivas som om det var ett oändligt koordinatnät, och därmed exemplifierar teorem - om inte exakt definitioner av elementen.

Bland de geometriska aspekterna av det fysiska rymden som Newton etablerade är uttalandet om hans första lag:

Varje kropp bevarar i sitt tillstånd att vara i vila eller för att röra sig jämnt rakt fram, förutom i den mån det tvingas ändra sitt tillstånd av imponerade krafter.

Det finns också resultatet att ett homogent sfäriskt fast ämne utövar samma gravitationseffekt på andra kroppar som en lika massa som koncentreras i mitten av kroppen. Det vill säga, sådana organ uppträder på ett sätt som är bevisbart, och inte bara ungefär, detsamma som punktmassor. På detta sätt får punkter och linjer fysisk betydelse i sin teori om dynamik.

Det var Laplace som gav det starkaste argumentet för att säga att det fysiska rymden följer den euklidiska geometrien. I sin Exposition du système du monde från 1796 (se bok V, kap. V, s. 472) la han till en intressant anmärkning (citerad i Bonola 1912: 54) för att säga att

Geometers försök att bevisa Euclids postulat om paralleller har hittills varit meningslösa. Ingen kan emellertid tvivla på detta postulat och de teorier som Euclid härledde från det. Således innefattar begreppet rymd en speciell egenskap, självklar, utan vilken parallellernas egenskaper inte kan fastställas noggrant. Idén om ett avgränsat område, t.ex. cirkeln, innehåller inget som beror på dess absoluta storlek. Men om vi föreställer oss att dess radie ska minska, föras vi utan att misslyckas med att minska i samma förhållande mellan dess omkrets och sidorna på alla inskrivna figurer. Denna proportionalitet verkar för mig vara en mer naturlig postulat än Euclids, och det är värt att notera att det upptäcks på nytt i resultaten från teorin om universell gravitation.

Detta liknar påfallande Wallis uppfattning långt över ett sekel tidigare, även om Laplace inte nämnde Wallis och kanske inte har känt till sin diskussion om det parallella postulatet.

Runt 1800 var det därför allmänt sant att problem med sanningspåståenden från euklidisk geometri hade befunnits bland de allmänna problemen kring vår kunskap om den yttre världen. Förtroendet för filosofiska och vetenskapliga kretsar i giltigheten av den euklidiska geometrien i sig var hög.

3. Projektiv geometri

I yttrandet många i 19 : e århundradet, euklidiska geometrin förlorat sin grundläggande status till en geometri som ansågs vara mer generell: projektiv geometri. (För en introduktion till geometri på den 19: eårhundrade, se Grey 2011. Projektiv geometri beskrivs i posten, Nineteenth Century Geometry, se också uppsatserna från olika författare i Bioesmat-Martagon 2011.) Projektiv geometri har sitt eget grundläggande problem, liknande det av avståndet i den euklidiska geometri, som avser begreppet tvärförhållande, och vi måste följa rörelserna för att skapa projektiv geometri som ett självständigt ämne, för att definiera tvärförhållanden i denna inställning och lösa de epistemologiska frågor som tas upp (en prestation i samband med Kleins Erlangen-program). Vi ska också se att tillväxten av projektiv geometri skapar arenan för Hilberts axiomatisering av geometri.

Planprojektiv geometri tog ett särskilt uppsving från Jean Victor Poncelet bok från 1822 Traité des propriétés projectives des figurer där han visade kraften i projektiva metoder under den provocerande formuleringen av icke-metrisk geometri. Den grundläggande karaktären hos den nya geometri ligger på det sätt som det kan tänkas som att fånga de enklaste egenskaperna för den raka linjen - två distinkta punkter definierar en unik linje, två distinkta linjer möts i högst en punkt samtidigt som de metriska koncepten för avstånd och vinkel.

Poncelet: s påståenden för transformationer av planet som kartlägger linjer till linjer omskrivs av Chasles (1837) på ett mer rigoröst sätt som framhöll invariansen i tvärförhållande. Korsförhållandet på fyra punkter (A), (B), (C), (D) på en linje definieras som (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB), och om punkterna är mappade till (A '), (B'), (C '), (D') genom en projektiv transformation, då

[AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = A'B '{.} C'D' / mathbin {/} A'D '{.} C'B'.)

Men detta lämnade ämnet i den obekväma positionen att tyckas vara mer allmän än euklidisk geometri, eftersom euklidiska, metriska transformationer är projektiva transformationer men inte omvänt, medan de fortfarande verkar förlita sig på ett metriskt begrepp i definitionen av dess grundläggande invariant.

Denna fråga hanterades på 1840- och 1850-talet av Georg Karl Christian von Staudt. Hans två böcker (1847, 1856–1860) försökte ge grunden för projektiv geometri som gjorde det till ett autonomt ämne, oberoende av Euklidisk geometri. De var svåra att läsa och ofullkomliga på flera sätt, men uppgiften att skapa en rigorös teori kunde ses för första gången som en fråga om att slutföra en redan påbörjad uppgift. Von Staudt hävdade att omvandlingen av plan projektiv geometri kunde kartlägga varje trippel av kollinära punkter till någon annan, och alla fyrdubbla punkter (varav tre var kollinära) till någon annan, men inte någon fyrdubbla kollinära punkter till någon annan. Han gjorde sedan en detaljerad studie av kollinära fyrdubblar. Han gjorde också korta kommentarer om hur Euklidisk geometri kunde erhållas från projektiv geometri,och från dessa kunde man se att hans teori om kollinära fyrdubblar minskade till den välkända teorin om tvärförhållande så snart begreppet euklidiskt avstånd lades till projektiv geometri. Denna insikt gjordes tydlig och tydlig av Klein i ett antal tidningar i början av 1870-talet. Den första läsbara läroboken om projektiv geometri, och den som gav den sitt namn, var Cremonas Elementi di geometria projettiva från 1873, och därefter steg ämnet snabbt för att bli den grundläggande klassiska geometri.och den som gav det sitt namn var Cremonas Elementi di geometria projettiva från 1873, och därefter steg motivet snabbt och blev den grundläggande klassiska geometri.och den som gav det sitt namn var Cremonas Elementi di geometria projettiva från 1873, och därefter steg motivet snabbt och blev den grundläggande klassiska geometri.

Dess grundläggande begrepp var punkterna, linjerna och planen i ett utrymme som var (mathbb {R} ^ 3) berikat med ett vad som ofta kallades plan i oändligheten, så att två koplanära linjer möts. Före axiomatisations av teorin i slutet av det 19 : e århundradet, punkt, linje, och planet var odefinierat begrepp, med en intuitiv tolkning som tillåts för en lätt passage mellan projektiva och Euklidisk geometri. De tillåtna transformationerna av geometri-kartan pekar på punkter, linjer till linjer och plan till plan och bevarar tvärförhållanden. De verkar övergående på utrymmet, så att ingen punkt, linje eller plan är speciell, och därför kan linjer som är parallella i någon ändlig del av utrymmet kartläggas till korsande linjer och vice versa.

I sin syntetiska form var framgångarna med projektiv geometri till stor del begränsade till den förenkling som den förde till studien av koniska - alla icke-degenererade koner (cirkeln, ellips, parabola och hyperbola) är projektivt likvärdiga. I sin algebraiska form visade sig projektiv geometri nästan väsentligt i studien av plana algebraiska kurvor i vilken grad som helst, och utvidgades till projektiva utrymmen med högre dimensioner till studien av algebraiska ytor. Allt detta bidrog till den centrala betydelsen som tillskrivs en icke-metrisk geometri baserad på lite mer än begreppet rät linje och på förekomstegenskaperna för linjer och plan.

Projektiv geometri hade också en häpnadsväckande funktion, kallad dualitet och betraktas av Cremona som en logiklag. I plan projektiv geometri är det möjligt att utbyta termerna "punkt" och "linje", "sammanfallande" och "samtidiga" och på detta sätt utbyta giltiga uttalanden. Som ett resultat har alla definitioner, teorem och bevis i projektiv geometri en dubbel karaktär. Det dubbla av uttalandet om Desargues 'teorem och dess bevis, till exempel, är det omvända av teoremet och dess bevis. I tre dimensioner kan termerna "punkt" och "plan" bytas ut på samma sätt och linjer byts ut med andra linjer. Detta väcker en spännande epistemologisk fråga: det är lätt att föreställa sig rymden som består av punkter, men omöjligt att betrakta det intuitivt som består av linjer. För att göra saken värre,rymden är tredimensionell när den betraktas som består av punkter, men fyr-dimensionell när den består av linjer.

3.1 Koordinera transformationer; Kleinian geometri

Kleins Erlangen-program och vad som har blivit känt som den Kleiniska synen på geometri beskrivs i posten, Nineteenth Century Geometry. Det har kommit att stå som den huvudsakliga källan till uppfattningen att geometri kan definieras som en grupp som verkar på ett utrymme, och en geometrisk egenskap är vilken som helst egendomsmässig invariant under alla transformationer av den lämpliga gruppen.

Klein förespråkade denna uppfattning i en broschyr som publicerades när han blev professor vid universitetet i Erlangen 1872 och andra publikationer i tidskrifter på 1870-talet för att återförena geometri. Han presenterade ett sätt att visa att metriska geometrier, såsom euklidisk och icke-euklidisk geometri, och andra geometrier, såsom inversiv geometri och birational geometri, kan betraktas som speciella fall av projektiv geometri (som kan påverka geometri, som han inte gjorde veta om 1872).

Den grundläggande geometri var verklig projektiv geometri, säger i två dimensioner. I denna geometri är utrymmet verkligt projektivt utrymme, och gruppen är gruppen av alla projektiva transformationer. Denna grupp kartlägger punkter på punkter, linjer till linjer, grader kurvor (n) till kurvor av grad (n), och, viktigast av allt, är korsförhållandet mellan fyra kollinära punkter lämnas oförändrat av någon projektiv transformation. I Kleinian synvinkel konstaterar detta att punkter, linjer, kurvor för grad (n) och tvärförhållandet mellan fyra kollinära punkter är egenskaperna för geometri.

Projektiv geometri införlivade de andra geometrierna på olika sätt. Klein indikerade att man kan försöka lägga till i listan över konfigurationer, i vilket fall gruppen som håller dem invariant i allmänhet kommer att vara mindre än huvudgruppen, eller man kan försöka förstora gruppen, i vilket fall klassen invariantkonfigurationer kommer i allmänhet krympa. Klein hade nyligen lyckats visa att icke-euklidisk geometri uppstår som en subgeometri genom att begränsa uppmärksamheten till en konisk inre i det projektiva utrymmet och till den undergrupp som kartlägger den inre av den koniska till sig själv (se Klein 1871, 1873).

Den epistemologiska karaktären i Kleins Erlangen-program blir tydligare när man tittar på hur det löste det välkända gnagande tvivlet om definitionen av tvärförhållande i projektiv geometri. Kleins svar fortsatte analogt med längder i euklidisk eller icke-euklidisk geometri. I dessa geometrier bevarar motsvarande grupp raka linjer, och vilken punkt som helst kan kartläggas till någon annan punkt, men det finns ingen transformation i gruppen som kan kartlägga ett linjesegment på ett korrekt undersegment av sig själv. Varje godtyckligt men fast linjesegment kan därför tas som längdenhet och användas för att mäta linjesegment genom att konstruera godtyckliga multiplar och delmultiplar av det och ordna dem som en linjal. För att mäta längden på ett segment (AB),man lägger helt enkelt punkten (A) i ena änden av linjalen och ser var punkten (B) faller på linjalen.

Kleins insikt, efter von Staudt, var att ett exakt liknande argument som involverar fyrdubblar av kollinära punkter kan användas för att definiera tvärförhållanden i projektiv geometri. Den projektiva gruppen bevarar raka linjer, och alla beställda trippel med kollinära punkter kan kartläggas till alla beställda trippel med kollinära punkter, och kartan som skickar en given beställd trippel med olika punkter till en annan beställd trippel med olika punkter är unik, men det finns ingen transformation i gruppen som kan kartlägga en fyrdubbla av fyra kollinära punkter på en godtycklig sådan fyrdubbla. Alla godtyckliga men fasta kollinära fyrdubblar kan därför tas som enhet av "storlek", och ett komplicerat men inte svårt argument tillåter en att producera godtyckliga multiplar och undermultiplar av den som kan användas för att mäta tvärförhållanden, genom att ordna som en skulle en linjal. I stället för att ge detaljerna, är det bättre att ge en suggestiv illustration av varför detta kan göras. Låt tvärförhållandet mellan de fyra kollinära punkterna (P), (Q), (R), (S) mätas genom att kartlägga punkterna på punkterna (A), (B), (C), (D) på den riktiga linjen, där (A) är vid ursprunget, (C) vid (infty) och (D) vid 1, så det är positionen för (B) som bestämmer tvärförhållandet. Detta är unikt bestämt, och om längden på (AB) är (x), finner vi att (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).så det är positionen för (B) som bestämmer tvärförhållandet. Detta är unikt bestämt, och om längden på (AB) är (x), finner vi att (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).så det är positionen för (B) som bestämmer tvärförhållandet. Detta är unikt bestämt, och om längden på (AB) är (x), finner vi att (AB {.} CD / mathbin {/} AD {.} CB = x).

På tidens språk är längd en tvåpunkts invariant för den euklidiska eller icke-euklidiska gruppen, och tvärförhållandet är en fyrapunkts invariant för den projektiva gruppen.

3.2 Hilbert och andra om axiomatisk projektiv geometri

Problem med vissa tekniska frågor i projektiv geometri och de stigande krav på noggrannhet vid slutet av 19 : e -talet provocerade försök att axiomatise ämnet. Uppgiften togs upp mest energiskt av Pieri, Peano, och ett antal andra italienska geometers under andra halvan av 19 : e århundradet, och de lyckats ge en rigorös hänsyn till reella och komplexa projektiv geometri i två och tre dimensioner (se Marchisotto och Smith 2007). Men de lyckades samtidigt minska ämnet till en rigorös utbildning för geometrilärare och uppskattade inte möjligheterna till forskning som de hade öppnat. Det lämnades till David Hilbert att återuppliva den axiomatiska inställningen till geometri (se Hallett och Majer 2004).

Hilbert hade blivit introducerad till ett antal kontroverser om elementär projektiv geometri som handlade om vad som resulterade i vilka inställningar som innebar vilka andra resultat. Det mest anmärkningsvärda rörde Desargues teorem. I 3-dimensionell projektiv geometri är Desargues teorem en konsekvens av enbart incidensaxiomer, men det är en teorem om punkter och linjer i ett projektivt plan (och så i 2-dimensionell geometri) men ingen hade kunnat härleda den från incidensaxiom för tvådimensionell projektiv geometri. Man hade misstänkt att det kanske inte kunde dras från dessa axiomer ensam, och Giuseppe Peano kunde visa att det verkligen inte kunde dras utan några extra antaganden. Oberoende av,Hilbert gav också ett exempel på en geometri som mötte alla incidensaxiomer för 2-dimensionell projektiv geometri men där Desargues teorem var falskt. Det ersattes senare av det enklare exemplet som hittades av den amerikanska matematikern och astronomen FR Moulton i alla senare utgåvor av Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899).

I de axiomatiska geometrierna som Hilbert framförde definieras inte de grundläggande objekten (punkter, linjer, plan). Istället specificerade Hilbert hur de kan användas och vad som kan sägas om dem. Han presenterade fem familjer med axiomer, sorterade efter de koncept de använde eller kodifierade. Han skapade sedan en mängd olika geometrier som följde en mängd olika axiomsystem och fastställde konsistensen hos dem genom att ge dem koordinater över lämpliga ringar och fält - ofta medger hans geometrier många tolkningar eller modeller. Detta gav dessa geometrier hela aritmetikens konsistens och ledde till Hilberts intresse för försök att grunda aritmetik i någon form av uppsättningsteori och logik.

Hilberts tillvägagångssätt trivdes eftersom han hade insett att det fanns en matematik för axiomer, en studie av olika men inbördes relaterade axiomplaner och deras implikationer. Poincaré accepterade i sin recension (1902) av Hilberts bok de nya geometrierna som giltiga, men beklagade att de, som han uttryckte det, var ofullständiga, eftersom de saknade en psykologisk komponent. Med detta menade han att de inte kunde rymmas i hans förklaring av hur vi har viss kunskap om det fysiska rymdets geometri, eftersom de inte kunde förvärvas.

4. Icke-euklidisk geometri

Undersökningar av det parallella postulatet började i grekisk tid, fortsatte i den islamiska världen och genomfördes i det tidiga moderna väst. Men av orsaker som fortfarande är oklara, efter omkring 1800 blev det lättare för människor att föreställa sig att Euclids element kanske inte är det enda möjliga systemet för metrisk geometri. Bland de faktorer som kan hjälpa till att förklara hur det otänkbara blev tänkbart även utanför matematikersamhället var ackumulering av teorem baserade på andra antaganden än det parallella postulatet. Det verkar som att produktionen av nya, konsekventa konsekvenser av ett sådant radikalt antagande och misslyckandet med att hitta en motsägelse, tvingade vissa människor att fundera på att det verkligen kan finnas en hel geometri som skiljer sig från Euclids.

Signalexemplet på denna förskjutning är lagprofessor FK Schweikart, som 1818 skickade Gauss via Gerling, en kollega av hans vid universitetet i Marburg, en berättelse om en geometri som var helt annorlunda än Euclids. Schweikarts geometri accepterades av Gauss, som svarade att alla egenskaper hos den nya geometri kunde härledas när ett värde gavs för en konstant som dök upp på Schweikarts redogörelse. Men vad Gauss accepterade och på vilka grunder är mindre tydligt. Gauss hade redan hittat fel med flera försvar av Euclids element, och när åren gick blev han helt säker på att det fanns en ny, tvådimensionell geometri som skiljer sig från Euklidisk plangeometri. Denna geometri kunde beskrivas med formler som han skulle ha sett liknade de för sfärisk geometri. Men han beskrev inte en tredimensionell geometri av detta slag, vilket lämnade möjligheten att den tvådimensionella geometri var någon form av formell, meningslös konstighet. Å andra sidan klargjorde han i korrespondens med Bessel att han inte kunde tillskriva den euklidiska geometri den säkerhet som han gav aritmetik, vilket var förut, och både han och Bessel höll öppet möjligheten att astronomiska rymdområden kunde misslyckas med att vara euklidisk.

Belöning för de första helt matematiska beskrivningarna av rymden i andra termer än Euclids måste därför gå till János Bolyai i Ungern och Nicolai Ivanovich Lobachevskii i Ryssland oberoende. Bolyai i sina”Appendix scientiam spatii absolute veram visar” (1832) och Lobachevskii i sin”Neue Anfangsgrunde der Geometrie” (1835) och återigen i sin Geometrische Untersuchungen (1840) ersatte det parallella postulatet med antagandet att en rad och en punkt inte på den linjen, det finns många linjer genom den punkt som ligger i planet definierat av den givna punkten och den givna linjen och som inte uppfyller den givna linjen. Av dessa, som de sedan visade, är en linje i varje riktning asymptotisk för den givna linjen, och dessa asymptotiska linjer delar familjen till alla andra linjer i det givna planet och genom den givna punkten i två familjer:de som uppfyller den givna linjen, och de som inte gör det. Mycket arbete följde sedan, berömd lika i båda fallen, särskilt för att visa att i det tredimensionella rymden som beskrivs av deras antaganden finns det en yta som den euklidiska geometri har, och för att dra slutsatsen att det finns trigonometriska formler som beskriver trianglar i planet. Dessa formler liknar motsvarande formler för trianglar på sfären.

Allt detta övertygade både Bolyai och Lobachevskii om att den nya geometrien kunde vara en beskrivning av det fysiska rymden och att det framöver skulle vara en empirisk uppgift att avgöra om euklidisk geometri eller icke-euklidisk geometri var sant. Lobachevskii försökte till och med bestämma saken med astronomiska medel, men hans resultat var helt otydliga.

Det är naturligtvis sant att inget antal konsekventa avdrag i den nya geometri utesluter möjligheten att en motsägelse existerar, men det spännande förhållandet mellan den nya geometri till sfärisk geometri och förekomsten av trigonometriska formler för trianglar antydde starkt att den nya geometrien var åtminstone konsekvent. De som accepterade det, och de var väldigt få före 1860-talet, kan dock mycket väl ha välkomnat ett bättre konto än det Bolyai och Lobachevskii gav. Men innan vi vänder oss till vad det innebär är det värt att pausa för att uppskatta formlerna, eftersom många geometrar skulle hitta dem övertygande bevis på giltigheten för den nya geometri även efter omformuleringarna av Riemann och Beltrami (till exempel Enriques i hans huvuduppsats (1907) om principerna för geometri).

Det är inte bara att det finns formler, utan att de antyder en alternativ formulering av geometri, en där den geometri som beskrivs i Euclids element kan visa sig vara ett speciellt fall. Om det kan finnas ett annat sätt att definiera geometri, en som skulle leda till dessa formler i olika fall, skulle sättet vara öppet för att ompröva alla frågor om geometri som kritisk undersökning hade öppnat. Den person som bäst ställts till detta på 1830- och 1840-talet var Gauss. Han visste mycket väl vad Bolyai och Lobachevskii hade gjort, och hans differentiella geometri gav honom medel att fortsätta, men underligt nog gjorde han det inte. I början av 1840-talet skrev han några anteckningar som visar att han kunde förbinda den nya tvådimensionella geometri med geometri på en yta med konstant negativ krökning, men han gjorde ingenting med denna observation.

Å andra sidan skulle det inte räcka att formlerna bara existerar för att göra dem geometriska. Detta behov för att ge dem en geometrisk förankring erkändes av Lobachevskii i hans tidigaste publikationer, men eftersom de var på ryska läste de inte utanför Ryssland (och de uppskattades inte heller av ryska matematiker). Han tappade sina överväganden av detta slag i sin broschyr 1840, på vilken mycket av hans rykte beror till denna dag, men tog dem tillbaka i sin sista presentation, Pangéométrie (1856), som dock inte gjorde bättre än de tidigare versionerna.

Lobachevskii hävdade först att geometri var en vetenskap om kroppar i rymden, och att rymden är tredimensionell. Det mest primitiva konceptet var kontakten, och dess motsats, ett snitt som skiljer två kroppar. Två organ som inte är i kontakt är separerade och en lämplig tredje kropp som är i kontakt med båda mäter avståndet mellan dem, ett begrepp som annars inte var definierat. Han kunde därför definiera en sfär med dess centrum vid en given punkt som samlingen av alla punkter som är lika stora från en given punkt. Han visade sedan hur man definierar ett plan genom att fånga intuitionen att med två olika punkter ett plan är samlingen av punkter i rymden som är samma avstånd från var och en av de två givna punkterna. I hans termer, med tanke på två punkter är ett plan den uppsättning punkter som är gemensamma för två sfärer med samma radie,en centrerad på en av punkterna och den andra på den andra. En linje kan definieras på liknande sätt.

Med intuitionen att avståndet är det primitiva konceptet kommer en större uppskattning av rörelse, eller åtminstone resultaten av att kunna flytta objekt utan att förändra dem. Man kan tänka sig att man transporterar en styv kropp runt, säger en kub med sidor med enhetslängd och använder en av dess sidor för att markera längder. Vi får se senare att de möjligheter som denna process föran en kyckling-och-ägget debatt mellan Bertrand Russell och Henri Poincaré i slutet av 19 : e århundradet.

Den nya geometrien utgör en radikal utmaning för den euklidiska geometri, eftersom den förnekade traditionell geometri sitt bästa krav på säkerhet, med andra ord, att det var det enda logiska systemet för att diskutera geometri alls. Den utnyttjade också den spänning som experter känner mellan begreppen rakaste och kortaste. Men på andra sätt var det konventionellt. Det erbjöd inga nya definitioner av bekanta begrepp som rakhet eller avstånd, det var överens med den euklidiska geometri över vinklar, den erbjöd bara en annan intuition om parallella linjer baserade på en annan intuition om raka linjers avlägsna beteende. Förespråkarna gav inte någon skeptisk slutsats. Bolyai och Lobachevskii sa inte: "Se, det finns två logiska men oförenliga geometrier, så vi kan aldrig veta vad som är sant." Istället,de höll på hoppet om att experiment och observationer skulle avgöra. Det epistemologiska priset människor skulle behöva betala om astronomiska observationer hade kommit ner till förmån för den nya geometrien skulle på något sätt ha varit liten: det hade varit nödvändigt att säga att raka linjer trots allt har en oväntad egenskap, men en detekterbar på långa avstånd eller med anmärkningsvärda mikroskop. För att vara säker, måste många av teorierna om euklidisk geometri sedan omarbetas, och deras bekanta euklidiska motsvarigheter skulle bara framträda som mycket bra tillnärmningar. Men det är i stort sett jämförbart med den situation som Newtonian mekanik befann sig i efter speciell relativitet.på något sätt har det varit svagt: det hade varit nödvändigt att säga att raka linjer trots allt har en oväntad egenskap, men en är bara detekterbar på långa avstånd eller med anmärkningsvärda mikroskop. För att vara säker måste många av teorierna om euklidisk geometri sedan omarbetas, och deras välkända euklidiska motsvarigheter skulle bara framträda som mycket bra tillnärmningar. Men det är i stort sett jämförbart med den situation som Newtonian mekanik befann sig i efter speciell relativitet.på något sätt har det varit svagt: det hade varit nödvändigt att säga att raka linjer trots allt har en oväntad egenskap, men en är bara detekterbar på långa avstånd eller med anmärkningsvärda mikroskop. För att vara säker måste många av teorierna om euklidisk geometri sedan omarbetas, och deras välkända euklidiska motsvarigheter skulle bara framträda som mycket bra tillnärmningar. Men det är i stort sett jämförbart med den situation som Newtonian mekanik befann sig i efter speciell relativitet.och deras välkända euklidiska motsvarigheter verkade bara som mycket goda tillnärmningar. Men det är i stort sett jämförbart med den situation som Newtonian mekanik befann sig i efter speciell relativitet.och deras välkända euklidiska motsvarigheter verkade bara som mycket goda tillnärmningar. Men det är i stort sett jämförbart med den situation som Newtonian mekanik befann sig i efter tillkomsten av speciell relativitet.

5. Riemannian geometri

Den mycket mer betydande förändringen kom med ankomsten av Bernhard Riemanns stora förlängning av Gaussisk differentiell geometri. Många av de epistemologiska frågorna har redan tagits upp med Gauss arbete (1828), så vi vänder oss till det först.

Gauss tänkte djupt över vad det är att definiera en yta, och han fann att tre definitioner av successiv generalitet är möjliga. Man kan anta att åtminstone lokalt kan ytan ges i formen, (z = f (x, y)) för någon funktion (f) för (x) och (y). Detta gäller för områden i området, men inte för det hela samtidigt. Mer generellt kan man anta att ytan består av de punkter ((x, y, z)) som uppfyller en ekvation av formen (f (x, y, z) = 0), som sfär är. Mer generellt fortfarande, sa Gauss, kan det vara så att en yta gavs lokalt av tre funktioner vardera av två variabler (u) och (v). Dessa två variabler ska betraktas som koordinaterna för punkter i ett plan och funktionerna (x (u, v), y (u, v)) och (z (u, v)) tillsammans ge koordinaterna för punkter på ytan i rymden. I den här inställningen,varje punkt på en yta har (u) och (v) koordinater i planet. Avståndet mellan två punkter på ytan motsvarande ((u, v)) och ((u + du, v + dv)) i planet ges av en version av Pythagoras teorem med en formel av form

(tag {*} ds ^ 2 = E (u, v) du ^ 2 + 2F (u, v) dudv + G (u, v) dv ^ 2)

där (E, F) och (G) bestäms av funktionerna (x, y) och (z) och uppfyller (EG - F ^ 2 / gt 0).

Gauss kunde definiera ett mått på ytans krökning vid en punkt, och han fann något anmärkningsvärt med det: måttet på krökningen beror bara på (E, F) och (G) och deras derivat med respektera (u) och (v), men inte direkt på funktionerna (x (u, v), y (u, v)) och (z (u, v)). Det exakta uttrycket är långt och komplicerat, men implikationen är, som Gauss påpekade, att hans mått på en ytas krökning vid en punkt är iboende: det bestäms helt av mätningar i ytan och involverar inte någon fråga om en tredje dimensionen vinkelrätt mot ytan. Med en metrisk, en formel (*) för avstånd, kan krökningen hittas. Om till exempel formeln för avstånd är den för en karta över sfären på planet,krökningen kommer att befinna sig vara den ömsesidiga kvadraten på sfärens radie.

Gauss undersökte också när en yta kan kartläggas på en annan på ett sådant sätt att avstånd inte ändras: om två punkter (P) och (Q) på den ena ytan är ett avstånd (d) från varandra, då så är deras bilder på den andra ytan. Gauss kunde visa att ett nödvändigt villkor för att detta ska ske är att krökningarna på motsvarande punkter är desamma. Exempelvis är cylindern och planet lokalt isometriskt; även om den är böjd, har cylindern noll krökning i Gauss mening, precis som planet, varför det är möjligt att skriva ut från en roterande trumma.

Detta innebär att det finns geometriska egenskaper man kan dra slutsatsen från en karta över en yta som är oberoende av kartans detaljer och hänvisar till själva ytan. Dess gaussiska krökning vid varje punkt är känd, och det finns andra egenskaper som man kan dra slutsatsen att veta (ds ^ 2), till exempel kurvan med kortaste längd mellan två punkter (under vissa villkor).

Det uppskattades inte omedelbart att Gausss tillvägagångssätt gjorde det möjligt för matematiker att definiera ytor som områden i planet med ett visst mått som inte kan erhållas från ytor i det euklidiska tredimensionella utrymmet. Naturligtvis, om man definierar en yta som bilden på en karta från en bit av (mathbb {R} ^ 2) till (mathbb {R} ^ 3), så är det naturligtvis i (mathbb {R} ^ 3). Men om man definierar en yta som ett område av (mathbb {R} ^ 2) med en viss metrisk, kanske det inte finns någon yta i (mathbb {R} ^ 3) som den motsvarar. Den första personen som uppskattade detta verkar ha varit Riemann, som också utökade denna idé till valfritt antal dimensioner.

Riemanns idéer var både djupa och naiva och av den anledningen visade de sig svåra att göra exakta, men vi kan nöja oss med att vara naiva från början. Han antog att han fick ett utrymme (han kallade det en 'manifoldness') där man när som helst kan införa ett koordinatsystem åtminstone på alla punkter nära en godtycklig initial punkt, och om man gör det så är varje punkt relaterade till den första punkten med en lista med (n) siffror sa han att utrymmet är (n) - dimensionellt. Vi kan tänka på denna process som att tillhandahålla en karta över åtminstone den delen av utrymmet nära den första punkten på (mathbb {R} ^ n). Hittills skiljer sig detta från ytfallet endast i det att två dimensioner har ersatts av (n).

Han antog att det fanns ett sätt att säga vad avståndet var oändligt, genom att generalisera formeln för (ds ^ 2) från 2 till (n) variabler. (Han tillät till och med att helt olika formler användes, men vi ska inte beskriva den del av hans teori, som låg brack i många år).

Därefter kontrollerade han att denna inneboende egenskap hos krökning kvarstod i högre dimensioner, vilket den gör. Detta beror väsentligen på att det (n) - dimensionella objektet har massor av två-dimensionella ytor som den gaussiska teorin gäller för, så ett begrepp om krökning av ett (n) - dimensionellt objekt vid en punkt kan härledas från en hänsyn till de tvådimensionella ytorna som passerar genom punkten.

Nu frågade han, vad mer vill vi kunna göra geometri? Det finns egenskaper för utrymmet som är oberoende av koordinatsystemet. Om två olika koordinatsystem ger ut olika koordinater, men gör det på ett sådant sätt att avståndet mellan punkterna bibehålls, så låter båda systemen oss göra geometri, och när vi gör det finner vi att de två koordinatsystemen är överens om krökningarna vid varje punkt, på avståndet mellan punkter, och så vidare.

Eftersom formeln för (ds ^ 2) skrevs ned med förbehåll för endast några få begränsningar, finns det ingen anledning att tro att en Riemannisk geometri definieras med avseende på en antecedent euklidisk geometri. Det finns inget påstående att en (n) - dimensionell riemannisk geometri ska erhållas av en karta från en (n) - dimensionell delmängd av någon Euklidisk (N) - dimensionell Euklidisk rymd. Detta innebär att geometri kan göras utan hänvisning till någon euklidisk geometri: Euklidisk geometri är inte längre epistemologiskt före någon studie av andra geometrier. Euklids regeringstid var teoretiskt över.

5.1 Geodesik och anslutningar

Med tanke på ett begrepp av avstånd på en grenrör är det möjligt att prata om geodesik - en geodesisk sammanfogning av två punkter är en kurva med kortaste längd mellan dessa två punkter. Frågor om existens och unikhet kan tas upp och ofta besvaras. Ett betydande framsteg gjordes oberoende av Tullio Levi-Civita 1917 och Hermann Weyl 1918, inspirerad av Einsteins teori om allmän relativitet, när de visade hur man definierar parallellitet på en krökt grenrör (om Levi-Civitas bidrag, se Bottazzini 1999 och vidare Weyls bidrag se Scholz 2001). Grovt sett, i Weyls presentation (1918), är två vektorer på olika punkter parallella om de tillhör en familj av vektorer längs en kurva som inte varierar längs kurvan. Det är en effekt av krökningen att denna definition är oberoende av familjen av vektorer men beror på kurvan om inte krökningen är noll; vektorer på en typisk grenrör kan endast sägas vara parallella längs en kurva.

Begreppet avlägsen parallellitet tillåter en vektor att flyttas längs en godtycklig kurva på ett sätt som håller den parallell med sig själv vid varje punkt. Detta kallades ett sätt att upprätta en koppling mellan olika punkter, och teorin kallades teorin om förbindelser på grenrör. I synnerhet är det möjligt att fråga om en familj av tangentvektorer till en kurva består av vektorer parallella med tangentvektorn vid utgångspunkten. Om så är fallet är kurvan en naturlig kandidat som ska betraktas som den rakaste kurvan mellan dess slutpunkter, eftersom tangentvektorn aldrig accelererar längs kurvan.

Anslutningar kan definieras oberoende av metriken, men om metriken och anslutningen är kompatibla kan det visas att varje liten bit av denna kurva är den kortaste kurvan som sammanfogar dess slutpunkter, så de raktaste kurvorna på ett grenrör är geodesiken. I modern differentiell geometri definieras geodesik via anslutningar.

5.2 Riemann och Beltrami och rigorös icke-euklidisk geometri

Riemanns "Ueber die Hypothesen …" (som föreläsning 1854, publicerad postumt 1867) och Beltramis "Saggio" (1868) gav olika men likvärdiga berättelser om 2-dimensionell icke-euklidisk geometri genom att beskriva den som geometri i det inre på en skiva med en ny metrisk. Riemanns redogörelse, som anges i (n) dimensioner, överensstämmer med den som Poincaré skulle använda i många korta publikationer 1880 och 1881 men beskriver endast uttryckligen i hans större uppsats (Poincaré 1882). I denna metrisk är geodesics bågar av cirklar vinkelrätt mot skivans gräns och vinklarna är korrekt representerade. I Beltramis version representeras geodesik av raka linjesegment som är ackord på skivan. Riemann- och Beltrami-skivorna övertalade snabbt matematiker att Bolyai och Lobachevskiis icke-euklidiska geometri gjorde,gör trots allt strikt matematisk mening. Poincarés bidrag ett decennium senare var att göra icke-euklidisk geometri till den naturliga geometrien för vissa ämnen på andra håll i matematiken, främst det utvecklande och viktiga ämnet för Riemanns ytor.

Vikten av en strikt redogörelse för någon del av matematiken bör inte ignoreras, men acceptansen av Riemannian geometri i inställningen av icke-euklidisk geometri gick utöver presentationen av en konsekvent formalism. Det markerar acceptansen av uppfattningen att geometri är vad som kan beskrivas i den Riemanniska formalismen. Dörren öppnas för att det finns många geometrier, som var och en måste vara konsekventa, och ingen av dem behöver hänvisa till den euklidiska geometri. Antalet dimensioner på 'utrymmet' som diskuteras, det 'rymdets' topologiska karaktär och den exakta metriken är likgiltiga frågor. Det finns en tvådimensionell geometri av en sådan och sådan typ eftersom en lämplig metrisk kan hittas; för det finns som sagt en karta över det,inte för att en yta har hittats i (mathbb {R} ^ 3) med rätt egenskaper. Det visades faktiskt senare (Hilbert 1901) att det inte finns någon yta i (mathbb {R} ^ 3) som motsvarar exakt det icke-euklidiska 2-dimensionella rymden.

Riemann var tydlig att de epistemologiska konsekvenserna av detta sätt att geometri var enorma. Matematiker bör inte längre behöva abstrahera några grundläggande intuitioner från vad de tror om fysiska rymden, till exempel arten och egenskaperna för raka linjer eller cirklar, och försöka bygga en verklig geometri på grundval av ett axiomatiskt uttryck för dessa intuitioner. Snarare bör tankens riktning gå i motsatt riktning: matematiker var fria att konstruera oändligt många geometrier och se vilka som gällde det fysiska rymden. I detta sammanhang visades det snart att det är möjligt att göra teoretisk mekanik vid inställningen av icke-euklidisk geometri.

6. Förståelsen för icke-euklidisk geometri

Den epistemologiska betydelsen av projektiv geometri bygger på dess följder för klassens geometri och karaktär. Den epistemologiska betydelsen av icke-euklidisk geometri beror mer på möjligheten att det kan vara sant på vilket sätt som euklidisk geometri kan vara sant. Vi vänder oss därför till 19 : e århundradet undersökningar av förståelsen av geometri.

6.1 Herbarts filosofi

Johann Friedrich Herbart blev Kants efterträdare i Königsberg 1808, där han stannade tills han gick till Göttingen 1833, där han dog 1841, men han var ingen ortodoks kantian. Hans huvudsakliga verk, tvåvolymen Psychologie als Wissenschaft neu gegrundet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik 1824–1825, försökte grunda psykologi i filosofi och behandlade erfarenhet och metafysik lika. Med hjälp av lite ganska fantasiv matematik försökte han visa hur minnet fungerar och hur upprepade stimuli av vissa slag får hjärnan att lära sig att uppfatta, till exempel linjer, parallella linjer, korsande linjer och ytor. Det finns inga medfödda idéer, enligt Herbartts åsikt; det visuella utrymmet konstrueras av erfarenhet, mest betydelsefullt med hjälp av den konceptuella handlingen om att dra slutsatsen kontinuitet i rumsliga processer. Och koncept genereras av kluster av minnen, på vilka logiken sedan fungerar oberoende av deras ursprung. Detta var Herbarts sätt att undvika grundläggande logik i psykologin.

Herbarts idéer påverkade Riemann (se Scholz 1982). Riemann betraktade naturvetenskapen som försöket att förstå naturen genom att använda exakta begrepp, som ska modifieras mot bakgrund av vår erfarenhet med dem. Han förväntade sig att de mest framgångsrika koncepten skulle vara ganska abstrakta och instämde med Herbart i att de inte kunde vara en priori på Kantiansk sätt. Dessutom var det deras ursprung i uppfattningen som gav dessa begrepp sin betydelse för vetenskapen. I anteckningar som han skrev för sig själv (se Riemann Werke 1990: 539) sa Riemann att han höll med Herbart i frågor om psykologi och epistemologi, men inte ontologi eller med hans idéer om konstruktionen av begreppen rymd, tid och rörelse. Oenigheten gör en djupare sympati. Herbart hade förespråkat en tredimensionell verklig värld av orsakssammanslutna men diskreta monader,som sinnet behandlar via begreppet kontinuum, som det tillhandahåller, och därmed förvandlar sina diskreta upplevelser till spektra av möjligheter. Riemann såg ingen anledning att begränsa uppmärksamheten till tre dimensioner och flyttade de kontinuerliga möjligheterna till de mycket allmänna geometriska koncept som han skapade.

Detta minskade eller kanske lämnade bakom den erfarenhet som Herbart hade betonat. Riemann var medveten om vad Herbart hade sagt inträffade naturligt: om erfarenhet genererar begrepp som vi ramar in i världen, låt matematik generera mer exakta och flexibla begrepp som vi kan bedriva vetenskap med.

6.2 Helmholtz och Poincaré

Riemanns idéer påverkade i sin tur Hermann von Helmholtz, som publicerade flera inflytelserika uppsatser om hur vår kunskap om geometri är möjlig. I sin "Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie" (1868) försökte han visa hur endast ett begränsat antal Riemanniska geometrier kan konstrueras där det finns ett begrepp av styv kroppsrörelse. Han hävdade att det är vår upplevelse av styva kroppar som lär oss hur rymden är, och i synnerhet vad avståndet är. Han hävdade vidare att ett tvådimensionellt utrymme som medger styva kroppsrörelser antingen skulle vara det euklidiska planet eller sfären. Beltrami skrev till honom för att påpeka att han hade förbisett möjligheten till icke-euklidisk geometri, och Helmholtz instämde inte bara,men skrev en ytterligare uppsats (1870) där han förklarade hur det skulle vara möjligt för oss att ha kunskap om denna geometri i kantiansk mening (syntetisk a priori). Många Kantians vägrade att bli övertygade, troligen utifrån att Kant säkert hade trott att vi har oklanderlig kunskap om den typen om euklidisk geometri, men en person som dessa idéer mycket troligt påverkade var Henri Poincaré (se Gray 2012).

Så snart Poincaré började skriva sina populära filosofiska uppsatser om geometri, klargjorde han att hans huvudsakliga oro var hur vi alls kunde lita på någon geometri. Han var väl medveten om det stora utbudet av Riemanniska geometrier och avslutningen av Helmholtzs spekulationer, då gjort strikt i arbetet med Sophus Lie, att ett mycket begränsat antal geometrier erkände styva kroppsrörelser. Hans oro i hans”On the foundation of geometry” (1898) var med epistemologi.

Poincaré hävdade att sinnet snabbt inser att det kan kompensera för vissa typer av rörelser som det ser. Om ett glas kommer mot dig kan du gå bakåt på ett sådant sätt att glaset verkar oförändrat. Du kan göra samma sak om det lutar eller roterar. Sinnet kommer att innehålla en lagring av dessa kompensationsrörelser, och inser att det kan följa varandra och resultatet blir en tredje kompensationsrörelse. Dessa mentala handlingar bildar ett matematiskt objekt som kallas en grupp. Sinnet kan emellertid inte generera kompensationsrörelser för andra rörelser som det ser, till exempel vinets rörelse i glaset när det virvlar runt. På detta sätt kommer sinnet att bilda begreppet en styv kroppsrörelse, det är just den rörelse som sinnet kan bilda en kompensationsrörelse för.

Poincaré övervägde sedan vilken grupp gruppen av kompensationsrörelser kunde vara, och fann att det, som Helmholtz föreslog och Lie sedan hade bevisat, fanns en strikt begränsad samling av sådana grupper. Huvud bland dem var grupperna som kommer från euklidisk och icke-euklidisk geometri, och som abstrakta grupper är de olika. Men vilken var korrekt?

Poincarés kontroversiella uppfattning var att man aldrig kunde veta. Mänskliga varelser, genom evolutionen och genom vår erfarenhet som spädbarn, väljer den euklidiska gruppen och säger så att rymden är euklidisk. Men en annan art, som bygger på olika upplevelser, kunde välja den icke-euklidiska gruppen och så säga att rymden var icke-euklidisk. Om vi träffade en sådan art skulle det inte finnas något experiment som skulle avgöra frågan.

Man kan föreställa sig, sa han, att göra stora trianglar och mäta vinklarna. Triangelns sidor är, säger vi, gjorda av ljusstrålar. Låt oss anta att inom gränserna för experimentfel är resultatet av experimentet att vinkelsumman för triangeln är mindre än (pi), ett resultat som överensstämmer med icke-euklidisk geometri men i strid med Euklidisk geometri. Den enda slutsatsen man kan dra, säger Poincaré, är att antingen ljusstrålar rör sig längs raka linjer och utrymmet är icke-euklidiskt eller att utrymmet är euklidiskt och att ljusstrålar rör sig längs kurvor.

Vi kan sammanfatta hans argument på detta sätt. Vår kunskap om den yttre världens geometri bygger på vår mentala förmåga att hantera en grupp styva kroppsrörelser. Det finns en mycket begränsad butik av dessa grupper, men inget experiment kan avgöra mellan dem. Allt vi kan göra är att göra ett val, och vi ska välja det enklaste. Som det händer, det var den euklidiska gruppen, för, säger Poincaré, hade vi funnit att en av dess egenskaper som inte delades med den icke-euklidiska gruppen, var särskilt enkel. Men människans art hade som sagt gjort ett val, och det valet var nu medfött i det mänskliga sinnet. På grund av hur kunskap förvärvas och det faktum att det finns mer än en lämplig grupp, kan vi aldrig veta om rymden är euklidisk eller icke-euklidisk, bara för att vi konstruerar den som euklidisk.

Denna vridning på den kantianska läran om Ding an sichs ovetande (saken i sig) och vår begränsning till utseendevärlden var hemlig för Poincaré som en fungerande fysiker, men det finns en viktig åtskillnad att göra. Den synpunkt som just förklarats är Poincarés filosofi om geometrisk konventionalism. Han förespråkade konventionalism inom andra vetenskapliga områden och argumenterade att det vi kallar naturlagarna (Newtons lagar, bevarande av energi osv.) Varken var empiriska frågor som var öppna för revision eller absoluta sanningar men var väl etablerade resultat som hade höjts till axioms roll i nuvarande vetenskapliga teorier. De kunde utmanas, men bara om en hel vetenskaplig teori utmanades, inte ledigt när några besvärliga observationer gjordes. Inför en satellit som inte tycktes lyda Newtons lagar borde man, säger Poincaré, överväga någon som ännu obemärkt kraft på jobbet och inte försöka skriva om Newton. Men en ny teori kan föreslås, baserat på olika antaganden som skriver om en naturlag, eftersom dessa lagar inte är eviga sanningar - vi kunde aldrig veta sådana saker. Och om en ny teori skulle föreslås kan man bara välja mellan den nya och den gamla på grund av bekvämlighet.man kan bara välja mellan det nya och det gamla på grund av bekvämlighet.man kan bara välja mellan det nya och det gamla på grund av bekvämlighet.

Den avgörande skillnaden här är att vetenskaplig konventionalism fungerar på en hög nivå. Valen görs medvetet och intellektuellt, debatten är bara öppen för personer med en betydande mängd specialutbildning. Geometrisk konventionalism fungerar på sinnet innan den kan ha någon form av formell instruktion, och om den inte fungerade skulle det olyckliga ämnet vara oförmögen att känna till den yttre världen.

6.3 Poincaré kontra Russell

Poincarés åsikter förde honom till kollision med Bertrand Russell på 1890-talet när han dök upp från sin korta Hegelianfas och gick in i sin Kantianska fas. Russell försökte etablera den kantianska a priori genom att hävda att det finns en grundläggande geometri, som är projektiv geometri, och vi har syntetisk a priori kunskap om den (se Griffin 1991 om Russell och Nabonnand 2000 om kontroversen).

Det råder liten tvekan om att Poincaré, med hans mycket större kunskaper om matematik, vann mycket av debatten, eftersom Russell med sin karakteristiska villighet att erkänna sina fel var villig att medge. Men en betydande skillnad i tillvägagångssätt mellan dem var aldrig att lösa. Poincarés analys började med idén om styva kroppar, från vilka ett begrepp av avstånd skapas. Russell hävdade tvärtom att vad vi än kan upptäcka begreppet distans att vara vet vi innan vi börjar att avståndet från London till Paris är mer än en meter. Denna Poincaré förnekade i sin”Des fondements de la géométrie: à propos d'un livre de M. Russell” (1899).

Enligt Poincarés åsikt vet vi bara vad avståndet från en punkt till en annan är när vi har fått reda på vad styva kroppar gör, och denna kunskap har blivit medfödd i oss. Enligt Russells åsikt kan ingen diskussion om begreppet avstånd ens överväga att avståndet från London till Paris är mindre än en meter - vi skulle veta att vi inte talade om avstånd om vi sa något liknande. Poincaré insisterade på att samtal om vad vi vet alltid ska vara beroende av hur vi vet det; utan en sådan analys var påståendena inte alls kunskapsanspråk. Russell ville att avstånd skulle betraktas som en grundläggande intuition.

En matematisk illustration kan belysa oenigheten. För Poincaré, prata om vad vi kan kalla vanlig geometri, känslan av rymden som vi har före avancerad instruktion, handlar verkligen om förmågan vi har att mäta saker. Vi kan bära en styv kropp runt och använda den som linjal. Det är för att vi kan göra det så att vi kan tala om avståndet mellan platser. Om du vill göra uppsättningen mer abstrakt måste det finnas ett utrymme och en grupp som verkar på utrymmet och flyttar punkter i utrymmet runt. Om denna grupp har den egenskapen att dock ett område i det rymden flyttas runt det aldrig mappas på en riktig undergrupp av sig själv kan man konstruera styva kroppar och prata om avstånd.

För Russell är det fritt att ta ett utrymme och tilldela ett 'avstånd' till varje poängpar (med förbehåll för några enkla regler som jag utelämnar). I förhållande till denna känsla av avstånd kan man säga om punkter i det förblir samma avstånd från varandra eller inte när en region flyttas runt. Vi har gjort detta för vår känsla av avstånd på jordens yta, och vi kan göra detta oavsett om vi också har några styva kroppsrörelser eller inte. I matematiska termer skulle Russell vara nöjd med det som kallas ett metriskt utrymme. Poängen är inte att man kunde införa ett mätvärde på jordytan där ett visst par punkter, säger i Cambridge, var en meter från varandra och London och Paris var bara en halv meter från varandra - man kunde - men att man kan prata om avstånd utan att förutsätta en grupps handling. Vissa metriska utrymmen erkänner handlingen för grupper som bevarar avstånd,andra inte, men avstånd kan definieras utan att prata om en grupp. Poincaré konfronterades aldrig med exakt detta argument-metriska utrymmen är en uppfinning av de 20th århundrade men vi vet vad han skulle ha sagt. Han skulle ha sagt att det var giltig matematik men helt formellt och inte kunde betraktas som äkta kunskap eftersom det saknade en psykologisk dimension. Vi vet detta eftersom det var hans kritik av de axiomatiska geometrierna konstruerade av Hilbert (se nedan).

Poincarés argument mötte också invändningar från den italienska matematikern Federigo Enriques. Poincaré hade hävdat att ett sätt att se giltigheten av det geometriska konventionella argumentet var att överväga en skiva där allt gjordes av samma material, som expanderade när det upphettades, och där temperaturen var en speciell funktion av avståndet till mitt på skivan. Denna funktion, som Poincaré specificerade, säkerställde att metriken i skivan, mätt med stavar tillverkade av samma material som skivan, var den för icke-euklidisk geometri. Varelser som bor på skivan skulle rapportera att deras utrymme var icke-euklidiskt; vi skulle svara att det fanns utrymme Euklidiska men med förbehåll för den snedvridande effekten av temperaturfält. Vanligtvis kan varje sida behålla sin position fri från självmotsägelse.

Enriques hävdade i sin Problemi della Scienza (1906) att detta var orimligt. Varelserna skulle vara rätt att tillskriva en geometri till deras rymd (och, i själva verket, icke-euklidisk geometri) eftersom den snedvridande kraften är utanför deras kontroll. Deras geodesik är inbyggd i rymden, och det vore orimligt av dem att tillskriva geodesics banor till driften av en "kraft" eftersom den "kraften" inte var något de i princip ens kunde manipulera. Värme, gravitationseffekten av massiva föremål, alla dessa snedvridande påverkningar är saker som kan tillåtas, eftersom de kan ändras. Om det i experimentet ovan skulle hävdas att rymden är euklidisk men våra kandidater för raka linjer är deformerade borde det vara möjligt att variera graden av deformation. Man kan utföra experimentet längre bort från alla massiva föremål, i tömare områden i rymden. Om olika experiment gav ännu något olika resultat skulle man i enlighet med Poincarés egna kriterier för att ändra vetenskapliga konventioner leta efter något under de omständigheter som var ansvariga för ljusstrålarnas avvikelse från rätheten. Men om alla experiment var överens, hävdade Enriques att det skulle vara rationellt att dra slutsatsen att ljusstrålar färdades på geodesik och geometrin i rymden var icke-euklidisk. Men om alla experiment var överens, hävdade Enriques att det skulle vara rationellt att dra slutsatsen att ljusstrålar färdades på geodesik och geometrin i rymden var icke-euklidisk. Men om alla experiment var överens, hävdade Enriques att det skulle vara rationellt att dra slutsatsen att ljusstrålar färdades på geodesik och geometrin i rymden var icke-euklidisk.

Det är också värt att notera att den växande förfining av idéer om hur teoretisk geometri hänför sig till praktisk erfarenhet och om den kunskap som geometri tillhandahåller tillhör en familj med förändringar i hela matematiken fram till år 1900. En autonom disciplin av matematik uppstod som lägger en ökad tonvikt på formella aspekter av ämnet och erbjöd en komplicerad och ofta avlägsen relation med erfarenhetsvärlden. Denna modernistiska vändning i matematik diskuteras på olika platser (se Gray 2008 och den litteratur som citeras där).

7. Avslutande anmärkningar

Denna uppsats har undersökt huvudgrenarna i utvecklingen av geometri till de tidiga åren av 20 : e -talet under rubrikerna teoretisk eller abstrakt kunskap, empirisk och andra analyser av begriplighet av sådan kunskap, och den deduktiva karaktär denna kunskap.

Den raka linjens status i elementär euklidisk geometri som både den kortaste kurvan som sammanfogar två av dess punkter och som den kurva som alltid pekar i samma riktning lossades. En undersökningslinje ledde till geometrier som betonade rakhet som den grundläggande egenskapen (vanligtvis projektiv geometri) och den andra till geometrier som betonade den kortaste aspekten. Det förra tillvägagångssättet sågs från början som ett icke-metriskt och blev den föredragna arenan för formella, till och med axiomatiska undersökningar av geometri som ett deduktivt företag. Priset hade mindre och mindre att säga om det fysiska utrymmet (som Poincaré noterade). Geometribegreppet utvidgades radikalt, men på sätt som inte var tänkt att vara berättelser om ett begripligt rum.

Den metriska redogörelsen ledde till en progressiv belysning av en betydande otydlighet i Euclids element: det parallella postulatet. För mycket av det 19 : e århundradet, det var det enda alternativet till Euklides som föreslogs som en begriplig geometri, även om det var allmänt accepterat att endast de mest känsliga experiment kunde hoppas att avgöra saken. Poincarés ifrågasatta åsikt var att inget experiment kunde besluta så, och detta väckte viktiga frågor om hur abstrakta termer ska tolkas.

Utöver den iögonfallande idén om ett alternativ till Euclids system för geometri, som hade stått i två tusen år, fanns det panoply av metriska geometrier som antyddes i Gauss arbete med differentiell geometri och utarbetat av Riemann. Här visade det sig äntligen möjligt att förklara förhållandet mellan rakaste och kortaste i en lämplig allmän miljö. Det blev också möjligt att diskutera geometri som en kropp av idéer som växte ut ur naiva idéer om längd, vinkel, form och storlek och att göra det på ett sofistikerat och rigoröst sätt utan att vädja till axiomer, oavsett om dessa axiomer var avsedda eller inte som destillationer av förståelig upplevelse. På detta sätt blev det möjligt att tillämpa geometriska idéer i nya miljöer och på nya sätt.

Vid slutet av det första decenniet av det 20 : e århundradet, stod det klart att den euklidiska geometrin hade förlorat sin framstående position. Det fanns bättre formella, axiomatiska system (som de som föreslogs av Hilbert och vissa matematiker i skolan runt Peano). Det fanns rika system som var mer grundläggande, i den meningen att man använde färre egenskaper hos figurerna i traditionell geometri, såsom rak linje (de många versionerna av projektiv geometri). Och det fanns ett överflöd av metriska geometrier med mer naturliga utgångspunkter och djupare teorier.

Som ett resultat har idéer om hur teoretisk geometri av vilket slag som helst relaterar till utrymmet runt oss blivit mycket mer sofistikerade. Sanningen om geometri var inte längre att ta för givet, men hade blivit till viss del empirisk, och filosofiska idéer om geometriens förståelse hade också fördjupats.

Bibliografi

  • d'Alembert, J. le Rond, 1784, Encylopédie Méthodique: Mathématique.
  • Badici, E., 2011, “Standarder för jämlikhet och Humes syn på geometri”, Pacific Philosophical Quarterly, 92 (4): 448–467.
  • Beltrami, E., 1868, “Saggio di interpretazione della geometria non Euclidea”, Giornale di Matematiche, 6: 284–312, i Opere matematiche I: 374–405. Engelsk översättning i J. Stillwell, 1996, Sources of Hyperbolic Geometry (History of Mathematics 10), American and London Mathematical Sociations, p. 7-34.
  • Bioesmat-Martagon, L., 2011, Éléments d'une biografi de l'espace projectif, Nancy: Presses Universitaires de Nancy, Collection histories de geometries, 2.
  • Bolyai, J., 1832, "Appendix scientiam spatii absolute veram visar", i W. Bolyai och J. Bolyai, 1832, Tentamen juventutem studiosam i Elementa Matheosis purae, etc, Maros-Vásérhely, 2 vol. Engelsk översättning av GB Halsted, "The Science Absolute of Space", bilaga i Bonola 1912 och i JJ Gray, 2004, János Bolyai, Non-Euclidean Geometry and the Nature of Space, Burndy Library, MIT.
  • Bonola, R., 1906, La geometria non-Euclidea, Bologna: Zanichelli, engelsk översättning HS Carslaw, förord av F. Enriques, 1912, History of non-Euclidean geometry, Chicago: Open Court; återtryck, New York: Dover, 1955.
  • Bottazzini, U., 1999, "Ricci och Levi-Civita: från differentiella invarianter till allmän relativitet", i JJ Gray (red.) Det symboliska universum: geometri och fysik 1890–1930, Oxford: Oxford University Press.
  • Chasles, M., 1837, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie… suivi d'un Mémoire de géométrie, etc. tom. 11, Bruxelles.
  • Clairaut, AC, 1741, Elémens de géométrie, Paris: David Fils. Omtryckt 1920, Paris: Gauthier-Villars.
  • Cremona, L., 1873, Elementi di geometria projettiva, Turin. Engelsk översättning av C. Leudesdorf, 1885, Elements of projective geometry, Oxford: Clarendon Press.
  • Enriques, F., 1906, Problemi della Scienza. Engelsk översättning av K. Royce, 1914, Problems of Science, Chicago: Open Court.
  • Enriques, F., 1907, “Prinzipien der Geometrie”, Encylopädie der Mathematischen Wissenschaften, III. I.1,1–129, Leipzig, Teubner.
  • Euclid, The Thirteen Books of Euclid's Elements, översättning och kommentarer av Sir TL Heath, New York: Dover Publications, 1956.
  • Gauss, CF, 1828, "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Kommentarer om societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Återtryckt 1870, Carl Friedrich Gauss Werke, 4: 217–258; och i P. Dombrowski (red.), 1978, 150 år efter Gauss '' Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas ', latin original, med ett tryck av den engelska översättningen av A. Hiltebeitel och J. Morehead, 1902, Astérisque 62, Paris: Société mathématique de France; och i P. Pesic, (red.), 2005, Allmänna undersökningar av böjda ytor, New York: Dover Books.
  • Gauss, CF, 1900 Werke 8, Leipzig: Teubner.
  • Gray, JJ, 2008, Platons spöke: Den modernistiska omvandlingen av matematik, Princeton: Princeton University Press.
  • ––– 2011, Worlds out of Nothing; en kurs på historien om geometri i 19 : e århundradet, 2nd reviderade upplagan, London. Springer.
  • ––– 2012, Henri Poincaré: en vetenskaplig biografi, Princeton: Princeton University Press.
  • Griffin, N., 1991, Russells idealistlärling, Oxford: Clarendon Press.
  • Hallett, M. och U. Majer (eds), 2004, David Hilberts föreläsningar om geometriens grunder, 1891–1902, Berlin: Springer.
  • Helmholtz, H. von, 1868, "Über die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie", Nachrichten K. Ges. Wissenschaften zu Göttingen, 9. Engelsk översättning av MF Lowe, 1921, "Om fakta som ligger bakom geometri", Epistemological Writings, RS Cohen och Y. Elkana (eds), Boston Studies in the Philosophy of Science, Boston: Reidel, bind 37, 39-57.
  • ––– 1870, “Über den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome”, Vorträge und Reden, vol. 2, 1–31. Engelsk översättning "Om ursprunget och betydelsen av axiomas of geometry", i Epistemological Writings, s. 1–25.
  • –––, 1921, Schriften zur Erkenntnistheorie, Berlin: Springer, P. Hertz och M. Schlick (eds), 1977, översatt av MF Lowe som Epistemological Writings, RS Cohen och Y. Elkana (eds), Reidel.
  • Herbart, JF, 1824–1825, Psychologie als Wissenschaft neu gegründet auf Erfahrung, Metaphysik, und Mathematik, 2 vol, Königsberg: AW Unzer.
  • Hilbert, D., 1899, Grundlagen der Geometrie, Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauss-Weber-Denkmals i Göttingen, Leipzig: Teubner, många efterföljande utgåvor. Engelsk översättning av den 10: e upplagan av L. Unger, 1971, Foundations of geometry, Chicago: Open Court.
  • ––– 1901, “Über Flächen von konstanter Gaussscher Krümmung”, Transactions of the American Mathematical Society 2: 87–99. I Gesammelte Abhandlungen, 2: 437–448.
  • Hume, D., 1739–1740, A Treatise of Human Nature, London. Sökbar text på A Treatise of Human Nature av David Hume, tryckt från originalutgåvan i tre volymer och redigerad, med ett analytiskt index, av LA Selby-Bigge, MA (Oxford: Clarendon Press, 1896). [online sökbar Hume 1739]
  • Kant, I., 1781, 1787, Kritik der reinen Vernunft; översättare Norman Kemp Smith, 1929, Immanuel Kants kritik av ren förnuft, 2: a upplagan. rep. 1970, London: Macmillan.
  • Klein, CF, 1871, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie”, Mathematische Annalen, 4: 573–625. Även i Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr XVI): 254–305, Berlin: Springer.
  • –––, 1872, Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen, Programm zum Eintritt in the philosophische Facultät und den Senat der Universität zu Erlangen, Deichert, Erlangen, i Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr XXVII): 460–497. Engelsk översättning av MW Haskell, 1892–1893, Bulletin of the New York Mathematical Society 2: 215–249, Berlin, Springer.
  • ––– 1873, “Ueber die sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie. (Zweiter Aufsatz)”, Mathematische Annalen, 6: 112–145, i Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1, (nr XVIII): 311–343, Berlin: Springer.
  • Laplace, P.-S., 1796, "Exposition du système du monde," Paris: Crapelet, i Oeuvres VI, Paris, Gauthier-Villars, 1884
  • Legendre, A.-M., 1794, Éléments de géométrie, Paris: Fermin Didot Frères, flera upplagor.
  • Levi-Civita, T., 1917, “Nozione de parallelismo in una varietà qualunque”, Rendiconto del Circolo Matematico di Palermo, 42: 173–205.
  • Lobachevskii, NI, 1835, “Neue Anfangsgrunde der Geometrie mit einer vollständigen Theorie der parallellinien”, tysk översättning i Lobachetschefskij, NI 1899 Zwei geometrische Abhandlungen, tr. F. Engel, Leipzig, Teubner.
  • –––, 1840, Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, Berlin, rep. Mayer & Müller, 1887, engelska tr. GB Halsted, Geometric Researches in Theory of Parallels, Bilaga i (Bonola 1912).
  • ––– 1856, Pangéométrie, ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale des paralleles, Kasan. Engelsk översättning med kommentarer, Pangeometry, A. Papadopoulos (red.), European Mathematical Society, 2010.
  • Locke, J., 1690, En uppsats om mänsklig förståelse, London. [Locke 1690 tillgänglig online]
  • Marchisotto, E. och JT Smith, 2007, Arven från Mario Pieri i geometri och aritmetik, Boston: Birkhäuser.
  • Mueller, I., 1981, Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid's Elements, Cambridge: MIT Press.
  • Nabonnand, P., 2000, “La polémique entre Poincaré et Russell au sujet du statut des axiomes de la géométrie,” Revue d'histoire des mathématiques, 6: 219–269.
  • Newton, Sir I., 1687, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica. Engelsk översättning The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy, tr. IB Cohen, A. Whitman, J. Budenz, University of California Press, 1999.
  • de Pierris, G., 2012, "Hume on space, geometry and diagrammatic resende", Synthese, 186 (1): 169–189.
  • Poincaré, H., 1882e. Théorie des groupes fuchsiens. Acta Mathematica 1, 1–62 i Oeuvres 2, 108–168.
  • Poincaré, H., 1898, "På grundvalen av geometri" (översatt av TJ McCormack) Monist 9: 1–43. Omtryckt i Ewald, 1996, Från Kant till Hilbert: En källbok i matematikens grunder, Oxford: Oxford University Press, 2: 982–1012.
  • ––– 1899, “Des fondements de la géométrie: à propos d'un livre de M. Russell,” Revue de métaphysique et de morale 7: 251–279.
  • –––, 1902, “Les fondements de la géométrie”, Journal des savants, 252–271. Engelsk översättning av EV Huntington, 1903, “Poincarés recension av Hilberts 'geometri-fundamentering”, Bulletin of the American Mathematical Society, 10 (1): 1–23. [Poincaré 1902 (engelska) tillgängligt online]
  • Poncelet, JV, 1822, Traité des Propriétées Projectives des Figures, Paris: Gauthier-Villars.
  • Riemann, GBF, 1867 [1854], “Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen,” Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 13: 1–20. Republiserades i Gesammelte Mathematische Werke, Wissenschaftliche Nachlass und Nachträge. Samlade artiklar: Nach der Ausgabe von Heinrich Weber och Richard Dedekind, 1990, R. Narasimhan, (red.) Berlin: Springer, s. 304–319. Bernhard Riemann, Collected Papers, översatt av Roger Baker, Charles Christenson och Henry Orde, Kendrick Press, 2005.
  • Russell, B., 1899, "Sur Les Axiomes de la Géométrie", Revue de méetaphysique et de morale, 684–706, översatt och omtryckt som "On the Axioms of Geometry", i N. Griffin och AC Lewis, (eds), 1990, The Collected Papers of Bertrand Russell, 2, London: Hyman Unwin, 394–415.
  • Scholz, E., 1982, "Herbartts inflytande på Bernhard Riemann," Historia Mathematica, 9 (4): 413–440.
  • ––– 2001, “Weyls Infinitesimalgeometrie”, i Hermann Weyls Raum – Zeit – Materie och en allmän introduktion till hans vetenskapliga arbete, E. Scholz (red.) Basel, Birkhäuser.
  • Schweikart, FK, 1818, "Notiz", i Carl Friedrich Gauss Werke, 8: 180–181.
  • von Staudt, GKC, 1847, Geometrie der Lage, Nürnberg.
  • –––, 1856–1860, Beiträge zur Geometrie der Lage, 3 vol, Nürnberg.
  • Villaggio, P., 2006, "På Enriques grundval av mekanik", i K. Williams (red.) Två kulturer: Uppsatser till ära för David Speiser, Birkhäuser, 133–138.
  • Wallis, J., 1693, “De postulato quinto et definitione lib. 6 Euclidis deceptatio geometrica”, i Operum Mathematicorum, 2: 665–678.
  • Weyl, H., 1918, Raum – Zeit – Materie, Springer. Engelsk översättning av den tredje upplagan (1920) Space-time-matter, London: Methuen.

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

  • Dynamisk version av Euclid's Elements, av DE Joyce, Clark University
  • Engelsk översättning av Gauss (1828), på Internetarkivet.

Rekommenderas: