Intuitionism I Filosofin För Matematik

Innehållsförteckning:

Intuitionism I Filosofin För Matematik
Intuitionism I Filosofin För Matematik

Video: Intuitionism I Filosofin För Matematik

Video: Intuitionism I Filosofin För Matematik
Video: #137. МАТЕМАТИКА против ИНТУИЦИИ. Оптимальный маршрут 2024, Mars
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Intuitionism i filosofin för matematik

Först publicerad tors 4 september 2008; substantiell revidering Tis 11 juni 2019

Intuitionism är en matematikfilosofi som introducerades av den holländska matematikern LEJ Brouwer (1881–1966). Intuitionism bygger på idén att matematik är en skapelse av sinnet. Sanningen i ett matematiskt uttalande kan bara tänkas genom en mental konstruktion som bevisar att den är sant, och kommunikationen mellan matematiker fungerar bara som ett sätt att skapa samma mentala process i olika sinnen.

Denna syn på matematik har långtgående konsekvenser för den dagliga praktiken av matematik, en av dess konsekvenser är att principen för det uteslutna mitten, ((A / vee / neg A)) inte längre är giltigt. Det finns faktiskt förslag, som Riemann-hypotesen, för vilka det för närvarande varken finns ett bevis på uttalandet eller dess förnekande. Eftersom att känna till att ett uttalande i intuitionism förnekas innebär att man kan bevisa att uttalandet inte är sant, innebär detta att både (A) och (neg A) inte håller intuitionistiskt, åtminstone inte i detta ögonblick. Intuitionismens beroende av tid är väsentligt: uttalanden kan bli bevisbara under tiden och kan därför bli intuitionistiskt giltiga medan de inte varit tidigare.

Förutom avvisningen av principen om det uteslutna mitten, avviker intuitionismen starkt från klassisk matematik i uppfattningen av kontinuum, som i den tidigare inställningen har den egenskapen att alla totala funktioner på den är kontinuerliga. Till skillnad från flera andra teorier om konstruktiv matematik är således inte intuitionism en begränsning av klassisk resonemang; det motsäger klassisk matematik på ett grundläggande sätt.

Brouwer ägnade en stor del av sitt liv åt matematikutvecklingen på denna nya grund. Även om intuitionism aldrig har ersatt klassisk matematik som standardbilden på matematik, har den alltid väckt stor uppmärksamhet och studeras fortfarande i dag.

I det här inlägget koncentrerar vi oss på aspekterna av intuitionism som skiljer den från andra grenar av konstruktiv matematik, och den del som den delar med andra former av konstruktivism, såsom grundläggande teorier och modeller, diskuteras bara kort.

  • 1. Brouwer
  • 2. Intuitionism

    • 2.1 De två handlingarna av intuitionism
    • 2.2 Det skapande ämnet
  • 3. Matematik

    • 3.1 BHK-tolkningen
    • 3.2 Intuitionistisk logik
    • 3.3 De naturliga siffrorna
    • 3.4 Kontinuum
    • 3.5 Kontinuitetsaxiomer
    • 3.6 Stämningen
    • 3.7 Val av axiom
    • 3.8 Beskrivande uppsättningsteori, topologi och toposteori
  • 4. Konstruktivism
  • 5. Meta-matematik

    • 5.1 Aritmetik
    • 5.2 Analys
    • 5.3 Laglösa sekvenser
    • 5.4 Formalisering av det skapande ämnet
    • 5.5 Fundament och modeller
    • 5.6 Omvänd matematik
  • 6. Filosofi

    • 6.1 Fenomenologi
    • 6.2 Wittgenstein
    • 6.3 Dummett
    • 6.4 Finism
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Brouwer

Luitzen Egbertus Jan Brouwer föddes i Overschie, Nederländerna. Han studerade matematik och fysik vid universitetet i Amsterdam, där han fick sin doktorsexamen 1907. 1909 blev han föreläsare vid samma universitet, där han utnämndes till professor 1912, en tjänst som han innehade fram till sin pension 1951. Brouwer var en lysande matematiker som gjorde banbrytande arbete inom topologi och blev berömd redan i ung ålder. Hela livet var han ett oberoende sinne som förföljde de saker han trodde på med brådskande kraft, vilket förde honom i konflikt med många kollegor, särskilt med David Hilbert. Han hade också beundrare, och i sitt hus "kojan" i Blaricum välkomnade han många välkända matematiker från sin tid. Till slutet av sitt liv blev han mer isolerad, men hans tro på sanningen i hans filosofi vaklade aldrig. Han dog i en bilolycka 85 år i Blaricum, sju år efter sin fru Lize Brouwer död.

I en ålder av 24 skrev Brouwer boken Life, Art and Mysticism (Brouwer 1905), vars solipsistiska innehåll fördjupar hans matematikfilosofi. I hans avhandling formuleras grunden för intuitionism för första gången, även om den ännu inte är under det namnet och inte i deras slutliga form. Under de första åren efter avhandlingen ägnades det mesta av Brouwer's vetenskapliga liv till topologi, ett område där han fortfarande är känd för sin dimensionsteori och sin fasta punktsteorem. Detta arbete är en del av klassisk matematik; enligt Brouwer's senare uppfattning har hans fasta punktstelse inte, även om ett analogt skådespel i form av tillnärmningar kan bevisas innehålla enligt hans principer.

Från 1913 ägnade Brouwer sig alltmer åt utvecklingen av de idéer som formulerades i sin avhandling till en fullständig matematikfilosofi. Han förfinade inte bara intuitionismens filosofi utan omarbetade också matematiken, särskilt teorin om kontinuum och teorin om uppsättningar, enligt dessa principer. Då var Brouwer en berömd matematiker som höll inflytelserika föreläsningar om intuitionism vid den tidens vetenskapliga mekka, Cambridge, Wien och Göttingen bland dem. Hans filosofi ansågs besvärlig av många, men behandlades som ett allvarligt alternativ till klassisk resonemang av några av de mest berömda matematikerna i hans tid, även när de hade en annan syn på saken. Kurt Gödel, som var en platonist hela sitt liv, var en av dem. Hermann Weyl skrev vid en tidpunkt”Så har jag också jetzt meinen egenen Versuch Preis und schließe mich Brouwer an” (Weyl 1921, 56). Och även om han sällan praktiserade intuitionistisk matematik senare i livet, slutade Weyl aldrig att beundra Brouwer och hans intuitionistiska matematikfilosofi.

Brouwer liv var belastat med konflikter, den mest berömda var konflikten med David Hilbert, som så småningom ledde till Brouwer utvisning från styrelsen för Mathematische Annalen. Denna konflikt var en del av Grundlagenstreit som skakade det matematiska samhället i början av 1900-talet och som framkom som ett resultat av uppkomsten av paradoxer och mycket icke-konstruktiva bevis i matematik. Filosofer och matematiker tvingades erkänna bristen på en epistemologisk och ontologisk grund för matematik. Brouwer's intuitionism är en filosofi för matematik som syftar till att ge en sådan grund.

2. Intuitionism

2.1 De två handlingarna av intuitionism

Enligt Brouwer är matematik en språklös skapelse av sinnet. Tid är den enda a priori uppfattningen, i kantiansk mening. Brouwer skiljer två handlingar av intuitionism:

Den första akten av intuitionism är:

Att helt separera matematiken från matematiska språket och därmed från de fenomen som språket beskrivs med teoretisk logik, och erkänner att intuitionistisk matematik är en väsentligen språklig aktivitet i sinnet som har sitt ursprung i uppfattningen av en rörelse av tid. Denna uppfattning av en tidsrörelse kan beskrivas som att ett livsmoment går sönder i två distinkta saker, varav den ena ger plats för den andra, men behålls av minnet. Om den således födda tvisten avyttras av all kvalitet, passerar den in i den tomma formen av det gemensamma underlaget för alla tvåheter. Och det är detta vanliga underlag, denna tomma form, som är den grundläggande intuitionen i matematiken. (Brouwer 1981, 4–5)

Som kommer att diskuteras i avsnittet om matematik ger den första akten av intuitionism upphov till de naturliga siffrorna men innebär en allvarlig begränsning av principerna för resonemang som är tillåtna, särskilt avvisande av principen för det uteslutna mitten. På grund av avvisningen av denna princip och försvinnandet av den logiska grunden för kontinuumet, kan man, enligt Brouwer: s ord, "frukta att intuitionistisk matematik nödvändigtvis måste vara dålig och anemisk, och i synnerhet inte skulle ha någon plats att analysera" (Brouwer 1952, 142). Den andra akten fastställer emellertid förekomsten av kontinuum, ett kontinuum med egenskaper som inte delas av dess klassiska motsvarighet. Återställningen av kontinuumet beror på begreppet valsekvens som anges i den andra lagen, dvs på förekomsten av oändliga sekvenser genererade av fritt val,som därför inte är fast i förväg.

Den andra akten av intuitionism är:

Tillåta två sätt att skapa nya matematiska enheter: för det första i form av mer eller mindre fritt framsteg oändliga sekvenser av matematiska enheter som tidigare förvärvats …; för det andra i form av matematiska arter, det vill säga egenskaper som antas för matematiska enheter som tidigare förvärvats, vilket uppfyller villkoret att om de håller för en viss matematisk enhet, de också innehar för alla matematiska enheter som har definierats vara "lika" till det … (Brouwer 1981, 8)

De två handlingarna av intuitionism utgör grunden för Brouwer's filosofi; från dessa två handlingar skapar bara Brouwer området för intuitionistisk matematik, vilket kommer att förklaras nedan. Redan från dessa grundläggande principer kan man dra slutsatsen att intuitionen skiljer sig från platonismen och formalismen, eftersom den inte heller antar en matematisk verklighet utanför oss och inte heller anser att matematik är ett spel med symboler enligt vissa fasta regler. Enligt Brouwer anser att språket används för att utbyta matematiska idéer, men existensen av det senare är oberoende av det förra. Skillnaden mellan intuitionism och andra konstruktiva åsikter om matematik enligt vilka matematiska föremål och argument bör vara beräkningsbara ligger i den frihet som den andra handlingen tillåter vid konstruktionen av oändliga sekvenser. Verkligen,vilket kommer att förklaras nedan, motsätter sig de matematiska implikationerna av den andra akten av intuitionism klassisk matematik, och därför inte i de flesta konstruktiva teorier, eftersom dessa i allmänhet är en del av klassisk matematik.

Således skiljer Brouwer sin intuitionism från andra matematikfilosofier; det bygger på medvetenheten om tid och övertygelsen om att matematik är en skapelse av det fria sinnet, och det är därför varken platonism eller formalism. Det är en form av konstruktivism, men bara i vidare mening, eftersom många konstruktivister inte accepterar alla de principer som Brouwer trodde var sanna.

2.2 Det skapande ämnet

De två intuitionismens handlingar utesluter i sig inte en psykologisk tolkning av matematiken. Även om Brouwer endast ibland behandlade denna punkt, framgår det av hans skrifter att han ansåg intuitionism vara oberoende av psykologi. Brouwer introduktion av det skapande ämnet (Brouwer 1948) som ett idealiserat sinne där matematik äger rum abstraherar redan bort från oavsiktliga aspekter av mänskligt resonemang såsom begränsningar av rum och tid och möjligheten till felaktiga argument. Således upphör intersubjektivitetsproblemet, som ber om en förklaring av det faktum att människor kan kommunicera, att existera, eftersom det bara finns ett skapande ämne. I litteraturen används också namnet Creative Subject för att skapa Subject, men här används Brouwer's terminologi. I (Niekus 2010),det hävdas att Brouwer's Creating Subject inte involverar en idealiserad matematiker. För en fenomenologisk analys av det skapande ämnet som ett transcendentalt subjekt i betydelsen av Husserl se (van Atten 2007).

Brouwer använde argument som involverar skapandeämnet för att konstruera motexempel på vissa intuitionistiskt oacceptabla uttalanden. Där de svaga motexemplen, som kommer att diskuteras nedan, endast visar att vissa uttalanden för närvarande inte kan accepteras intuitionistiskt, bevisar tanken på det idealiserade sinnet att vissa klassiska principer är falska. Ett exempel ges i avsnitt 5.4 om formalisering av begreppet skapande ämne. Där förklaras också att följande princip, känd som Kripkes schema, kan argumenteras i termer av det skapande ämnet:

(tag {({ bf KS})} existerar / alpha (A / leftrightarrow / existerar n \, / alpha (n) = 1).)

I KS sträcker (A) sig över formler och (alfa) över valssekvenser, som är sekvenser med naturliga nummer som produceras av det skapande ämnet, som väljer sina element en efter en. Valsekvenser och Kripkes schema diskuteras vidare i avsnitt 3.4.

I de flesta filosofier av matematik, till exempel inom platonismen, är matematiska uttalanden oändliga. I intuitionism har sanning och förfalskning en temporär aspekt; ett etablerat faktum kommer att förbli så, men ett uttalande som bevisas vid en viss tidpunkt saknar ett sanningsvärde före den punkten. I nämnda formalisering av idén om att skapa ämne, som inte formulerades av Brouwer utan först senare av andra, är den temporära aspekten av intuitionism påtagligt närvarande.

Viktigt eftersom argumenten som använder begreppet Skapa ämne kan vara för den ytterligare förståelsen av intuitionism som en matematikfilosofi, har dess roll i utvecklingen av fältet varit mindre inflytelserik än de två intuitionismens handlingar, som direkt leder till matematiska sanningar Brouwer och de som kom efter honom var villiga att acceptera.

3. Matematik

Även om Brouwer's utveckling av intuitionism spelade en viktig roll i grundläggande debatt bland matematiker i början av 1900-talet, blev de långtgående implikationerna av hans filosofi för matematik först uppenbara efter många års forskning. De två mest karakteristiska egenskaperna för intuitionism är de logiska principerna för resonemang som det tillåter i bevis och den fulla uppfattningen av det intuitionistiska kontinuumet. Endast vad gäller det sistnämnda blir intuitionism jämförbar med klassisk matematik. I det här inlägget är fokus på intuitionismens principer som skiljer den från andra matematiska discipliner, och därför kommer dess andra konstruktiva aspekter att behandlas i mindre detalj.

3.1 BHK-tolkningen

Att veta att ett uttalande A är sant innebär i intuitionism att ha ett bevis på det. 1934 introducerade Arend Heyting, som varit student i Brouwer, en form av vad som senare blev känt som Brouwer-Heyting-Kolmogorov-tolkningen, som fångar innebörden av de logiska symbolerna i intuitionism, och i konstruktivism i allmänhet också. Den definierar på ett informellt sätt vad ett intuitionistiskt bevis bör bestå av genom att ange hur anslutningarna och kvantifierarna ska tolkas.

  • (bot) kan inte visas.
  • Ett bevis på (A / kil B) består av ett bevis på (A) och ett bevis på (B).
  • Ett bevis på (A / vee B) består av ett bevis på (A) eller ett bevis på (B).
  • Ett bevis på (A / högermark B) är en konstruktion som omvandlar alla bevis på (A) till ett bevis på (B).
  • Ett bevis på (existerar x A (x)) ges genom att presentera ett element (d) i domänen och ett bevis på (A (d)).
  • Ett bevis på (forall x A (x)) är en konstruktion som omvandlar varje bevis på att (d) tillhör domänen till ett bevis på (A (d)).

Negationen (neg A) av en formel (A) bevisas när det har visats att det inte kan existera ett bevis på (A), vilket innebär att tillhandahålla en konstruktion som härstammar falsum från eventuella bevis på (A). Således är (neg A) ekvivalent med (A / högermark / bot). BHK-tolkningen är inte en formell definition eftersom begreppet konstruktion inte är definierat och därför är öppet för olika tolkningar. Ändå tvingas man redan på denna informella nivå avvisa en av de logiska principerna som alltid finns i klassisk logik: principen för den uteslutna mitten ((A / vee / neg A)). Enligt BHK-tolkningen gäller detta uttalande intuitionistiskt om det skapande ämnet känner till ett bevis på (A) eller ett bevis på att (A) inte kan bevisas. I det fall att varken för (A) eller för dess förnekande är ett bevis känt,uttalandet ((A / vee / neg A)) gäller inte. Förekomsten av öppna problem, såsom Goldbach-antagandet eller Riemann-hypotesen, illustrerar detta faktum. Men när ett bevis på (A) eller ett bevis på dess förnekande har hittats, förändras situationen, och för denna (A) är principen ((A / vee / neg A)) sant från det ögonblick på.

3.2 Intuitionistisk logik

Brouwer avvisade principen om den uteslutna mitten på grundval av sin filosofi, men Arend Heyting var den första som formulerade en omfattande logik av principer som är acceptabla ur en intuitionistisk synvinkel. Intuitionistisk logik, som också är logiken för de flesta andra former av konstruktivism, benämns ofta "klassisk logik utan principen om det uteslutna mitten". Det betecknas av IQC, som står för Intuitionistic Quantifier Logic, men andra namn förekommer också i litteraturen. En möjlig axiomatisering i Hilbert-stil består av principerna

(A / kil B / höger pil A) (A / kil B / högermark B) (A / högermark A / vee B) (B / högermark A / vee B)
(A / höger pil (B / höger pil A)) (för alla x A (x) höger höger A (t)) (A (t) högermark / finns x A (x)) (bot / högermark A)
((A / höger pil (B / höger pil C)) höger pil ((A / höger pil B) höger pil (A / höger pil C)))
(A / höger pil (B / höger pil A / kil B))
((A / höger pil C) höger pil ((B / höger pil C) höger pil (A / vee B / höger pil C)))
(förall x (B / höger pil A (x)) höger pil (B / höger pil / för alla x A (x))) (för alla x (A (x) höger pil B) höger pil (finns x A (x) höger pil B))

med de vanliga sidoförhållandena för de två sista axiomerna, och regeln Modus Ponens,

(text {från (A) och ((A / högermark B)) sluta (B)},)

som den enda slutsatsen. Intuitionistisk logik har varit ett föremål för utredning sedan Heyting formulerade den. Redan på den propositionsnivå har den många egenskaper som skiljer den från klassisk logik, såsom tillhörande egenskap:

(tag {({ bf DP})} { bf IQC} vdash A / vee B / text {implicerar} { bf IQC} vdash A / text {eller} { bf IQC} vdash B.)

Denna princip bryts helt klart i klassisk logik, eftersom klassisk logik bevisar ((A / vee / neg A)) också för formler som är oberoende av logiken, dvs för vilka både (A) och (neg A)) är inte en tautologi. Införandet av principen Ex Falso Sequitur Quodlibet, ((rakt till höger A)) i intuitionistisk logik är en diskussionspunkt för dem som studerar Brouwers kommentarer om ämnet; i van Atten 2008 hävdas att principen inte är giltig i Intuitionism och att de logiska principer som är giltiga enligt Brouwer's åsikter är de som har relevanslogik. Se van Dalen 2004 för mer information om Brouwer och Ex Falso Sequitur Quodlibet.

Även om all logik som används i intuitionistisk resonemang hittills finns i IQC, är det i princip tänkbart att det vid någon tidpunkt kommer att finnas en princip som är acceptabel ur den intuitionistiska synvinkel som inte täcks av denna logik. För de flesta former av konstruktivism är den allmänt accepterade uppfattningen att detta aldrig kommer att vara fallet, och därför betraktas IQC som konstruktivismens logik. För intuitionism är situationen mindre tydlig eftersom det inte kan uteslutas att vår intuitionistiska förståelse vid någon tidpunkt kan leda oss till nya logiska principer som vi inte förstod tidigare.

En av orsakerna till den utbredda användningen av intuitionistisk logik är att den är väl uppförd både ur bevisteoretiken som modellteoretisk synvinkel. Det finns mycket många bevissystem för det, såsom Gentzen calculi och naturliga avdragssystem, såväl som olika former av semantik, såsom Kripke-modeller, Beth-modeller, Heyting algebror, topologisk semantik och kategoriska modeller. Flera av dessa semantik är emellertid endast klassiska medel för att studera intuitionistisk logik, för det kan visas att ett intuitionistiskt fullständighetsbevis med avseende på dem inte kan existera (Kreisel 1962). Det har emellertid visats att det finns alternativa men lite mindre naturliga modeller med avseende på vilken fullständighet håller konstruktivt (Veldman 1976). Den konstruktiva karaktären hos den intuitionistiska logiken blir särskilt tydlig i Curry-Howard-isomorfismen som skapar en korrespondens mellan härledningar i logiken och termer i helt enkelt typad (lambda) - kalkyl, det vill säga mellan bevis och beräkningar. Korrespondensen bevarar strukturen i att minskning av villkor motsvarar normalisering av bevis.

3.3 De naturliga siffrorna

Förekomsten av de naturliga siffrorna ges av den första handen av intuitionism, det vill säga genom uppfattningen av tidens rörelse och att ett livsmoment föll ihop i två distinkta saker: vad som var, 1 och vad som är tillsammans med vad som var, 2 och därifrån till 3, 4, … I motsats till klassisk matematik, anses all oändlighet i intuitionism vara potentiell oändlighet. Särskilt är detta fallet för det naturliga talets oändlighet. Därför måste uttalanden som kvantifieras över denna uppsättning behandlas med försiktighet. Å andra sidan är induktionsprincipen helt acceptabel ur en intuitionistisk synvinkel.

På grund av det naturliga talets ändlighet i motsats till till exempel ett riktigt antal, är många aritmetiska uttalanden av en ändlig natur som är sanna i klassisk matematik också i intuitionism. Till exempel, i intuitionism har alla naturliga siffror en huvudfaktorisering; det finns beräkningsbara antalet uppsättningar som inte är beräkningsbara; ((A / vee / neg A)) gäller för alla kvantifieringsfria uttalanden (A). För mer komplexa uttalanden, som van der Waerdens teorem eller Kruskals teorem, är intuitionistisk giltighet inte så enkel. I själva verket är de intuitionistiska bevisen för båda uttalandena komplexa och avviker från de klassiska bevisen (Coquand 1995, Veldman 2004).

Således har intuitionism och klassisk matematik mycket gemensamt i samband med de naturliga siffrorna. Det är först när andra oändliga uppsättningar som de verkliga siffrorna anses att intuitionism börjar skilja sig mer dramatiskt från klassisk matematik och från de flesta andra former av konstruktivism också.

3.4 Kontinuum

I intuitionism är kontinuumet både en förlängning och en begränsning av dess klassiska motsvarighet. I sin fulla form är båda föreställningarna ojämförliga eftersom de intuitionistiska verkliga siffrorna har egenskaper som de klassiska verkliga siffrorna inte har. Ett känt exempel, som kommer att diskuteras nedan, är teoremet att i intuitionism är varje total funktion på kontinuumet kontinuerlig. Att det intuitionistiska kontinuumet inte tillfredsställer vissa klassiska egenskaper kan lätt ses via svaga motexempel. Att den också innehåller egenskaper som de klassiska realerna inte har, härrör från existens, i intuitionism, av valsekvenser.

Svaga motexempel

De svaga motexemplen, som introducerades av Brouwer 1908, är de första exemplen som Brouwer brukade för att visa att övergången från en klassisk till en intuitionistisk uppfattning av matematik inte är utan konsekvens för de matematiska sanningar som kan fastställas enligt dessa filosofier. De visar att vissa klassiska uttalanden för närvarande är oacceptabla ur en intuitionistisk synvinkel. Som ett exempel, överväga sekvensen för verkliga siffror som ges enligt följande definition:

[r_n = / börja {fall} 2 ^ {- n} text {if} för alla m / leq n A (m) / 2 ^ {- m} text {if} neg A (m) kil m / leq n / kil / för alla k / lt m A (k). / slut {fall})

Här (A (n)) är en avgörbar egenskap som (forall n A (n)) inte är känd för att vara sant eller falskt. Avgörbarhet innebär att för närvarande för varje given (n) finns det (kan konstrueras) ett bevis på (A (n)) eller (neg A (n)). Vid tidpunkten för detta skrivande kan vi till exempel låta (A (n)) uttrycka att (n), om större än 2, är summan av tre primor; (forall n A (n)) uttrycker sedan den (ursprungliga) Goldbach-antagandet att varje nummer som är större än 2 är summan av tre primor. Sekvensen (langle r_n / rangle) definierar ett verkligt tal (r) för vilket uttalandet (r = 0) är ekvivalent med påståendet (för alla n A (n)). Av detta följer att uttalandet ((r = 0 / vee r / neq 0)) inte rymmer, och att trikotomilagen (forall x (x / lt y / vee x = y / vee x / gt y)) är inte sant på det intuitionistiska kontinuummet.

Observera att den subtila skillnaden mellan "(A) inte är intuitionistiskt sant" och "(A) är intuitionistiskt vederläggbar": i det första fallet vet vi att (A) inte kan ha ett intuitionistiskt bevis, det andra uttalet uttrycker att vi har ett bevis på ¬ A, det vill säga en konstruktion som härstammar falsum från eventuella bevis på (A). För trikotomilagen har vi just visat att det inte är intuitionistiskt sant. Nedan kommer det att visas att även den andra starkare formen som säger att lagen kan vederläggas har intuitionistiskt. Detta är emellertid inte sant för alla uttalanden för vilka det finns svaga motexempel. Till exempel är Goldbach-antagandet ett svagt motexempel på principen för den uteslutna mitten, eftersom (för alla n A (n)) som ovan för närvarande inte är känt för att vara sant eller falskt,och därmed kan vi inte hävda (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n)) intuitionistiskt, åtminstone inte i detta ögonblick. Men motbevisningen av detta uttalande, (neg (forall n A (n) vee / neg / forall n A (n))), är inte sant i intuitionen, eftersom man kan visa att det för något uttalande (B) en motsägelse kan härledas från antagandet att (neg B) och (neg / neg B) håller (och därmed också från (B) och (neg B)). Med andra ord är (neg / neg (B / vee / neg B)) intuitionistiskt sant, och därmed, även om det finns svaga motexempel på principen om den uteslutna mitten, är dess negation falsk i intuitionism, det vill säga det är intuitionistiskt förkastligt.som man kan visa att för varje uttalande (B) kan en motsägelse härledas från antagandet att (neg B) och (neg / neg B) håller (och därmed också från (B)) och (neg B)). Med andra ord är (neg / neg (B / vee / neg B)) intuitionistiskt sant, och därmed, även om det finns svaga motexempel på principen om den uteslutna mitten, är dess negation falsk i intuitionism, det vill säga det är intuitionistiskt förkastligt.som man kan visa att för varje uttalande (B) kan en motsägelse härledas från antagandet att (neg B) och (neg / neg B) håller (och därmed också från (B)) och (neg B)). Med andra ord är (neg / neg (B / vee / neg B)) intuitionistiskt sant, och därmed, även om det finns svaga motexempel på principen om den uteslutna mitten, är dess negation falsk i intuitionism, det vill säga det är intuitionistiskt förkastligt.

Förekomsten av verkliga siffror (r) för vilka intuitionisten inte kan avgöra om de är positiva eller inte visar att vissa klassiskt totala funktioner upphör att vara så i en intuitionistisk miljö, såsom den styckvisa konstantfunktionen

[f (r) = / börja {case} 0 / text {if} r / geq 0 \\ 1 / text {if} r / lt 0. / end {cases})

Det finns svaga motexempel på många klassiskt giltiga uttalanden. Konstruktionen av dessa svaga motexempel följer ofta samma mönster som exemplet ovan. Exempelvis kör argumentet som visar att mellanvärdessatsen inte är intuitionistiskt giltigt enligt följande. Låt (r) vara ett verkligt tal i [−1,1] för vilket ((r / leq 0 / vee 0 / lt r)) inte har beslutats, som i exemplet ovan. Definiera den enhetligt kontinuerliga funktionen (f) på ([0,3]) med

[f (x) = / text {min} (x-1,0) + / text {max} (0, x-2) + r.)

Klart, (f (0) = -1 + r) och (f (3) = 1 + r), varifrån (f) tar värdet 0 vid någon punkt (x) i [0, 3]. Om sådant (x) kan bestämmas, antingen (1 / leq x) eller (x / leq 2). Eftersom (f) är lika med (r) på ([1,2]), i det första fallet (r / leq 0) och i det andra fallet (0 / leq r), motsägande oklarheten för uttalandet ((r / leq 0 / vee 0 / leq r)).

Dessa exempel tycks indikera att man vid förskjutningen från klassisk till intuitionistisk matematik förlorar flera grundläggande teorem för analys. Detta är emellertid inte så, eftersom intuitionismen i många fall återfår sådana teorem i form av en analog där existentiella uttalanden ersätts av uttalanden om förekomsten av tillnärmningar inom godtycklig precision, som i denna klassiskt ekvivalenta form av det mellanliggande värdet teorem konstruktivt giltigt:

Satsning. För varje kontinuerlig reellt värderad funktion (f) på ett intervall ([a, b]) med (a / lt b), för varje (c) mellan (f (a)) och (f (b)), gäller följande:

(för alla n / existerar x / i [a, b], | f (x) -c | / lt 2 ^ {- n}.)

Svaga motexempel är ett sätt att visa att vissa matematiska uttalanden inte har intuitionistiskt, men de avslöjar ännu inte det intuitionistiska kontinuumets rikedom. Först efter Brouwers introduktion av utvalda sekvenser fick intuitionismen sin speciella smak och blev jämförbar med klassisk matematik.

Val av sekvenser

Valsekvenser introducerades av Brouwer för att fånga intuitionen av kontinuum. Eftersom för intuitionisten all oändlighet är potential, kan oändliga objekt bara greppas via en process som genererar dem steg för steg. Vad som tillåts som en legitim konstruktion bestämmer därför vilka oändliga objekt som ska accepteras. I de flesta andra former av konstruktivism är till exempel bara beräkningsbara regler för att generera sådana föremål tillåtna, medan infiniteter i platonism anses vara fullbordade totaliteter vars existens accepteras även i fall där inga genererande regler är kända.

Brouwer's andra akt av intuitionism ger upphov till val av sekvenser, som ger vissa oändliga uppsättningar egenskaper som är oacceptabla ur klassisk synvinkel. En valsekvens är en oändlig sekvens av siffror (eller ändliga objekt) skapade av den fria viljan. Sekvensen kan bestämmas av en lag eller algoritm, såsom den sekvens som endast består av nollor, eller av primtalen i ökande ordning, i vilket fall vi talar om en lagliknande sekvens, eller den kan inte vara föremål för någon lag, i vilket fall det kallas laglöst. Laglösa sekvenser kan till exempel skapas genom upprepade kast av ett mynt, eller genom att be Skapandeämne välja de på varandra följande numren i sekvensen en efter en, så att den kan välja valfritt nummer till sin smak. Således är en laglös sekvens någonsin oavslutad,och den enda tillgängliga informationen om det i vilket skede som helst är det initiala segmentet av den sekvens som hittills skapats. Det är uppenbart att vi av naturens laglöshet aldrig kan avgöra om dess värden kommer att sammanfalla med en sekvens som är laglig. Dessutom kan den fria viljan skapa sekvenser som börjar som laglig, men för vilken lagen vid en viss tidpunkt kan lyfta och processen med fritt val tar över för att generera de efterföljande siffrorna, eller vice versa.men för vilken lagen vid en viss tidpunkt kan tas upp och processen med fritt val tar över för att generera de efterföljande siffrorna, eller tvärtom.men för vilken lagen vid en viss tidpunkt kan tas upp och processen med fritt val tar över för att generera de efterföljande siffrorna, eller tvärtom.

Enligt Brouwer representeras varje reellt antal av en valsekvens, och valsekvenserna gjorde det möjligt för honom att fånga det intuitionistiska kontinuumet via kontroversiella kontinuitetsaxiomer. Brouwer talade först om valssekvenser i sin invigningsadress (Brouwer 1912), men vid den tiden behandlade han ännu inte dem som en grundläggande del av sin matematik. Gradvis blev de viktigare och från 1918 började Brouwer använda dem på ett sätt som förklarades i nästa avsnitt.

3.5 Kontinuitetsaxiomer

Godkännandet av begreppet valssekvens har långtgående konsekvenser. För intuitionisten rättfärdigar det användningen av kontinuitetsaxiomer, från vilka klassiskt ogiltiga uttalanden kan härledas. Den svagaste av dessa axiomer är den svaga kontinuitetsaxiom:

(tag {({ bf WC / mbox {-} N})} forall / alpha / existerar n A (alpha, n) högermark / forall / alpha / exist m / exist n / forall / beta / i / alfa (overline {m}) A (beta, n).)

Här (n) och (m) sträcker sig sig över naturliga siffror, (alpha) och (beta) över valda sekvenser och (beta / in / alpha (overline {m})) betyder att de första (m) elementen i (alpha) och (beta) är lika. Även om det hittills aldrig har givits en helt tillfredsställande motivering av de flesta kontinuitetsaxiomer för godtyckliga valssekvenser, inte ens av Brouwer, när de begränsas till klassen av laglösa sekvenser som argumenterar för giltigheten av den svaga kontinuitetsaxiomkörningen enligt följande. När kunde ett uttalande av formen (forall / alpha / existerar n A (alpha, n)) av intuitionisten? I själva verket av uppfattningen om laglös sekvens måste valet av antalet (n) som (A (alpha, n)) gäller endast göras efter ett ändligt initialt segment av (alpha) är känd. För vi vet inte hur (alpha) kommer att fortsätta i tid,och vi måste därför basera valet av (n) på det initiala segmentet av (alpha) som är känt vid den tidpunkten där vi vill fixa (n). Detta innebär att för alla laglösa sekvenser (beta) med samma initiala segment som (alpha), gäller även (A (beta, n)).

Den svaga kontinuitetsaxiomen har visat sig vara konsekvent och används ofta i en form som kan motiveras, nämligen i det fall där predikatet (A) bara hänvisar till värdena på (alpha), och inte till de högre ordningens egenskaper som den eventuellt har. Detaljen om argumentet kommer att utelämnas här, men det innehåller samma ingredienser som motiveringen av principen för laglösa sekvenser, och kan hittas i van Atten och van Dalen 2002.

Svag kontinuitet uttömmer inte intuitionistenes intuition om kontinuummet, för med tanke på den svaga kontinuitetsaxiom verkar det rimligt att anta att valet av talet (m) så att (forall / beta / i / alpha (överlinje {m}) A (beta, n)), kan göras uttryckligt. Således (forall / alpha / existerar n A (alpha, n)) innebär att det finns en kontinuerlig funktionell (Phi) som för varje (alpha) producerar (m) som fixar längden på (alpha) på grundval av vilken (n) väljs. Mer formellt, låt (mathcal {CF}) vara klassen av kontinuerliga funktionaliteter (Phi) som tilldelar naturliga siffror till oändliga sekvenser, dvs.

(forall / alpha / existerar m / forall / beta / i / alpha (overline {m}) Phi (alpha) = / Phi (beta).)

Kontinuitetens fulla axiom, som är en förlängning av det svaga kontinuitetsaxiomet, kan sedan uttryckas som:

(tag {({ bf C / mbox {-} N})} forall / alpha / existerar n A (alpha, n) högermark / existerar / Phi / in / matematisk {CF}, / forall / alpha A (alpha, / Phi (alpha)).)

Genom kontinuitetsaxiom kan vissa svaga motexempel omvandlas till äkta motbevisningar av klassiskt accepterade principer. Till exempel innebär det att den kvantifierade versionen av principen för den uteslutna mitten är falsk:

(neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0).)

Här (alpha (n)) betecknar (n) - det elementet i (alpha). För att se att dessa negationer innehåller, antar och argumenterar med motsägelse, att (neg / forall / alpha (forall n / alpha (n) = 0 / vee / neg / forall n / alpha (n) = 0)) innehar. Detta betyder att

(forall / alpha / existerar k ((forall n / alpha (n) = 0 / kil k = 0) vee (neg / forall n / alpha (n) = 0 / kil k = 1)).)

Genom den svaga kontinuitetsaxiom, för (alpha) som endast består av nollor finns det ett nummer (m) som fixar valet av (k), vilket betyder att för alla (beta / i / alpha) (överskrida {m})), (k = 0). Men förekomsten av sekvenser vars första (m) element är 0 och som innehåller en 1 visar att detta inte kan vara.

Detta exempel som visar att principen om den uteslutna mitten inte bara inte rymmer utan är i själva verket falsk i intuitionism, leder till att man avkännar många grundläggande egenskaper hos kontinuumet. Tänk till exempel på det verkliga talet (r_ / alpha) som är gränsen för sekvensen som består av siffrorna (r_n) som anges i avsnittet om svaga motexempel, där (A (m)) i definitionen anses vara uttalandet (alpha (m) = 0). Då innebär omdiskutationen ovan att (neg / forall / alpha (r_ / alpha = 0 / vee r_ / alpha / neq 0)), och den därmed motbevisar trikotomilagen:

(för alla x (x / lt y / vee x = y / vee y / lt x).)

Följande teorem är ett annat exempel på det sätt på vilket kontinuitetsaxiom motsäger vissa klassiska principer.

Sats ({ bf (C / mbox {-} N)}) Varje total verklig funktion är kontinuerlig.

Faktiskt, ett klassiskt motexempel på detta teorem, den ingenstans kontinuerliga funktionen [f (x) = / börja {fall} 0 / text {om (x) är ett rationellt nummer} / 1 / text {om (x) är ett irrationellt nummer} end {cases}) är inte en legitim funktion ur intuitionistisk synvinkel eftersom egenskapen att vara rationell inte är avgörande för de verkliga siffrorna. Satsen ovan antyder att kontinuumet inte kan sönderdelas, och i van Dalen 1997 visas att detta till och med gäller för uppsättningen irrationella tal.

De två exemplen ovan är karakteristiska för det sätt på vilket kontinuitetsaxiomerna tillämpas i intuitionistisk matematik. De är de enda axiomerna i intuitionism som motsäger klassisk resonemang och därmed representerar den mest färgstarka såväl som den mest kontroversiella delen av Brouwer's filosofi.

Grannskapsfunktioner

Det finns en bekväm representation av kontinuerliga funktionaliteter som har använts i stor utsträckning i litteraturen, men inte av Brouwer själv. Kontinuerliga funktioner som tilldelar nummer till oändliga sekvenser kan representeras av grannskapsfunktioner, där en grannskapsfunktion (f) är en funktion på de naturliga siffrorna som uppfyller följande två egenskaper ((cdot) betecknar sammanlänkning och (f (alpha (overline {n}))) anger värdet på (f) på koden för den slutliga sekvensen (alpha (overline {n}))).

(alpha / existerar nf (alpha (overline {n})) gt 0 / \ / \ / allall n / forall m (f (n) gt 0 / högermark f (n / cdot m) = f (n)).)

Intuitivt, om (f) representerar (Phi) då (f (alpha (overline {n})) = 0) betyder att (alpha (overline {n})) är inte tillräckligt länge för att beräkna (Phi (alpha)) och (f (alpha (overline {n})) = m + 1) betyder att (alpha (overline {n})) är tillräckligt länge för att beräkna (Phi (alpha)) och att värdet på (Phi (alpha)) är (m). Om (mathcal {K}) anger klassen för grannskapsfunktioner, kan kontinuitetsaxiom ({ bf C / mbox {-} N}) omformuleras som (forall / alpha / existerar n A (alpha, n) högermark / existerar f / i / matematisk {K}, / forall m (f (m) gt 0 / högermark / forall / beta / i m A (beta, f (m-1)))),)

där (beta / i m) betyder att koden för det initiala segmentet för (beta) är (m).

3.6 Stämningen

Brouwer introducerade valsekvenser och kontinuitetsaxiomer för att fånga det intuitionistiska kontinuumet, men dessa principer ensamma räcker inte för att återhämta den del av traditionell analys som Brouwer ansåg intuitionistiskt ljud, som teorem att varje kontinuerlig verklig funktion på ett stängt intervall är enhetligt kontinuerligt. Av denna anledning bevisade Brouwer den så kallade barstämningen. Det är ett klassiskt giltigt uttalande, men beviset som Brouwer gav anses av många vara inget bevis alls eftersom det använder ett antagande om formen av bevis som inget strikt argument framförs för. Detta är anledningen till att stångsatsen också kallas stångprincipen.

Den mest berömda konsekvensen av ståndsatsen är fanteoremet, som räcker för att bevisa nämnda teorem om enhetlig kontinuitet, och som kommer att behandlas först. Både fläkten och ståndsatsen låter intuitionisten använda induktion längs vissa välgrundade uppsättningar av objekt som kallas spridningar. En spridning är den intuitionistiska analogen till en uppsättning och fångar idén om oändliga objekt som någonsin växer och aldrig är färdiga. En spridning är väsentligen ett otroligt grenande träd märkt med naturliga nummer eller andra ändliga föremål och innehåller endast oändliga stigar.

En fläkt är en finförgrenad spridning, och fläktprincipen uttrycker en form av kompakthet som klassiskt motsvarar Königs lemma, vars klassiska bevis är oacceptabelt ur den intuitionistiska synvinkel. Principen säger att för varje fläkt (T) där varje gren vid någon tidpunkt tillfredsställer en egenskap (A) finns det en enhetlig gräns på det djup som denna egenskap uppfylls. En sådan egenskap kallas en bar för (T).

(tag {({ bf FAN})} forall / alpha / in T / existerar n A (alpha (overline {n})) högermark / existerar m / forall / alpha / i T / finns n / leq m A (alpha (overline {n})).)

Här (alpha / i T) betyder att (alpha) är en gren av (T). Principen FAN räcker för att bevisa ovan nämnda teorem:

Sats (FAN) Varje kontinuerlig verklig funktion på ett stängt intervall är enhetligt kontinuerligt.

Brouwer's motivering för fanteoremet är hans barprincip för den universella spridningen:

(tag {({ bf BI})} start {align} & (forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) vee / neg A (alpha (overline {n})) big) kil / forall / alpha / existerar n A (alpha (overline {n})) / kil & / quad / forall / alpha / forall n / big (A (alpha (overline {n})) högermark B (alpha (overline {n})) big) / kil & / quad / forall / alpha / forall n / big (för alla mB (alpha (overline {n}) cdot m) höger pil B (alpha (overline {n})) big)] högerrow B (varepsilon). / end {align})

Här (varepsilon) står för den tomma sekvensen, (cdot) för sammankoppling, BI för Bar Induction, och subkriptet D hänvisar till avgörbarheten för predikatet (A). Stångprincipen ger intuitionism en induktionsprincip för träd; det uttrycker en välgrundad princip för spridningar med avseende på avgörbara egenskaper. Förlängningar av denna princip där avgörbarhetskravet försvagas kan utvinnas från Brouwer's arbete men kommer att utelämnas här. Kontinuitet och stapelprincipen fångas ibland i en axiom som kallas stavkontinuitetens axiom.

Det finns en nära koppling mellan stapelprincipen och de grannskapsfunktioner som nämns i avsnittet om kontinuitetsaxiomer. Låt (mathcal {IK}) vara den induktivt definierade klassen av grannskapsfunktioner, bestående av alla konstanta icke-nollsekvenser (lambda m.n + 1), och så att om (f (0) = 0) och (lambda mf (x / cdot m) i / matematik {IK}) för alla (x), sedan (f / i / matematik {IK}). Uttalandet (mathcal {K} = / mathcal {IK}), det vill säga, ett uttalande som kan genereras grannskapet funktioner induktivt, är ekvivalent med BI D.

Brouwer's bevis på stämningen är anmärkningsvärd i och med att den använder välordnade egenskaper hos hypotetiska bevis. Det bygger på antagandet att alla bevis på att en egenskap A på sekvenser är en stapel kan sönderdelas till ett kanoniskt bevis som är välordnat. Även om det är klassiskt giltigt, visar Brouwer sitt bevis på principen att skälet för att acceptera det som en giltig princip i intuitionism skiljer sig grundläggande från argumentet som stöder dess acceptans i klassisk matematik.

3.7 Val av axiom

Valet av axiom i sin fulla form är oacceptabelt ur en konstruktiv synvinkel, åtminstone i närvaro av vissa andra centrala axiomer i uppsättningsteorin, till exempel extensivitet (Diaconescu 1975). För låt (A) vara ett uttalande som inte är känt för att vara sant eller falskt. Då kan medlemskap i följande två uppsättningar inte beslutas.

(börja {anpassa} X & = {x / in {0,1 } mitten x = 0 / vee (x = 1 / kil A) } / Y & = {y / in {0,1 } mid y = 1 / vee (y = 0 / kil A) } end {align})

Förekomsten av en valfunktion (f: {X, Y } högermark {0,1 }) att välja ett element från (X) och (Y) skulle innebära ((A / vee / neg A)). För om (f (X) neq f (Y)) följer det att (X / neq Y) och därmed (neg A), medan (f (X) = f (Y))) antyder (A). Därför kan en valfunktion för ({X, Y }) inte existera.

Det finns emellertid vissa begränsningar av axiom som är acceptabla för intuitionisten, till exempel axiom med räknat val, som också accepteras som en legitim princip av semi-intuitionisterna som ska diskuteras nedan:

(tag {({ bf AC / mbox {-} N})} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / existerar n \, mRn / högerpil / existerar / alfa / i / mathbb {N} ^ / mathbb {N} för alla m \, mR / alpha (m) stor).)

Detta system kan vara motiverat enligt följande. Ett bevis på förutsättningen bör tillhandahålla en metod som ger (m) ger ett nummer (n) så att (mRn). Således kan funktionen (alpha) på de naturliga siffrorna (mathbb {N}) konstrueras steg för steg: först väljs ett element (m_0) så att (0Rm_0), som kommer att vara värdet på (alpha (0)). Sedan väljs ett element (m_1) så att (1Rm_1), som kommer att vara värdet på (alpha (1)), och så vidare.

Flera andra axiomer kan motiveras på liknande sätt. Endast en till kommer att nämnas här, axiom av beroende val:

(tag {({ bf DC / mbox {-} N})} start {align} forall R / subseteq / mathbb {N} times / mathbb {N} big (forall m / finns n \, mRn / högermark & / forall k / existerar / alfa / i / mathbb {N} ^ / mathbb {N} big (alpha (0) = k / \ kil \& / forall i / geq 0 \, / alpha (i) R / alpha (i + 1) big) big). / End {align})

Även i klassisk matematik behandlas val Axioms med omsorg, och det nämns ofta uttryckligen hur mycket val som behövs i ett bevis. Eftersom axiomet för beroende val överensstämmer med en viktig axiom i klassisk uppsättningsteori (bestämningens axiom) medan det fulla valet av axiom inte är, ägnas särskild uppmärksamhet åt detta axiom och i allmänhet försöker man minska valmängden i ett bevis, om val alls är närvarande, för beroende val.

3.8 Beskrivande uppsättningsteori, topologi och toposteori

Brouwer var inte ensam i sina tvivel om vissa klassiska resonemang. Detta är särskilt synligt i den beskrivande uppsättningsteorin, som framkom som en reaktion på de mycket icke-konstruktiva uppfattningarna som förekommer i kantorisk uppsättningsteori. Fälten till fältet, inklusive Émile Borel och Henri Lebesgue som två av huvudfigurerna, kallades semi-intuitionister, och deras konstruktiva behandling av kontinuum ledde till definitionen av Borel-hierarkin. Ur deras synvinkel är en uppfattning som uppsättningen av alla uppsättningar av verkliga siffror meningslös och måste därför ersättas med en hierarki av underuppsättningar som har en tydlig beskrivning.

I Veldman 1999 formuleras en intuitionistisk ekvivalent med begreppet Borelsats, och det visas att klassiskt ekvivalenta definitioner av Borelsatserna ger upphov till en mängd olika intuitionistiskt distinkta klasser, en situation som ofta förekommer i intuitionism. För den intuitionistiska Borel sätter en analog till Borel Hierarki Teorem är intuitionistiskt giltig. Beviset på detta faktum använder väsentlig användning av kontinuitetsaxiomerna som diskuterats ovan och visar därmed hur klassisk matematik kan vägleda sökandet efter intuitionistiska analoger som dock måste bevisas på ett helt annat sätt, ibland med principer som är oacceptabla från en klassisk synvinkel se.

En annan metod för att studera delmängder av kontinuumet, eller av ett topologiskt rum i allmänhet, har dykt upp genom utvecklingen av formell eller abstrakt topologi (Fourman 1982, Martin-Löf 1970, Sambin 1987). I denna konstruktiva topologi vänds öppna uppsättningar och poängs roll; i klassisk topologi definieras en öppen uppsättning som en viss uppsättning punkter, i det konstruktiva fallet är öppna uppsättningar den grundläggande uppfattningen och punkter definieras i termer av dem. Därför benämns denna metod ibland punktfri topologi.

Intuitionistisk funktionell analys har utvecklats långt och brett av många efter Brouwer, men eftersom de flesta tillvägagångssätt inte är strikt intuitionistiska utan också konstruktiva i vidare bemärkelse kommer denna forskning inte att behandlas längre här.

4. Konstruktivism

Intuitionism delar en kärndel med de flesta andra former av konstruktivism. Konstruktivism i allmänhet handlar om konstruktiva matematiska föremål och resonemang. Från konstruktiva bevis kan man åtminstone i princip extrahera algoritmer som beräknar elementen och simulerar de konstruktioner vars existens fastställs i beviset. De flesta former av konstruktivism är förenliga med klassisk matematik, eftersom de i allmänhet är baserade på en strängare tolkning av kvantifierare och anslutningar och konstruktioner som är tillåtna, medan inga ytterligare antaganden görs. Logiken som accepteras av nästan alla konstruktiva samhällen är densamma, nämligen intuitionistisk logik.

Många existentiella teorem i klassisk matematik har en konstruktiv analog där det existentiella uttalandet ersätts av ett uttalande om approximationer. Vi såg ett exempel på detta, mellanvärdessatsen, i avsnittet om svaga motexempel ovan. Stora delar av matematiken kan återvinnas konstruktivt på liknande sätt. Anledningen till att inte behandla dem längre här är att fokusen i det här inlägget är på de aspekter av intuitionism som skiljer den från andra konstruktiva grenar i matematiken. För en grundlig behandling av konstruktivism hänvisas läsaren till motsvarande post i detta encyklopedi.

5. Meta-matematik

Även om Brouwer utvecklade sin matematik på ett exakt och grundläggande sätt utfördes formalisering i den meningen som vi känner den idag senare av andra. Enligt Brouwer's uppfattning att matematiken utvecklar sig internt är formalisering, även om den inte är oacceptabel, onödig. Andra efter honom trodde annars, och formaliseringen av intuitionistisk matematik och studien av dess metematiska egenskaper, särskilt aritmetik och analys, har lockat många forskare. Formaliseringen av den intuitionistiska logiken som alla formaliseringar bygger på har redan behandlats ovan.

5.1 Aritmetik

Heyting Arithmetic HA såsom formulerat av Arend Heyting är en formalisering av den intuitionistiska teorin om de naturliga siffrorna (Heyting 1956). Den har samma icke-logiska axiomer som Peano Arithmetic PA men den är baserad på intuitionistisk logik. Således är det en begränsning av klassisk aritmetik, och det är den accepterade teorin om de naturliga siffrorna i nästan alla områden av konstruktiv matematik. Heyting Arithmetic har många egenskaper som återspeglar dess konstruktiva karaktär, till exempel Disjunction-egenskapen som också gäller för intuitionistisk logik. En annan egenskap hos HA som PA inte delar är den numeriska existensegenskapen: ((overline {n}) är siffran som motsvarar det naturliga numret (n))

(tag {({ bf NEP})} { bf HA} vdash / existerar x A (x) högermark / existerar n / i { mathbb N}, { bf HA} vdash A (overline {n}).)

Att den här egenskapen inte finns i PA följer av det faktum att PA bevisar (existerar x (A (x) vee / för alla y / neg A (y))). Tänk till exempel på att (A (x)) är formeln (T (e, e, x)), där (T) är det avgörbara Kleene-predikatet som uttrycker det (x) är koden för en avslutande beräkning av programmet med kod (e) på ingång (e). Om för varje (e) skulle det finnas ett nummer (n) så att ({ bf PA} vdash T (e, e, n) vee / forall y / neg T (e, e, y)), sedan genom att kontrollera om (T (e, e, n)) rymmer skulle det avgöras om ett program (e) avslutas på input (e). Detta är emellertid i allmänhet obeslutbart.

Markovs regel är en princip som håller både klassiskt och intuitionistiskt, men endast för HA är beviset på detta faktum icke-trivialt:

(tag {({ bf MR})} { bf HA} vdash / forall x (A (x) vee / neg A (x)) kil / neg / neg / existerar x A (x) Höger höger { bf HA} vdash / existerar x A (x).)

Eftersom HA bevisar lagen för det uteslutna mitten för varje primitivt rekursivt predikat följer det att för sådan (A) härledbarheten av (neg / neg / existerar x A (x)) i HA innebär derivabiliteten av (finns x A (x)) också. Av detta följer att PA är (Pi ^ 0_2) - konservativ över HA. Det vill säga för primitiv rekursiv (A): [{ bf PA} vdash / forall x / existerar y A (x, y) Höger höger { bf HA} vdash / forall x / existerar y A (x, y).) Således sammanfaller klassen av provbart rekursiva funktioner av HA med klassen av provably rekursiva funktioner hos PA, en egenskap som, på grundval av de idéer som ligger till grund för konstruktivism och intuitionism, kanske inte kommer att överraska.

5.2 Analys

Formaliseringen av intuitionistisk matematik täcker mer än aritmetik. Stora delar av analysen har axiomatiserats ur en konstruktiv synvinkel (Kleene 1965, Troelstra 1973). Konstruktiviteten för dessa system kan fastställas med hjälp av funktionella, typteoretiska eller realiserbarhetstolkningar, de flesta av dem baserade på eller förlängningar av Gödels Dialectica-tolkning (Gödel 1958, Kreisel 1959), Kleene realiserbarhet (Kleene 1965) eller typteorier (Martin- Löf 1984). I dessa tolkningar görs funktionerna som ligger bakom konstruktiva uttalanden, som till exempel funktionen som tilldelar en (y) till varje (x) i (för alla x / existerar y A (x, y)), uttryckliga på olika sätt.

I (Scott 1968 och 1970) presenteras en topologisk modell för den andra ordningens intuitionistiska teori om analys där realerna tolkas som kontinuerliga funktioner från Baire-rymden till de klassiska realerna. I denna modell har Kripkes schema såväl som vissa kontinuitetsaxiomer. I (Moschovakis 1973) anpassas denna metod för att konstruera en modell för teorier om intuitionistisk analys i termer av val av sekvenser. Även i denna modell har Kripkes schema och vissa kontinuitetsaxiomer. I (Van Dalen 1978) används Beth-modeller för att tillhandahålla en modell av aritmetiska och valssekvenser som tillfredsställer valscheman, instanser av svag kontinuitet och Kripkes schema. I denna modell är domänerna vid varje nod de naturliga siffrorna, så att man inte behöver använda icke-standardiserade modeller, som för Kripke-modeller. Dessutom axiomerna CS1–3 för det skapande ämnet kan tolkas i det, vilket visar att denna teori är konsekvent.

5.3 Laglösa sekvenser

Det finns axiomatiseringar av de laglösa sekvenserna, och de innehåller alla förlängningar av kontinuitetsaxiomerna (Kreisel 1968, Troelstra 1977). I synnerhet i form av Axiom of Open Data som anger att för (A (alpha)) som inte innehåller andra olagliga parametrar förutom (alpha):

[A (alpha) högermark / existerar n / forall / beta / in / alpha (overline {n}) A (beta).)

I (Troelstra 1977) utvecklas (och motiveras) en teori om laglösa sekvenser i samband med intuitionistisk analys. Förutom axiomer för elementär analys innehåller den, för laglösa sekvenser, förstärkta former av axiomerna för öppen data, kontinuitet, avgörbarhet och densitet (densitet säger att varje ändlig sekvens är det initiala segmentet i en laglös sekvens). Det som är särskilt intressant är att i dessa teorier kan kvantifierare över laglösa sekvenser elimineras, ett resultat som också kan ses som en modell av lagliknande sekvenser för sådana teorier. Andra klassiska modeller av teorin om laglösa sekvenser har konstruerats i kategoriteori i form av skaftmodeller (van der Hoeven och Moerdijk 1984). I (Moschovakis 1986) introduceras en teori för val av sekvenser i förhållande till en viss uppsättning lagliknande element,tillsammans med en klassisk modell där de laglösa sekvenserna visar sig vara exakt de generiska.

5.4 Formalisering av det skapande ämnet

Skapandeämnet, introducerat i avsnitt 2.2, kan generera valsekvenser, som är några av de viktigaste och komplicerade matematiska enheterna i Brouwer's Intuitionism. Flera filosofer och matematiker har försökt utveckla teorin om det skapande ämnet vidare matematiskt och filosofiskt.

I formaliseringen av begreppet skapandeämne formaliseras dess temporära aspekt med notationen (Box_n A), som anger att skapandeämnet har ett bevis på A vid tidpunkten n (i vissa andra formuleringar: upplever sanningen om (A) vid tidpunkten (n)). Georg Kreisel (1967) introducerade följande tre axiomer för det skapande ämnet, som tillsammans är betecknade av CS:

(börja {align} tag {({ bf CS1})} & / Box_n A / vee / neg / Box_n A \& / mbox {(vid tiden (n), det kan bestämmas huruvida Skapa ämne} & / mbox {har ett bevis på A)} / \ tag {({ bf CS2})} & / Box_m A / högermark / Box_ {m + n} A \& / mbox {(det skapande ämnet glömmer aldrig vad det har bevisat)} / \ tag {({ bf CS3})} & (existerar n / Box_n A / högermark A) kil (A / högermark / neg / neg / existerar n / Box_n A) & / mbox {(det skapande ämnet bevisar bara vad som är sant och inget} & / mbox {sant uttalande kan vara omöjligt att bevisa för} & / mbox {Skapa Ämne)} / \ end {align})

I versionen av Anne Troelstra (1969) stärks den sista axiom till

(börja {align} tag {({ bf CS3} ^ +)} & / existerar n / Ruta_n A / leftrightarrow A \& / mbox {(Skapande ämne bevisar bara vad som är sant och vad} & / mbox {är sant kommer att bevisas av det skapande ämnet på vissa} & / mbox {punkt)} end {align})

Den första axiom CS1 är kontroversiell: när som helst kan det fastställas om det skapande ämnet har ett bevis på ett givet uttalande eller inte. Den andra axiom CS2 använder tydligt det faktum att det skapande ämnet är en idealisering eftersom den uttrycker att bevis alltid kommer att komma ihåg. Den sista axiom CS3 är den mest omtvistade delen av formaliseringen av det skapande ämnet, eller ännu bättre, dess andra konjunkt ((A / högermark / neg / neg / existerar n / Box_n A)) är, som fick namnet Axiom of Christian Charity av Kreisel. Göran Sundholm (2014) hävdar till exempel att Axiom of Christian Charity inte är acceptabelt ur en konstruktiv synvinkel. Och Gödels ofullständighetsteorem antyder till och med att principen är falsk när (Box_n A) skulle tolkas som bevisbart i ett tillräckligt starkt bevissystem, vilket dock verkligen inte är den tolkning som Brouwer hade i åtanke.

Med tanke på ett uttalande (A) som inte innehåller någon hänvisning till tid, dvs ingen förekomst av (Box_n), kan man definiera en valsekvens enligt följande regel (Brouwer 1953):

(alpha (n) = / vänster { börja {array} {ll} 0 & / mbox {if (neg / Box_n A)} / 1 & / mbox {if (Box_n A). } end {array} höger.)

Från detta följer principen känd som Kripkes Schema KS, introducerad i avsnitt 2.2, en princip som till skillnad från axiomerna i teorin om det skapande ämnet, inte innehåller någon uttrycklig hänvisning till tid: (exist / alpha (A / leftrightarrow / exist n / alpha (n) = 1)).

Med hjälp av Kripkes schema kan de svaga motexempelargumenten uttryckas formellt utan någon hänvisning till det skapande ämnet. Följande exempel är hämtat från (van Atten 2018). Låt A vara ett uttalande för vilket det för närvarande inte är känt (neg A / vee / neg / neg A). Med KS får man valsekvenser (alpha_1) och (alpha_2) så att

(neg A / leftrightarrow / existerar n / alpha_1 (n) = 1 / \ / \ / neg / neg A / leftrightarrow / exist n / alpha_2 (n) = 1.)

Associera till dessa två sekvenser de verkliga siffrorna (r_0) och (r_1), där för (i = 0,1):

[r_i (n) = / börja {fall} 0 & / text {om (alpha_i (n) neq 1)} (-1) ^ i2 ^ {- m} & / start {align} & / text {if för vissa (m / leq n), (alpha_i (m) = 1) och} & / text {för ingen (k / lt m), (alpha_i (k) = 1.)} end {align} end {cases})

Sedan för (r = r_0 + r_1) antyds uttalande (neg A / vee / neg / neg A) av ((r / gt 0 / vee r / lt 0)), vilket visar att ((r / gt 0 / vee r / lt 0)) kan inte bevisas.

I (van Dalen 1978) konstrueras en modell av axiomerna för det skapande ämnet i samband med aritmetiska och valbara sekvenser, vilket visar att de överensstämmer med intuitionistiska aritmetik och vissa delar av analysen. I (van Dalen 1982) har CS visat sig vara konservativt över Heyting Arithmetic. Matematiska konsekvenser av Kripkes schema finns i (van Dalen 1997), där det visas att KS och kontinuitetsaxiomerna avvisar Markovs princip, medan KS tillsammans med Markovs princip innebär principen om den uteslutna mitten.

Kripke har visat att KS antyder förekomsten av icke-rekursiva funktioner, ett resultat som inte publicerats av honom utan av Kreisel (1970). Detta innebär helt klart att teorin CS också innebär att det finns en icke-rekursiv funktion. Ett möjligt argument för CS körs enligt följande. Antag att (X) är en icke-datoriserbar men beräkningsbar mängd och definiera funktionen (f) enligt följande:

[f (m, n) = / börja {fall} 0 & / text {om inte (Box_m (n / not / in X))} / 1 & / text {if (Box_m (n / inte / i X)).} slut {fall})

Därefter följer att (n / not / i X) om och bara om (f (m, n) = 1) för något naturligt tal (m), vilket innebär att (f) inte kan vara beräkningsbar. För i så fall är komplementet till (X) beräkningsbart att räkna, vilket innebär (X) beräknbarhet. Eftersom (f) är en funktion ur den intuitionistiska synvinkel konstaterar detta att i Intuitionism inte alla funktioner är beräkningsbara.

5.5 Stiftelser

Formaliseringar som är avsedda att tjäna som en grund för konstruktiv matematik är antingen av en setteoretik (Aczel 1978, Myhill 1975) eller typteoretik (Martin-Löf 1984). De tidigare teorierna är anpassningar av Zermelo-Fraenkel-uppsättningsteorin till en konstruktiv miljö, medan konstruktionerna implicerade i konstruktiva uttalanden uttrycks i systemet i typteori. Uppsättningsteori kan ses som en extensional grund av matematik medan typteori i allmänhet är en intensiv teori.

Under senare år har många modeller av delar av sådana grundläggande teorier för intuitionistisk matematik dykt upp, några av dem har nämnts ovan. Särskilt inom topos-teorin (van Oosten 2008) finns det många modeller som fångar vissa egenskaper hos intuitionism. Det finns till exempel topoi där alla totala verkliga funktioner är kontinuerliga. Funktionella tolkningar som realiserbarhet samt tolkningar i typteori kan också ses som modeller för intuitionistisk matematik och de flesta andra konstruktiva teorier.

5.6 Omvänd matematik

I omvänd matematik försöker man för matematiska teorier fastställa vilka axiomer som behövs för att bevisa dem. I intuitionistisk omvänd matematik har man ett liknande syfte, men då med avseende på intuitionistiska teorem: att arbeta över en svag intuitionistisk teori, jämförs axiomer och teorier med varandra. De typiska axiomerna som man önskar teorem att jämföra är fan-principen och bar-principen, Kripkes schema och kontinuitetsaxiomer.

I (Veldman 2011) studeras ekvivalenter av fanprincipen över en grundteori som kallas Basic Intuitionistic Mathematics. Det visas att fläktprincipen motsvarar påståendet att enhetsintervallet [0,1] har egenskapen Heine-Borel, och härifrån härleds många andra ekvivalenter. I (Veldman 2009) visas fläktprincipen likvärdigt med Brouwer's Approximate Fixed-Point Theorem. I (Lubarsky et al. 2012) tillämpas omvänd matematik på en form av Kripkes schema, som visar sig motsvara vissa topologiska uttalanden.

Det finns många fler sådana exempel från intuitionistisk omvänd matematik. Speciellt inom det större fältet av konstruktiv omvänd matematik finns det många resultat av denna natur som också är relevanta ur den intuitionistiska synvinkel.

6. Filosofi

Brouwer byggde sin intuitionism från grunden och kommenterade inte mycket om förhållandet mellan intuitionism och andra befintliga filosofier, men andra efter honom gjorde det. Vissa av dessa förbindelser diskuteras i detta avsnitt, särskilt hur intuitionistiska principer kan motiveras i termer av andra filosofier.

6.1 Fenomenologi

Sambandet mellan intuitionism och fenomenologi, den filosofi som utvecklats av Edmund Husserl, har undersökts av flera författare under Brouwer's livstid samt decennier senare. Hermann Weyl var bland de första som diskuterade förhållandet mellan Brouwer's idéer och den fenomenologiska synen på matematik. Liksom Brouwer talar Weyl i sin bok Das Kontinuum (kapitel 2) om det intuitiva kontinuumet, men Weyls uppfattning bygger på fenomenologin i (medvetandet om) tid. Weyl anser senare att Brouwer's utveckling av verklig analys är mer trogen på idén om det intuitiva kontinuumet än hans egen (Weyl 1921) och därför placerar sig på Brouwer's sida, åtminstone när det gäller denna aspekt (van Atten 2002).

Van Atten (2003 och 2007) använder fenomenologi för att motivera val av sekvenser som matematiska objekt. Författaren (2002) är kritisk när det gäller Brouwer rättfärdiga val av sekvenser, vilket är motivet att leta efter en filosofisk motivering någon annanstans. Valsekvenser förekommer i verk av Becker (1927) och Weyl, men de skiljer sig från Brouwer's uppfattning, och Husserl diskuterade aldrig valsekvenser offentligt. Van Atten förklarar hur kontogenens homogenitet står för dess outtömlighet och nonatomicitet, två viktiga egenskaper för det intuitiva kontinuummet enligt Brouwer. Med det faktum att dessa två väsentliga egenskaper finns i definitionen av valsekvenser, kommer man till en fenomenologisk motivering av dem.

6.2 Wittgenstein

Den 10 mars 1928 förelade Brouwer i Wien om sina intuitionistiska grunder för matematik. Ludwig Wittgenstein deltog i föreläsningen, övertalad av Herbert Feigl, som sedan skrev om de timmar han tillbringade med Wittgenstein och andra efter föreläsningen: en stor händelse ägde rum. Plötsligt och väldigt ömtåligt började Wittgenstein prata filosofi - i stor längd. Kanske var detta vändpunkten, för den tiden 1929, då han flyttade till Cambridge University, var Wittgenstein filosof igen och började utöva ett enormt inflytande.

Andra bestrider att Brouwer's föreläsning påverkade Wittgensteins tänkande (Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003). Hur långt, om inte alls, Wittgenstein påverkades av Brouwer: s idéer är inte helt klart, men det finns verkligen intressanta överenskommelser och meningsskiljaktigheter mellan deras åsikter. Marion (2003) hävdar att Wittgensteins uppfattning av matematik som beskrivs i Tractatus är mycket nära Brouwer och att Wittgenstein instämmer i avvisningen av lagen om uteslutet mitt (manuskriptet från 1929, s. 155–156 i Wittgenstein 1994) men håller inte med om med Brouwer's argument mot det. Marion (2003) hävdar att Wittgensteins ståndpunkt är mer radikal än Brouwer i att den förstnämnda anser att bristen på giltighet av lagen om uteslutet mitt i matematik är ett kännetecken för alla matematiska förslag (i motsats till empiriska förslag) och inte bara en det oändliga matematiken, som det är för Brouwer.

Veldman (kommande) diskuterar flera punkter av (dis) överenskommelse mellan Brouwer och Wittgenstein, såsom faran för logik, som enligt båda kan leda till konstruktioner utan matematiskt innehåll. En av de oenigheter som uppkommer i uppsatsen rör Wittgensteins åsikt att matematik är ett vanligt företag, vilket står i skarp kontrast till Brouwer's Creating Subject och hans åsikt att matematik är en språklös aktivitet.

6.3 Dummett

Den brittiska filosofen Michael Dummett (1975) utvecklade en filosofisk grund för intuitionism, särskilt för intuitionistisk logik. Dummett säger uttryckligen att hans teori inte är en exeges av Brouwer's arbete, utan en möjlig filosofisk teori för (med hans ord) förkastar klassisk resonemang i matematik till förmån för intuitionistisk resonemang.

Dummetts strategi börjar med tanken att valet för en logik framför en annan nödvändigtvis måste ligga i den mening man fäster vid logiska uttalanden. I den meningsteori som Dummett använder, som är baserad på Wittgensteins idéer om språk och i synnerhet på hans idé om att mening är användning, bestäms betydelsen av en mening av det sätt som meningen används. Betydelsen av ett matematiskt uttalande manifesterar sig i användningen av det, och förståelsen av det är kunskapen om förmågan att använda uttalandet. Denna åsikt stöds av det sätt på vilket vi förvärvar matematisk kunskap. När vi lär oss en matematisk uppfattning lär vi oss att använda den: hur man beräknar den, bevisar den eller drar slutsatsen från den. Och det enda sättet att konstatera att vi har förstått betydelsen av ett matematiskt uttalande ligger i vår kunskap om att använda uttalandet på rätt sätt.

Med tanke på denna åsikt om mening är den centrala uppfattningen i teorin om betydelse för matematik inte, som i platonismen, sanning, utan bevis; förståelsen av ett matematiskt uttalande består i förmågan att känna igen ett bevis på det när man presenteras för ett. Detta leder, som Dummett hävdar, till antagandet av intuitionistisk logik som logiken för matematisk resonemang.

Intressant, som Dummett (1975) påpekar sig själv, är hans meningsteori långt ifrån Brouwer's idéer om matematik som en väsentligen språklös aktivitet. Så att det finns åtminstone två helt olika tankegångar som leder till antagandet av intuitionistisk logik över klassisk logik, den som utvecklats av Brouwer och den som påstås av Dummett. Dummetts arbete om intuitionism har kommenterats av olika filosofer som Dag Prawitz (1977), Parsons (1986) och Richard Tieszen (1994 och 2000).

6.4 Finism

Olika former av finism är baserade på en liknande uppfattning som den som uttrycks av Dummett, men där konstruktionerna som får bevisa matematiska uttalanden krävs inte bara i princip utan också i praktiken. Beroende på det exakta genomförandet av det senare begreppet kommer man till olika former av Finitism, till exempel Ultra-Intuitionism utvecklad av Alexander Yessenin-Volpin (1970) och Strict Finitism utvecklad av Crispin Wright (1982).

Bibliografi

  • Aczel, P., 1978, 'Typteoretisk tolkning av konstruktiv uppsättningsteori', i A. Macintyre, L. Pacholski, J. Paris (red.), Logic Colloquium '77, specialutgåva av Studies in Logic and the Foundations av matematik, 96: 55–66.
  • van Atten, M., 2004, On Brouwer, Belmont: Wadsworth / Thomson Learning.
  • –––, 2007, träffar Brouwer Husserl: On the phenomenology of choice sequences, Dordrecht: Springer.
  • ––– 2008,”Om den hypotetiska bedömningen i den intuitionistiska logikens historia”, i C. Glymour och W. Wang och D. Westerståhl (red.), Proceedings of the International Congress 2007 in Beijing (Logic, Methodology, and Science Philosophy of Science: Volume XIII), London: King's College Publications, 122–136.
  • van Atten, M. och D. van Dalen, 2002, 'Argument för kontinuitetsprincipen', Bulletin of Symbolic Logic, 8 (3): 329–374.
  • Beth, EW, 1956, 'Semantisk konstruktion av intuitionistisk logik,' Mededeelingen der Koninklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde (Nieuwe Serie), 19 (11): 357–388.
  • Brouwer, LEJ, 1975, Samlade verk I, A. Heyting (red.), Amsterdam: Nord-Holland.
  • ––– 1976, Samlade verk II, H. Freudenthal (red.), Amsterdam: Nord-Holland.
  • –––, 1905, Leven, kunst en mystiek, Delft: Waltman.
  • –––, 1907, Over de grondslagen der wiskunde, Ph. D. Examensarbete, University of Amsterdam, Institutionen för fysik och matematik.
  • ––– 1912, 'Intuïtionisme en formalisme', invigningsadress vid universitetet i Amsterdam, 1912. Också i Wiskundig tijdschrift, 9, 1913.
  • ––– 1925, 'Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik I,' Mathematische Annalen, 93: 244–257.
  • ––– 1925, 'Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik II,' Mathematische Annalen, 95: 453–472.
  • –––, 1948, 'I huvudsak negativa egenskaper', Indagationes Mathematicae, 10: 322–323.
  • –––, 1952, 'Historisk bakgrund, principer och metoder för intuitionism', South African Journal of Science, 49 (oktober-november): 139–146.
  • –––, 1953, 'Points and Spaces,' Canadian Journal of Mathematics, 6: 1–17.
  • ––– 1981, Brouwer's Cambridge föreläsningar om intuitionism, D. van Dalen (red.), Cambridge: Cambridge University Press, Cambridge.
  • ––– 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (red.), Mannhein: Wissenschaftsverlag.
  • Brouwer, LEJ och CS Adama van Scheltema, 1984, Droeve snaar, vriend van mij - Brieven, D. van Dalen (red.), Amsterdam: Uitgeverij de Arbeiderspers.
  • Coquand, T., 1995, 'Ett konstruktivt topologiskt bevis på van der Waerdens teorem,' Journal of Pure and Applied Algebra, 105: 251–259.
  • van Dalen, D., 1978, 'En tolkning av intuitionistisk analys', Annals of Mathematical Logic, 13: 1–43.
  • ––– 1997, 'Hur kopplad är det intuitionistiska kontinuumet?', Journal of Symbolic Logic, 62 (4): 1147–1150.
  • –––, 1999/2005, Mystic, geometer och intuitionist, Volumes I (1999) och II (2005), Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 2001, LEJ Brouwer (en biografie), Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker.
  • ––– 2004, 'Kolmogorov och Brouwer om konstruktiv implikation och ex Falso-regeln' Russian Math Surveys, 59: 247–257.
  • van Dalen, D. (red.), 2001, LEJ Brouwer en de grondslagen van de wiskunde, Utrecht: Epsilon Uitgaven.
  • Diaconescu, R., 1975, 'Axiom of choice and complementation', i Proceedings of the American Mathematical Society, 51: 176–178.
  • Dummett, M., 1975, 'The Philosophical Base of Intuitionistic Logic', i HE Rose och JC Shepherdson (red.), Proceedings of the Logic Colloquium '73, specialutgåva av Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 80: 5 -40.
  • Fourman, M. och R. Grayson, 1982, "Formella utrymmen," i AS Troelstra och D. van Dalen (red.), The LEJ Brouwer Centenary Symposium, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Gentzen, G., 1934, 'Untersuchungen über das logische Schließen I, II,' Mathematische Zeitschrift, 39: 176–210, 405–431.
  • Gödel, K., 1958, 'Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes,' Dialectia, 12: 280–287.
  • Hacker, PMS, 1986, Insight & Illusion. Teman i filosofin av Wittgenstein, reviderad utgåva, Clarendon Press, Oxford.
  • Heyting, A., 1930, 'Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik,' Sitzungsberichte der Preussischen Akademie von Wissenschaften. Physikalisch-mathematatische Klasse, 42–56.
  • –––, 1956, Intuitionism, en introduktion, Amsterdam: Nord-Holland.
  • van der Hoeven, G., och I. Moerdijk, 1984, 'Sheaf-modeller för val av sekvenser,' Annals of Pure and Applied Logic, 27: 63–107.
  • Kleene, SC och RE Vesley, 1965, Grunden för den intuitionistiska matematiken, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Kreisel, G., 1959, 'Tolkning av analys med konstruktiva funktionaliteter av ändlig typ', i A. Heyting (red.), Constructivity in Mathematics, Amsterdam: North-Holland.
  • ––– 1962, 'På svag fullständighet av den intuitionistiska predikatlogiken,' Journal of Symbolic Logic, 27: 139–158.
  • –––, 1968, 'Laglösa sekvenser av naturliga tal,' Compositio Mathematica, 20: 222–248.
  • Kripke, SA, 1965, 'Semantisk analys av intuitionistisk logik', i J. Crossley och M. Dummett (red.), Formella system och rekursiva funktioner, Amsterdam: Nord-Holland.
  • Lubarsky, R., F. Richman och P. Schuster 2012, 'Kripke-schemat i metrisk topologi', Mathematical Logic Quarterly, 58 (6): 498–501.
  • Maietti, ME och G. Sambin, 2007, "Mot en minimalistisk grund för konstruktiv matematik", i L. Crosilla och P. Schuster (red.), Från uppsättningar och typer till topologi och analys: mot en minimalistisk grund för konstruktiv matematik, Oxford: Oxford University Press.
  • Marion, M., 2003, 'Wittgenstein och Brouwer', Synthese 137: 103–127.
  • Martin-Löf, P., 1970, Anteckningar om konstruktiv matematik, Stockholm: Almqvist & Wiskell.
  • ––– 1984, Intuitionistisk typteori, Napoli: Bibliopolis.
  • Moschovakis, JR, 1973, 'En topologisk tolkning av andra ordningens intuitionistiska aritmetik,' Compositio Mathematica, 26 (3): 261-275.
  • ––– 1986, 'Relativ laglöshet i intuitionistisk analys', Journal of Symbolic Logic, 52 (1): 68–87.
  • Myhill, J., 1975, 'Constructive set theory', Journal of Symbolic Logic, 40: 347–382.
  • Niekus, J., 2010, 'Brouwer's ofullständiga objekt' History and Philosophy of Logic, 31: 31–46.
  • van Oosten, J., 2008, Realizability: En introduktion till dess kategoriska sida, (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics: Volume 152), Amsterdam: Elsevier.
  • Prawitz, D., 1977, 'Betydelse och bevis: om konflikten mellan klassisk och intuitionistisk logik,' Theoria, 43 (1): 2–40.
  • Parsons, C., 1986, 'Intuition in Constructive Mathematics,' in Language, Mind and Logic, J. Butter (red.), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Sambin, G., 1987, "Intuitionistiska formella utrymmen", i matematisk logik och dess tillämpningar, D. Skordev (red.), New York: Plenum.
  • Scott, D., 1968, "Utöka den topologiska tolkningen till intuitionistisk analys," Compositio Mathematica, 20: 194–210.
  • ––– 1970, 'Utöka den topologiska tolkningen till intuitionistisk analys II', i Intuitionism and proof theory, J. Myhill, A. Kino och R. Vesley (eds.), Amsterdam: Nord-Holland.
  • Sundholm, BG, 'Constructive Recursive Functions, Church's Thesis and Brouwer's Theory of the Creating Subject: Afteroughts on a Paris Joint Session', i Jacque Dubucs & Michel Bordeau (red.), Constructivity and Computability in Historical and Philosophical Perspective (Logic, Epistemology and the Unity of Science: Volume 34), Dordrecht: Springer: 1–35.
  • Tarski, A., 1938, 'Der Aussagenkalkül und die Topologie,' Fundamenta Mathematicae, 31: 103–134.
  • Tieszen, R., 1994, "Vad är den filosofiska grunden för intuitionistisk matematik?" I D. Prawitz, B. Skyrms och D. Westerstahl (red.), Logik, metodik och vetenskapsfilosofi, IX: 579–594.
  • ––– 2000, 'Intuitionism, meningsteori och kognition,' Logikens historia och filosofi, 21: 179–194.
  • Troelstra, AS, 1973, Metamatematiska undersökningar av intuitionistisk aritmetik och analys, (Lecture Notes in Mathematics: Volume 344), Berlin: Springer.
  • ––– 1977, Choice-sekvenser (Oxford Logic Guides), Oxford: Clarendon Press.
  • Troelstra, AS och D. van Dalen, 1988, Constructivism I och II, Amsterdam: North-Holland.
  • Veldman, W., 1976, 'En intuitionistisk fullständighetsteorem för intuitionistisk predikatlogik,' Journal of Symbolic Logic, 41 (1): 159–166.
  • ––– 1999, 'Borelhierarkin och den projektiva hierarkin i intuitionistisk matematik,' Rapportnummer 0103, Matematiska institutionen, Nijmegen universitet. [tillgänglig online]
  • ––– 2004,”Ett intuitionistiskt bevis på Kruskals teorem,” Arkiv för matematisk logik, 43 (2): 215–264.
  • ––– 2009, 'Brouwer's Approximate Fixed-Point Stelling är likvärdigt med Brouwer's Fan Theorem,' i S. Lindström, E. Palmgren, K. Segerberg, V. Stoltenberg-Hansen (red.), Logicism, Intuitionism och Formalism (Synthese Library: Volym 341), Dordrecht: Springer, 277–299.
  • ––– 2014, 'Brouwer's Fan Theorem as a axiom and as a contrast to Kleene's Alternative,' i Archive for Mathematical Logic, 53 (5–6): 621–693.
  • –––, kommande,”Intuitionism är helt bosh, helt. Om inte det är en inspiration, 'i G. Alberts, L. Bergmans och F. Muller, (red.), Significs and the Vienna Circle: Intersections, Dordrecht: Springer. [förtryck tillgängligt online]
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik,' Mathematische Zeitschrift, 10: 39–70.
  • Wittgenstein, L., 1994, Wiener Ausgabe, Band 1, Philosophische Bemerkungen, Wien, New York: Springer Verlag.
  • Wright, C., 1982, 'Strict Finitism', Synthese 51 (2): 203–282.
  • Yessenin-Volpin, AS, 1970, 'Den ultraintuitionistiska kritiken och det antitraditionella programmet för grundval av matematik', i A. Kino, J. Myhill och R. Vesley (red.), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdam: North -Holland Publishing Company, 3–45.

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

Rekommenderas: