Logik Och Sannolikhet

Innehållsförteckning:

Logik Och Sannolikhet
Logik Och Sannolikhet

Video: Logik Och Sannolikhet

Video: Logik Och Sannolikhet
Video: Sannolikhet flerstegsförsök och träddiagram 2024, Mars
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Logik och sannolikhet

Först publicerad tors 7 mars 2013; substantiell revidering tis 26 mars 2019

Logik och sannolikhetsteori är två av huvudverktygen i den formella studien av resonemang och har tillämpats fruktbart på områden som är så olika som filosofi, konstgjord intelligens, kognitiv vetenskap och matematik. Detta inlägg diskuterar de viktigaste förslagen för att kombinera logik och sannolikhetsteori och försöker ge en klassificering av de olika strategierna inom detta snabbt utvecklande område.

  • 1. Kombinera logik och sannolikhetsteori
  • 2. Förslagssannolikhetslogik

    • 2.1 Probabilistisk semantik
    • 2.2 Adams sannolikhetslogik
    • 2.3 Ytterligare generaliseringar
  • 3. Grundläggande sannolikhetsoperatörer

    • 3.1 Kvalitativa osäkerhetsföreställningar
    • 3.2 Sammanfattning och produkter med sannolikhetsvillkor
  • 4. Modal Probability Logics

    • 4.1 Grundläggande slutliga modala sannolikhetsmodeller
    • 4.2 Indexering och tolkningar
    • 4.3 Troliga utrymmen
    • 4.4 Att kombinera kvantitativ och kvalitativ osäkerhet
    • 4.5 Dynamik
  • 5. Första ordningens sannolikhetslogik

    • 5.1 Ett exempel på en första ordens sannolikhetslogik

      • 5.1.1 Kvantifiera över mer än en variabel
      • 5.1.2 Villkorad sannolikhet
      • 5.1.3 Sannolikheter som villkor
    • 5.2 Möjlig värld Första ordningens sannolikhetslogik
    • 5.3 Metalogic
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Kombinera logik och sannolikhetsteori

Själva idén att kombinera logik och sannolikhet kan se konstig ut vid första anblicken (Hájek 2001). Trots allt handlar logiken om helt vissa sanningar och slutsatser, medan sannolikhetsteorin handlar om osäkerheter. Vidare erbjuder logik ett kvalitativt (strukturellt) perspektiv på inferens (den deduktiva giltigheten för ett argument baseras på argumentets formella struktur), medan sannolikheterna är kvantitativa (numeriska) till sin natur. Men som kommer att visas i nästa avsnitt finns det naturliga sinnen där sannolikhetsteorin förutsätter och utvidgar klassisk logik. Vidare, historiskt sett, flera utmärkta teoretiker som De Morgan (1847), Boole (1854), Ramsey (1926), de Finetti (1937), Carnap (1950), Jeffrey (1992) och Howson (2003, 2007,2009) har betonat de snäva kopplingarna mellan logik och sannolikhet, eller till och med betraktat deras arbete med sannolikhet som en del av själva logiken.

Genom att integrera komplementära perspektiv på kvalitativ logik och numerisk sannolikhetsteori kan sannolikhetslogik erbjuda mycket uttryckliga slutsatser. Det borde därför inte överraska att de har använts inom alla områden som studerar resonemekanismer, såsom filosofi, konstgjord intelligens, kognitiv vetenskap och matematik. Nackdelen med denna tvärvetenskapliga popularitet är att termer som "sannolikhetslogik" används av olika forskare på olika, icke-likvärdiga sätt. Därför, innan vi går vidare till den faktiska diskussionen om de olika tillvägagångssätten, kommer vi först att avgränsa ämnet för denna post.

Den viktigaste skillnaden är skillnaden mellan sannolikhetslogik och induktiv logik. Klassiskt sägs ett argument vara (deduktivt) giltigt om och bara om det är omöjligt att lokalerna för (A) är alla sanna, medan dess slutsats är falsk. Med andra ord, deduktiv giltighet motsvarar sanningskonservering: i ett giltigt argument garanterar lokalernas sanning sanningen om slutsatsen. I vissa argument garanterar emellertid inte sanningen i lokalerna sanningen om slutsatsen, men det gör det fortfarande mycket troligt. Ett typiskt exempel är argumentet med premisserna "Den första svanen som jag såg var vit", …, "Den 1000: e svanen jag såg var vit" och slutsatsen "Alla svanar är vita". Sådana argument studeras i induktiv logik, som använder omfattande sannolikhetsuppfattningar,och anses därför av vissa författare vara relaterade till sannolikhetslogik. Det diskuteras om det exakta sambandet mellan induktiv logik och sannolikhetslogik, som sammanfattas i introduktionen av Kyburg (1994). Den dominerande ställningen (försvarad av bland annat Adams och Levine (1975)), som också antas här, är att sannolikhetslogiken helt tillhör deduktiv logik, och därför inte borde handla om induktiv resonemang. Fortfarande är det mesta arbetet med induktiv logik inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är således nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi. Det diskuteras om det exakta sambandet mellan induktiv logik och sannolikhetslogik, som sammanfattas i introduktionen av Kyburg (1994). Den dominerande ställningen (försvarad av bland annat Adams och Levine (1975)), som också antas här, är att sannolikhetslogiken helt tillhör deduktiv logik, och därför inte borde handla om induktiv resonemang. Fortfarande är det mesta arbetet med induktiv logik inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är således nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi. Det diskuteras om det exakta sambandet mellan induktiv logik och sannolikhetslogik, som sammanfattas i introduktionen av Kyburg (1994). Den dominerande ställningen (försvarad av bland annat Adams och Levine (1975)), som också antas här, är att sannolikhetslogiken helt tillhör deduktiv logik, och därför inte borde handla om induktiv resonemang. Fortfarande är det mesta arbetet med induktiv logik inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är således nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi. Den dominerande ställningen (försvarad av bland annat Adams och Levine (1975)), som också antas här, är att sannolikhetslogiken helt tillhör deduktiv logik, och därför inte borde handla om induktiv resonemang. Fortfarande är det mesta arbetet med induktiv logik inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är därför nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi. Den dominerande ställningen (försvarad av bland annat Adams och Levine (1975)), som också antas här, är att sannolikhetslogiken helt tillhör deduktiv logik, och därför inte borde handla om induktiv resonemang. Fortfarande är det mesta arbetet med induktiv logik inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är således nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi.det mesta arbetet med induktiv logik faller inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är således nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011)), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi.det mesta arbetet med induktiv logik faller inom "sannolikhetsbevarande" -metoden och är således nära kopplat till systemen som diskuteras i avsnitt 2. För mer om induktiv logik kan läsaren konsultera Jaynes (2003), Fitelson (2006), Romeijn (2011)), och uppgifterna om problemet med induktion och induktiv logik för detta encyklopedi.

Vi kommer också att undvika den filosofiska debatten om sannolikhetens natur. De formella systemen som diskuteras här är kompatibla med alla vanliga tolkningar av sannolikhet, men i konkreta tillämpningar kommer uppenbarligen vissa tolkningar av sannolikhet att passa mer naturligt än andra. Exempelvis är de modala sannolikhetslogikerna som diskuteras i avsnitt 4 i sig själva neutrala beträffande sannolikhetens natur, men när de används för att beskriva beteendet hos ett övergångssystem tolkas deras sannolikheter vanligen på ett objektivt sätt, medan modellering av flera -agentiska scenarier åtföljs mest naturligt av en subjektiv tolkning av sannolikheter (som agenters grad av tro). Detta ämne behandlas i detalj i Gillies (2000), Eagle (2010), och inlägget om tolkningar av sannolikheten för detta encyklopedi.

En nyare trend i litteraturen har varit att fokusera mindre på att integrera eller kombinera logik och sannolikhetsteori i en enda enhetlig ram, utan snarare att etablera broar mellan de två disciplinerna. Detta handlar vanligtvis om att försöka fånga de kvalitativa uppfattningarna om logik i de kvantitativa termerna av sannolikhetsteori, eller tvärtom. Vi kommer inte att kunna göra rätt till det stora utbudet av tillvägagångssätt i detta blomstrande område, men intresserade läsare kan konsultera Leitgeb (2013, 2014), Lin och Kelly (2012a, 2012b), Douven och Rott (2018) och Harrison- Trainor, Holliday och Icard (2016, 2018). En "samtida klassiker" inom detta område är Leitgeb (2017), medan van Benthem (2017) erbjuder en användbar undersökning och några intressanta programmatiska kommentarer.

Slutligen, även om framgången för sannolikhetslogik till stor del beror på dess olika applikationer, kommer vi inte att behandla dessa applikationer i någon detalj. Till exempel kommer vi inte att bedöma användningen av sannolikhet som en formell representation av tron på filosofi (Bayesian epistemology) eller artificiell intelligens (kunskapsrepresentation), och dess fördelar och nackdelar med avseende på alternativa representationer, såsom generaliserad sannolikhetsteori (för kvantitet) teori), (p) - adisk sannolikhet och fuzzy logik. För mer information om dessa ämnen kan läsaren konsultera Gerla (1994), Vennekens et al. (2009), Hájek och Hartmann (2010), Hartmann och Sprenger (2010), Ilić-Stepić et al. (2012), och uppgifterna om formella representationer av tron, Bayesiansk epistemologi, defeaible resonemang, kvantlogik och sannolikhetsteori,och fuzzy logik för detta encyklopedi.

Med dessa förtydliganden på plats är vi nu redo att titta på vad som kommer att diskuteras i det här inlägget. Den vanligaste strategin för att erhålla ett konkret system med sannolikhetslogik är att börja med ett klassiskt (proposition / modal / osv.) System med logik och att "sannolika" det på ett eller annat sätt genom att lägga till sannolika funktioner till det. Det finns olika sätt på vilka denna sannolikhet kan genomföras. Man kan studera probabilistisk semantik för klassiska språk (som inte har några uttryckliga probabilistiska operatörer), i vilket fall konsekvensförhållandet i sig får en probabilistisk smak: deduktiv giltighet blir "sannolikhetsbevarande", snarare än "sanningskonservering". Denna riktning kommer att diskuteras i avsnitt 2. Alternativt kan man lägga till olika typer av sannolikhetsoperatörer till logikens syntax. I avsnitt 3 kommer vi att diskutera några initiala, ganska grundläggande exempel på sannolikhetsoperatörer. Modala probabilistiska operatörers fullständiga uttryck kommer att undersökas i avsnitt 4. Slutligen diskuteras språk med första ordens probabilistiska operatörer i avsnitt 5.

2. Förslagssannolikhetslogik

I det här avsnittet kommer vi att presentera en första familj med sannolikhetslogik, som används för att studera frågor om "sannolikhetsbevarande" (eller dually, "osäkerhetsutbredning"). Dessa system utökar inte språket med några sannolika operatörer utan handlar snarare om ett "klassiskt" propositionellt språk (mathcal {L}), som har en räknbar uppsättning atomförslag, och det vanliga sanningsfunktionella (booliska) konnektiv.

Huvudtanken är att förutsättningarna för ett giltigt argument kan vara osäkra, i vilket fall (deduktiv) giltighet inte ställer några villkor för slutsäkerhetens (o) säkerhet. Till exempel, argumentet med lokaler "om det kommer att regna imorgon, jag blir våt" och "det kommer att regna imorgon", och slutsatsen "Jag kommer att bli våt" är giltigt, men om dess andra premiss är osäker kommer dess slutsats typiskt också vara osäker. Förslagssannolikhetslogik representerar sådana osäkerheter som sannolikheter och studerar hur de "flyter" från lokalerna till slutet; med andra ord, de studerar inte sanningsbevarande, utan snarare sannolikhetsbevarande. Följande tre underavsnitt diskuterar system som hanterar allt mer allmänna versioner av denna fråga.

2.1 Probabilistisk semantik

Vi börjar med att återkalla tanken om en sannolikhetsfunktion för det propositionella språket (mathcal {L}). (I matematik definieras sannolikhetsfunktioner vanligtvis för en (sigma) - algebra av underuppsättningar av en given uppsättning (Omega), och krävs för att tillfredsställa räknbar additivitet, se avsnitt 4.3. I logiska sammanhang, dock det är ofta mer naturligt att definiera sannolikhetsfunktioner "omedelbart" för logikens objektspråk (Williamson 2002). Eftersom detta språk är finitärt - alla dess formler har ändlig längd - räcker det också för att kräva begränsad additivitet.) En sannolikhetsfunktion (för (mathcal {L})) är en funktion (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}) som uppfyller följande begränsningar:

Icke-negativitet. (P (phi) geq 0) för alla (phi / i / matematik {L}.)

Tautologier. Om (modeller / phi), då (P (phi) = 1.)

Ändlig tillsats. Om (modeller / neg (phi / kil / psi)), då (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi).)

I den andra och tredje begränsningen anger symbolen (models) - (semantisk) giltighet i klassisk propositionlogik. Definitionen av sannolikhetsfunktioner kräver således begrepp från klassisk logik, och i detta avseende kan sannolikhetsteorin sägas förutsätta klassisk logik (Adams 1998, 22). Det kan enkelt visas att om (P) uppfyller dessa begränsningar, då (P (phi) i [0,1]) för alla formler (phi / in / mathcal {L}), och (P (phi) = P (psi)) för alla formler (phi, / psi / in / mathcal {L}) som är logiskt ekvivalenta (dvs sådana att (models / phi / Leftrightarrow / psi)).

Vi vänder oss nu till probabilistisk semantik, enligt definitionen i Leblanc (1983). Ett argument med lokaler (Gamma) och slutsats (phi) - framöver betecknat som ((Gamma, / phi)) - sägs vara sannolikt giltigt, skrivet (Gamma / models_p / phi), om och endast om:

för alla sannolikhetsfunktioner (P: / matematik {L} till / matematik {R}):

om (P (gamma) = 1) för alla (gamma / i / Gamma), då också (P (phi) = 1).

Probabilistisk semantik ersätter således värderingarna (v: / mathcal {L} till {0,1 }) för klassisk propositionlogik med sannolikhetsfunktioner (P: / mathcal {L} to / mathbb {R}), som tar värden i det verkliga enhetsintervallet ([0,1]). De klassiska sanningsvärdena för sanna (1) och falska (0) kan således betraktas som slutpunkterna för enhetsintervallet ([0,1]), och på samma sätt värderingar (v: / mathcal {L} till {0,1 }) kan betraktas som degenererade sannolikhetsfunktioner (P: / matematisk {L} till [0,1]). I denna mening är klassisk logik ett speciellt fall av sannolikhetslogik, eller i motsvarighet är sannolikhetslogik en förlängning av klassisk logik.

Det kan visas att klassisk propositionslogik är (starkt) sund och fullständig med avseende på probabilistisk semantik:

(Gamma / models_p / phi / text {om och bara om} Gamma / vdash / phi.)

Vissa författare tolkar sannolikheter som generaliserade sanningsvärden (Reichenbach 1949, Leblanc 1983). Enligt denna uppfattning är sannolikhetslogik bara en speciell typ av många värderade logik, och sannolikhetens giltighet kommer till "sanningsbevarande": sanningen (dvs. sannolikhet 1) överförs från lokalerna till slutsatsen. Andra logiker, som Tarski (1936) och Adams (1998, 15), har noterat att sannolikheter inte kan ses som generaliserade sanningsvärden, eftersom sannolikhetsfunktioner inte är "extensional"; till exempel kan (P (phi / kil / psi)) inte uttryckas som en funktion av (P (phi)) och (P (psi)). Mer diskussion om detta ämne finns i Hailperin (1984).

En annan möjlighet är att tolka en menings sannolikhet som ett mått på dess (o) säkerhet. Till exempel kan meningen "Jones är i Spanien för tillfället" ha någon viss säkerhet, från 0 (maximal osäkerhet) till 1 (maximal säkerhet). (Observera att 0 faktiskt är en typ av säkerhet, nämligen säkerhet om förfalskning, men i det här inlägget följer vi dock Adams terminologi (1998, 31) och tolkar 0 som maximal osäkerhet.) Enligt denna tolkning följer följande teorem från den starka sundheten och fullständigheten av probabilistisk semantik:

Sats 1. Överväg ett deduktivt giltigt argument ((Gamma, / phi)). Om alla lokaler i (Gamma) har sannolikhet 1, har slutsatsen (phi) också sannolikhet 1.

Denna sats kan ses som en första, mycket partiell förtydligande av frågan om sannolikhetsbevarande (eller osäkerhetsutbredning). Det säger att om det inte finns någon osäkerhet kring lokalerna kan det inte heller finnas någon osäkerhet om slutsatsen. Under de kommande två underavsnitten kommer vi att överväga mer intressanta fall, när det finns osäkerhet om nollet om lokalerna, och frågar hur det går över till slutsatsen.

Slutligen bör det noteras att även om detta underavsnitt endast diskuterade probabilistisk semantik för klassisk propositionell logik, finns det också probabilistisk semantik för en mängd andra logiker, såsom intuitionistisk propositionslogik (van Fraassen 1981b, Morgan och Leblanc 1983), modal logik (Morgan 1982a, 1982b, 1983, Cross 1993), klassisk första ordningslogik (Leblanc 1979, 1984, van Fraassen 1981b), relevant logik (van Fraassen 1983) och icke-monotonisk logik (Pearl 1991). Alla dessa system har en nyckelfunktion: logikens semantik är av sannolikhet, men sannolikheterna är inte uttryckligen representerade på objektets språk; följaktligen är de mycket närmare karaktär till de föreslagna sannolikhetslogikerna som diskuteras här än de system som presenteras i senare avsnitt.

De flesta av dessa system är inte baserade på unary sannolikheter (P (phi)), utan snarare på villkorade sannolikheter (P (phi, / psi)). Den villkorade sannolikheten (P (phi, / psi)) tas som primitiv (snarare än att definieras som (P (phi / kil / psi) / P (psi)), som vanligtvis görs) för att undvika problem när (P (psi) = 0). Goosens (1979) ger en översikt över olika axiomatiseringar av sannolikhetsteori i termer av sådana primitiva uppfattningar om villkorad sannolikhet.

2.2 Adams sannolikhetslogik

I föregående underavsnitt diskuterade vi en första princip om sannolikhetsbevarande, som säger att om alla lokaler har sannolikhet 1, så har slutsatsen också sannolikhet. Naturligtvis uppstår mer intressanta fall när lokalerna är mindre än absolut säkra. Tänk på det giltiga argumentet med lokaler (p / vee q) och (p / till q), och slutsats (q) (symbolen '(till)' anger det sanningsvillkorade materialet villkorat). Man kan lätt visa det

[P (q) = P (p / vee q) + P (p / till q) - 1.)

Med andra ord, om vi känner till sannolikheterna för argumentets förutsättningar, kan vi beräkna den exakta sannolikheten för dess slutsats och därmed ge ett fullständigt svar på frågan om sannolikhetsbevarande för detta specifika argument (till exempel om (P (p / vee q) = 6/7) och (P (p / till q) = 5/7), sedan (P (q) = 4/7)). Generellt sett är det emellertid inte möjligt att beräkna den exakta sannolikheten för slutsatsen, med tanke på lokalernas sannolikheter; snarare är det bästa vi kan hoppas på en (tät) övre och / eller nedre gräns för slutsatsens sannolikhet. Vi kommer nu att diskutera Adams (1998) metoder för att beräkna sådana gränser.

Adams resultat kan lättare anges i termer av osäkerhet snarare än säkerhet (sannolikhet). Med en sannolikhetsfunktion (P: / matematisk {L} till [0,1]) definieras motsvarande osäkerhetsfunktion (U_P) som

[U_P: / mathcal {L} till [0,1]: / phi / mapsto U_P (phi): = 1-P (phi).)

Om sannolikhetsfunktionen (P) är tydlig från sammanhanget kommer vi ofta helt enkelt att skriva (U) istället för (U_P). I återstoden av detta underavsnitt (och även i nästa) kommer vi att anta att alla argument endast har mycket många lokaler (vilket inte är en väsentlig begränsning, med tanke på kompakthetsegenskapen i klassisk propositionslogik). Adams första huvudresultat, som ursprungligen etablerades av Suppes (1966), kan nu anges på följande sätt:

Sats 2. Betrakta ett giltigt argument ((Gamma, / phi)) och en sannolikhetsfunktion (P). Då kan osäkerheten i slutsatsen (phi) inte överstiga summan av osäkerheterna i lokalerna (gamma / in / Gamma). Formellt:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma).)

Först och främst bör du notera att denna sats stämmer ut sats 1 som ett speciellt fall: om (P (gamma) = 1) för alla (gamma / in / Gamma), då (U (gamma) = 0) för alla (gamma / i / Gamma), så (U (phi) leq / sum U (gamma) = 0) och därmed (P (phi) = 1). Observera vidare att den övre gränsen för osäkerheten i slutsatsen beror på (| / Gamma |), dvs av antalet lokaler. Om ett giltigt argument har ett litet antal lokaler, som var och en endast har en liten osäkerhet (dvs. hög säkerhet), kommer dess slutsats också att ha en ganska liten osäkerhet (dvs. en rimlig hög säkerhet). Omvänt, om ett giltigt argument har lokaler med små osäkerheter, kan dess slutsats bara vara mycket osäker om argumentet har ett stort antal lokaler (en berömd illustration av denna omvända princip är Kyburgs (1965) lotteriparadox,som diskuteras i inlägget om epistemiska paradoxer i detta encyklopedi). För att sätta saken mer konkret, notera att om ett giltigt argument har tre förutsättningar som var och en har osäkerhet 1/11, så lägger man till en premiss som också har osäkerhet 1/11 kommer det inte att påverka argumentets giltighet, men det kommer att höja övre gränsen på slutsatsens osäkerhet från 3/11 till 4/11 - vilket gör att slutsatsen kan vara mer osäker än vad som ursprungligen var fallet. Slutligen är den övre gränsen som tillhandahålls av sats 2 optimalt, i den meningen att (under rätt förhållanden) osäkerheten i slutsatsen kan sammanfalla med dess övre gräns (sum U (gamma)):att sedan lägga till en premiss som också har osäkerhet 1/11 kommer inte att påverka argumentets giltighet, men det kommer att höja övre gränsen på slutsatsens osäkerhet från 3/11 till 4/11 - vilket gör att slutsatsen kan vara mer osäker än vad som ursprungligen var fall. Slutligen är den övre gränsen som tillhandahålls av sats 2 optimalt, i den meningen att (under rätt förhållanden) osäkerheten i slutsatsen kan sammanfalla med dess övre gräns (sum U (gamma)):att sedan lägga till en premiss som också har osäkerhet 1/11 kommer inte att påverka argumentets giltighet, men det kommer att höja övre gränsen på slutsatsens osäkerhet från 3/11 till 4/11 - vilket gör att slutsatsen kan vara mer osäker än vad som ursprungligen var fall. Slutligen är den övre gränsen som tillhandahålls av sats 2 optimalt, i den meningen att (under rätt förhållanden) osäkerheten i slutsatsen kan sammanfalla med dess övre gräns (sum U (gamma)):i den meningen att (under rätt förhållanden) osäkerheten i slutsatsen kan sammanfalla med dess övre gräns (summa U (gamma)):i den meningen att (under rätt förhållanden) osäkerheten i slutsatsen kan sammanfalla med dess övre gräns (summa U (gamma)):

Teorem 3. Överväg ett giltigt argument ((Gamma, / phi)) och antar att premissuppsättningen (Gamma) är konsekvent, och att varje premiss (gamma / in / Gamma) är relevant (dvs (Gamma - { gamma } inte / modeller / phi)). Sedan finns det en sannolikhetsfunktion (P: / mathcal {L} till [0,1]) så att

[U_P (phi) = / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma).)

Den övre gränsen tillhandahållen av sats 2 kan också användas för att definiera ett sannolikt begrepp om giltighet. Ett argument ((Gamma, / phi)) sägs vara Adams-probabilistiskt giltigt, skrivet (Gamma / models_a / phi), om och bara om

för alla sannolikhetsfunktioner (P: / matematik {L} till / matematik {R}): (U_P (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U_P (gamma)).

Adams-probabilistisk giltighet har en alternativ, ekvivalent karaktärisering i termer av sannolikheter snarare än osäkerheter. Denna karaktärisering säger att ((Gamma, / phi)) är Adams-probabilistiskt giltigt om och bara om slutsatsens sannolikhet kan komma godtyckligt nära 1 om lokalernas sannolikheter är tillräckligt höga. Formellt: (Gamma / models_a / phi) om och bara om

för alla (epsilon> 0) finns det en (delta> 0) så att för alla sannolikhetsfunktioner (P):

if (P (gamma)> 1- / delta) för alla (gamma / in / Gamma), sedan (P (phi)> 1- / epsilon).

Det kan visas att klassisk propositionslogik är (starkt) sund och fullständig med avseende på Adams sannolikhetssemantik:

(Gamma / models_a / phi / text {om och bara om} Gamma / vdash / phi.)

Adams (1998, 154) definierar också en annan logik för vilken hans probabilistiska semantik är sund och fullständig. Detta system involverar emellertid en icke-sanningsfunktionell anslutning (sannolikheten villkorad) och faller därför utanför detta avsnitt. (För mer information om sannolika tolkningar av konditioner kan läsaren läsa in uppgifterna om kondition och logik för kondition i detta leksikon.)

Tänk på följande exempel. Argumentet (A) med lokaler (p, q, r, s) och slutsats (p / kil (q / vee r)) är giltigt. Antag att (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) och (P (s) = 7/11). Då säger sats 2 det

(börja {justera} & U (p / kil (q / vee r)) leq \& / quad / frac {1} {11} + / frac {2} {11} + / frac {2} { 11} + / frac {4} {11} = / frac {9} {11}. / End {align})

Denna övre gräns för osäkerheten i slutsatsen är ganska nedslående, och den avslöjar stämningens huvudsakliga svaghet. En av orsakerna till att övre gränsen är så hög, är att för att beräkna det tog vi hänsyn till förutsättningen (s), som har en ganska hög osäkerhet ((4/11)). Emellertid är denna förutsättning inte relevant, i den meningen att slutsatsen redan följer från de tre andra lokalerna. Därför kan vi betrakta (p / kil (q / vee r)) inte bara som slutsatsen för det giltiga argumentet (A), utan också som slutsatsen för det (lika giltiga) argumentet (A '), som har lokaler (p, q, r). I det senare fallet ger sats 2 en övre gräns av (1/11 + 2/11 + 2/11 = 5/11), som redan är mycket lägre.

Ställningens 2 svaghet är alltså att den tar hänsyn till (osäkerheten i) irrelevanta eller inessentiella förutsättningar. För att få en förbättrad version av detta teorem krävs en mer finkornig uppfattning om "väsentlighet". I argument (A) i exemplet ovan är förutsättningen (s) absolut irrelevant. På samma sätt är premiss (p) absolut relevant, i den meningen att utan denna förutsättning är slutsatsen (p / kil (q / vee r)) inte längre härledbar. Slutligen är förutsättningen delmängd ({q, r }) "mellan": tillsammans (q) och (r) är relevanta (om båda lokalerna lämnas ute är slutsatsen inte längre härledbar), men var och en av dem separat kan utelämnas (samtidigt som slutsatsen är härledbar).

Begreppet väsentlighet formaliseras enligt följande:

Väsentlig premissuppsättning. Med tanke på ett giltigt argument ((Gamma, / phi)) är en uppsättning (Gamma '\ subseteq / Gamma) nödvändig iff (Gamma - / Gamma' / not / models / phi).

Grad av väsentlighet. Givet ett giltigt argument ((Gamma, / phi)) och en premiss (gamma / in / Gamma), graden av väsentlighet av (gamma), skriven (E (gamma)), är (1 / | S_ / gamma |), där (| S_ / gamma |) är kardinaliteten i den minsta viktiga premissuppsättningen som innehåller (gamma). Om (gamma) inte tillhör någon minimal, väsentlig premissuppsättning, är graden av väsentlighet för (gamma) 0.

Med dessa definitioner kan en förfinad version av sats 2 upprättas:

Sats 4. Överväg ett giltigt argument ((Gamma, / phi)). Då kan osäkerheten i slutsatsen (phi) inte överstiga den vägda summan av osäkerheten i lokalerna (gamma / in / Gamma), med graden av väsentlighet som vikter. Formellt:

[U (phi) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma).)

Beviset på sats 4 är betydligt svårare än det för sats 2: Sats 2 kräver endast grundläggande sannolikhetsteori, medan sats 4 bevisas med hjälp av metoder från linjär programmering (Adams och Levine 1975; Goldman och Tucker 1956). Sats 4 subventionerar Sats 2 som ett speciellt fall: Om alla lokaler är relevanta (dvs har väsentlighetsgrad 1) ger Sats 4 samma övre gräns som Sats 2. Vidare tar sats 4 inte hänsyn till irrelevanta lokaler (dvs. lokaler med nödvändighetsgrad 0) för att beräkna denna övre gräns; följaktligen om en premiss är irrelevant för argumentets giltighet, kommer dess osäkerhet inte att övergå till slutsatsen. Slutligen, notera att eftersom (E (gamma) i [0,1]) för alla (gamma / i / Gamma), rymmer det att

(sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) U (gamma) leq / sum _ { gamma / in / Gamma} U (gamma),)

dvs. sats 4 ger i allmänhet en stramare övre gräns än sats 2. För att illustrera detta, överväg igen argumentet med lokaler (p, q, r, s) och slutsats (p / kil (q / vee r)). Kom ihåg att (P (p) = 10/11, P (q) = P (r) = 9/11) och (P (s) = 7/11). Man kan beräkna lokalernas väsentlighetsgrader: (E (p) = 1, E (q) = E (r) = 1/2) och (E (s) = 0). Därmed ger sats 4 det

(börja {anpassa} & U (p / kil (q / vee r)) leq \& / quad / vänster (1 / gånger / frac {1} {11} höger) + / vänster (frac { 1} {2} gånger / frac {2} {11} höger) + / vänster (frac {1} {2} gånger / frac {2} {11} höger) + / vänster (0 / gånger / frac {4} {11} höger) = / frac {3} {11}, / end {align})

vilket är en stramare övre gräns för osäkerheten hos (p / kil (q / vee r)) än någon av de gränser som erhållits ovan via Ställning 2 (nämligen / \ 9/11) och (5/11)).

2.3 Ytterligare generaliseringar

Med tanke på osäkerheterna (och graderna av väsentlighet) i lokalerna för ett giltigt argument tillåter Adams teorier oss att beräkna en övre gräns för osäkerheten i slutsatsen. Naturligtvis kan dessa resultat också uttryckas i termer av sannolikheter snarare än osäkerheter; de ger sedan en undre gräns för sannolikheten för slutsatsen. Exempelvis, när uttryckt i termer av sannolikheter snarare än osäkerheter, ser sats 4 på följande sätt:

[P (phi) geq 1 - / sum _ { gamma / in / Gamma} E (gamma) (1 - P (gamma)).)

Adams resultat är begränsade på minst två sätt:

  • De ger endast en undre gräns för sannolikheten för slutsatsen (med tanke på lokalernas sannolikheter). På ett sätt är detta den viktigaste gränsen: den representerar slutsatsens sannolikhet i”värsta fall”, vilket kan vara användbar information i praktiska tillämpningar. I vissa applikationer kan det dock också vara informativt att ha en övre gräns för slutsatsens sannolikhet. Om man till exempel vet att denna sannolikhet har en övre gräns på 0,4, kan man besluta att avstå från vissa åtgärder (som man skulle ha utfört om denna övre gräns var (känd för att vara) 0,9).
  • De förutsätter att lokalernas exakta sannolikheter är kända. I praktiska tillämpningar kan det dock bara finnas delvis information om sannolikheten för en premiss (gamma): dess exakta värde är inte känt, men det är känt att ha en nedre gräns (a) och en övre gräns (b) (Walley 1991). I sådana applikationer skulle det vara användbart att ha en metod för att beräkna (optimala) nedre och övre gränser för sannolikheten för slutsatsen i termer av de övre och nedre gränserna för lokalernas sannolikheter.

Hailperin (1965, 1984, 1986, 1996) och Nilsson (1986) använder metoder från linjär programmering för att visa att dessa två begränsningar kan övervinnas. Deras viktigaste resultat är följande:

Sats 5. Överväg ett argument ((Gamma, / phi)), med (| / Gamma | = n). Det finns funktioner (L _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} till / mathbb {R}) och (U _ { Gamma, / phi}: / mathbb {R} ^ {2n} to / mathbb {R}) så att för någon sannolikhetsfunktion (P) gäller följande: if (a_i / leq P (gamma_i) leq b_i) för (1 / leq i / leq n), sedan:

  1. (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n) leq P (phi): / leq) (U _ { Gamma, / phi} (a_1 / prickar, a_n, b_1, / dots, b_n)).
  2. Gränserna i punkt 1 är optimala, i den meningen att det finns sannolikhetsfunktioner (P_L) och (P_U) så att (a_i / leq P_L (gamma_i),) (P_U (gamma_i) leq b_i) för (1 / leq i / leq n) och (L _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n) = P_L (phi)) och (P_U (phi) = U _ { Gamma, / phi} (a_1, / dots, a_n, b_1, / dots, b_n)).
  3. Funktionerna (L _ { Gamma, / phi}) och (U _ { Gamma, / phi}) kan faktiskt bestämmas från den booleska strukturen för meningarna i (Gamma / cup { phi }).

Detta resultat kan också användas för att definiera ytterligare en sannolikhetsuppfattning om giltighet, som vi kommer att kalla Hailperin-probabilistisk giltighet eller helt enkelt h-giltighet. Denna uppfattning definieras inte med avseende på formler, utan snarare med avseende på par som består av en formel och ett delintervall av ([0,1]). Om (X_i) är intervallet associerat med premiss (gamma_i / i / Gamma) och (Y) är intervallet associerat med slutsatsen (phi), då är argumentet ((Gamma), / phi)) sägs vara h-giltig, skriven (Gamma / models_h / phi), om och bara om för alla sannolikhetsfunktioner (P):

(text {if} P (gamma_i) i X_i / text {för} 1 / leq i / leq n, / text {sedan} P (phi) i Y)

I Haenni et al. (2011) är detta skrivet som

(gamma_1 ^ {X_1}, / prickar, / gamma_n ^ {X_n} | \! \! \! / ca / phi ^ Y)

och kallad standard probabilistic semantics.

Nilssons arbete med probabilistisk logik (1986, 1993) har gett upphov till mycket forskning om probabilistiska resonemang inom konstgjord intelligens (Hansen och Jaumard 2000; kapitel 2 i Haenni et al. 2011). Det bör dock noteras att även om sats 5 säger att funktionerna (L _ { Gamma, / phi}) och (U _ { Gamma, / phi}) effektivt kan bestämmas från meningarna i (Gamma / cup { phi }), beräkningskomplexiteten för detta problem är ganska hög (Georgakopoulos et al. 1988, Kavvadias och Papadimitriou 1990), och därmed blir det snabbt beräknat att hitta dessa funktioner i verkliga applikationer. Samtida tillvägagångssätt baserade på probabilistiska argumentationssystem och probabilistiska nätverk kan bättre hantera dessa beräkningsutmaningar. Dessutom,probabilistiska argumentationssystem är nära besläktade med Dempster-Shafer-teorin (Dempster 1968; Shafer 1976; Haenni och Lehmann 2003). En utökad diskussion av dessa tillvägagångssätt ligger dock utanför ramen för (den aktuella versionen av) denna post; se (Haenni et al. 2011) för en ny undersökning.

3. Grundläggande sannolikhetsoperatörer

I det här avsnittet kommer vi att studera sannolikhetslogik som utökar det propositionella språket (mathcal {L}) med ganska grundläggande sannolikhetsoperatörer. De skiljer sig från logiken i avsnitt 2 genom att logikerna här involverar sannolikhetsoperatörer på objektets språk. Avsnitt 3.1 diskuterar operatörer av kvalitativa sannolikheter; Avsnitt 3.2 diskuterar kvantitativa sannolikhetsoperatörer.

3.1 Kvalitativa osäkerhetsföreställningar

Det finns flera tillämpningar där kvalitativa teorier om sannolikhet kan vara användbara eller till och med nödvändiga. I vissa situationer finns det inga frekvenser tillgängliga att använda som uppskattningar för sannolikheterna, eller det kan vara praktiskt taget omöjligt att få dessa frekvenser. Dessutom är människor ofta villiga att jämföra sannolikheten för två uttalanden ('(phi) är mer sannolikt än (psi)') utan att kunna tilldela explicita sannolikheter till var och en av uttalandena individuellt (Szolovits och Pauker 1978, Halpern och Rabin 1987). I sådana situationer kommer kvalitativ sannolikhetslogik att vara användbar.

En av de tidigaste kvalitativa sannolikhetslogikerna är Hamblin's (1959). Språket utökas med en unär operatör (Box), som ska läsas som 'förmodligen'. Därför är en formel som (Box / phi) att läsas som 'förmodligen (phi)'. Denna uppfattning om "sannolik" kan formaliseras som tillräckligt hög (numerisk) sannolikhet (dvs. (P (phi) geq t), för ett visst tröskelvärde (1/2 <t / leq 1)), eller alternativt när det gäller rimlighet, vilket är en icke-metrisk generalisering av sannolikheten. Burgess (1969) vidareutvecklar dessa system med fokus på tolkningen av "hög numerisk sannolikhet". Både Hamblin och Burgess introducerar ytterligare operatörer i sina system (uttrycker till exempel metafysisk nödvändighet och / eller kunskap) och studerar interaktionen mellan 'förmodligen' -operatören och dessa andra modala operatörer. I alla fall,"förmodligen" -operatören visar redan några intressanta funktioner på egen hand (oberoende av andra operatörer). Om den tolkas som "tillräckligt stor sannolikhet" misslyckas den med att uppfylla principen ((Box / phi / kil / Box / psi) to / Box (phi / kil / psi)). Detta innebär att det inte är en normal modal operatör och inte kan ges en Kripke (relationell) semantik. Herzig och Longin (2003) och Arló Costa (2005) tillhandahåller svagare system för grannssemantik för sådana "förmodligen" -operatörer, medan Yalcin (2010) diskuterar deras beteende ur ett mer språkligt orienterat perspektiv. Detta innebär att det inte är en normal modal operatör och inte kan ges en Kripke (relationell) semantik. Herzig och Longin (2003) och Arló Costa (2005) tillhandahåller svagare system för grannssemantik för sådana "förmodligen" -operatörer, medan Yalcin (2010) diskuterar deras beteende ur ett mer språkligt orienterat perspektiv. Detta innebär att det inte är en normal modal operatör och inte kan ges en Kripke (relationell) semantik. Herzig och Longin (2003) och Arló Costa (2005) tillhandahåller svagare system för grannssemantik för sådana "förmodligen" -operatörer, medan Yalcin (2010) diskuterar deras beteende ur ett mer språkligt orienterat perspektiv.

En annan väg tas av Segerberg (1971) och Gärdenfors (1975a, 1975b), som bygger på tidigare verk av de Finetti (1937), Kraft, Pratt och Seidenberg (1959) och Scott (1964). De introducerar en binär operatör (geq); formeln (phi / geq / psi) ska läsas som '(phi) är minst lika sannolik som (psi)' (formellt: (P (phi) geq P (psi))). Nyckelidén är att man helt kan axiomatisera beteendet hos (geq) utan att behöva använda de 'underliggande' sannolikheterna för de enskilda formlerna. Det bör noteras att med jämförande sannolikhet (en binär operatör) kan man också uttrycka några absoluta sannolikhetsegenskaper (unära operatörer). Till exempel uttrycker (phi / geq / top) att (phi) har sannolikhet 1, och (phi / geq / neg / phi) uttrycker att (phi) har sannolikhet åtminstone 1/2. I det senaste arbetetDelgrande och Renne (2015) utvidgar det kvalitativa tillvägagångssättet ytterligare genom att låta argumenten för (geq) vara begränsade sekvenser av formler (av potentiellt olika längder). Formeln ((phi_1, / dots, / phi_n) geq (psi_1, / dots, / psi_m)) ska informellt läsas som 'summan av sannolikheterna för (phi_i)' är minst lika hög som summan av sannolikheten för (psi_j) 's'. Den resulterande logiken kan axiomatiseras fullständigt och är så uttrycksfull att den till och med kan fånga kvantitativ probabilistisk logik, till vilken vi vänder oss nu.\ psi_m)) ska informellt läsas som 'summan av sannolikheterna för (phi_i)' är minst lika hög som summan av sannolikheten för (psi_j) 's'. Den resulterande logiken kan axiomatiseras fullständigt och är så uttrycksfull att den till och med kan fånga kvantitativ probabilistisk logik, till vilken vi vänder oss nu.\ psi_m)) ska informellt läsas som 'summan av sannolikheterna för (phi_i)' är minst lika hög som summan av sannolikheten för (psi_j) 's'. Den resulterande logiken kan axiomatiseras fullständigt och är så uttrycksfull att den till och med kan fånga kvantitativ probabilistisk logik, till vilken vi vänder oss nu.

3.2 Sammanfattning och produkter med sannolikhetsvillkor

Förslagssannolikhetslogik är förlängningar av propositionslogik som uttrycker numeriska förhållanden mellan sannolikhetsbeteckningar (P (varphi)). En enkel propositionell sannolikhetslogik lägger till propositionella logikformler för formen (P (varphi) ge q), där (varphi) är en proposition för formel och (q) är ett nummer; en sådan formel hävdar att sannolikheten för (varphi) är minst (q). Semantiken formaliseras med hjälp av modeller som består av en sannolikhetsfunktion (mathcal {P}) över en uppsättning (Omega), vars element vardera ges en sanningsuppgift till de atomiska förslagen till propositionens logik. Således är en propositionformel sant vid ett element i (Omega) om sanningsuppgiften för det elementet gör propositionsformeln sann. Formeln (P (varphi) ge q) är sant i modellen om och bara om sannolikheten (matematisk {P}) för uppsättningen av element i (Omega) för vilka (varphi) är sant är åtminstone (q). Se kapitel 3 i Ognjanović et al. (2016) för en översikt över en sådan propositionell sannolikhetslogik.

Vissa propositionella sannolikhetslogiker inkluderar andra typer av formler på objektspråket, till exempel sådana som innefattar summor och produkter med sannolikhetsvillkor. Överklagandet av att involvera summor kan klargöras genom additivitetsvillkoret för sannolikhetsfunktioner (se avsnitt 2.1), som kan uttryckas som (P (phi / vee / psi) = P (phi) + P (psi)) när (neg (phi / kil / psi)) är en tautologi, eller motsvarande som (P (phi / kil / psi) + P (phi / kil / neg / psi) = P (phi)). Sannolikhetslogik som uttryckligen involverar summor av sannolikheter tenderar att i allmänhet inkludera linjära kombinationer av sannolikhetsbegrepp, såsom i Fagin et al. (1990). Här utvidgas propositionslogiken med formler med formen (a_1P (phi_1) + / cdots + a_n P (phi_n) ge b), där (n) är ett positivt heltal som kan skilja sig från formel till formel och (a_1, / ldots, a_n),och (b) är alla rationella siffror. Här är några exempel på vad som kan uttryckas.

  • (P (phi) le q) av (- P (phi) ge -q),
  • (P (phi) <q) av (neg (P (phi) ge q)),
  • (P (phi) = q) av (P (phi) ge q / kil P (phi) le q).
  • (P (phi) ge P (psi)) av (P (phi) -P (psi) ge 0).

Uttryckseffekt med och utan linjära kombinationer: Även om linjära kombinationer ger ett bekvämt sätt att uttrycka många förhållanden mellan sannolikhetsvillkor, är ett språk utan summor av sannolikhetsvillkor fortfarande mycket kraftfullt. Tänk på språket som är begränsat till formler med formen (P (phi) ge q) för någon formelformel (phi) och rationell (q). Vi kan definiera

[P (phi) le q / text {av} P (neg / phi) ge 1-q,)

vilket är rimligt med tanke på att sannolikheten för att en proposition kompletteras är lika med 1 minus propositionens sannolikhet. Formlerna (P (phi)[P (phi / kil / psi) = a / kil P (phi / kil / neg / psi) = b] till P (phi) = a + b)

säger att om sannolikheten för (phi / kil / psi) är (a) och sannolikheten för (phi / kil / neg / psi) är (b), så är sannolikheten för / disjunktion av formlerna (som motsvarar (phi)) är (a + b). Men med användning av linjära kombinationer kan vi hävda att sannolikheterna för (varphi / kil / psi) och (varphi / kil / neg / psi) är additiva genom att använda formeln (P (varphi / kil / psi) + P (varphi / kil / neg / psi) = P (varphi)), formeln utan linjära kombinationer ovan gör det bara om vi väljer rätt siffror (a) och (b). En formell jämförelse av uttrycksförmågan hos propositionella sannolikhetslogik med linjära kombinationer och utan ges i Demey och Sack (2015). Medan två modeller är överens om alla formler med linjära kombinationer om och bara om de är överens om alla formler utan (Lemma 4.1 av Demey och Sack (2015)), är det inte så att någon klass av modeller som kan definieras med en enda formel med linjära kombinationer kan definieras med en enda formel utan (Lemma 4.2 av Demey och Sack (2015)). Speciellt kan klassen av modeller som definieras av formeln (P (p) - P (q) ge 0) inte definieras av någon formel utan kraften i linjära kombinationer.

Sannolikheter som tillhör en given delmängd: Ognjanović och Rašković (1999) utökar sannolikhetslogikens språk med en ny typ av operatör: (Q_F). Intuitivt betyder formeln (Q_F / phi) att sannolikheten för (phi) tillhör (F), för en viss given uppsättning (F / subseteq [0,1]). Denna (Q_F) - operatör kan inte definieras i form av formler för formen (P (phi) ge a). Ognjanović och Rašković (1999) ger en sund och fullständig axiomatisering av denna typ av logiskt system. Nyckelbryggprinciperna, som kopplar (Q_F) - operatören till den mer standard (P) - operatören, är axiomen (P (phi) = a / till Q_F / phi) för alla (a / i F), liksom den infinitära regeln som anger att från (P (phi) = a / till / psi) för alla (a / i F), kan man dra slutsatsen (Q_F / phi / att / psi).

Polynomviktformler: Logik med formelformer för polynomvikt (inbegriper både viktade summor och produkter med sannolikhetsvillkor), kan möjliggöra formler av formen (P (phi) P (psi) -P (phi / kil / psi) = 0), det vill säga sannolikheten för både (phi) och (psi) är lika med produkten av sannolikheterna för (phi) och (psi). Denna formel fångar vad det betyder för (phi) och (psi) för att vara statistiskt oberoende. Sådana logiker undersöktes i Fagin et al. (1990), men mest med första ordningens logikfunktioner inkluderade, och sedan igen i ett enklare sammanhang (utan kvantifierare) i Perović et al. (2008).

Kompakthet och fullständighet: Kompakthet är en egenskap hos en logik där en uppsättning formler är tillfredsställande om varje ändlig delmängd är tillfredsställande. Förslagssannolikhetslogik saknar kompakthetsegenskapen, eftersom varje ändlig delmängd av ({P (p)> 0 } kopp {P (p) leq a \, | \, a> 0 }) är tillfredsställande, men hela uppsättningen är det inte.

Utan kompakthet kan en logik vara svagt fullständig (varje giltig formel kan bevisas i det axiomatiska systemet), men inte starkt fullständigt (för varje uppsättning (Gamma) av formler, kan alla logiska konsekvenser av (Gamma) bevisas från (Gamma) i det axiomatiska systemet). I Fagin et al. (1990) gavs ett bevissystem med linjära kombinationer och logiken visade sig vara både ljud och svagt fullständig. I Ognjanović och Rašković (1999) ges ett sundt och starkt fullständigt bevissystem för propositionell sannolikhetslogik utan linjära kombinationer. I Heifetz och Mongin (2001),ett bevissystem för en variation av logiken utan linjära kombinationer som använder ett typ av system för att möjliggöra iteration av sannolikhetsformler (vi kommer att se i avsnitt 4 hur sådan iteration kan uppnås med möjliga världar) gavs och logiken visades för att vara sund och svagt komplett. De konstaterar också att inget finitetssäkringssystem för en sådan logik kan vara starkt komplett. Ognjanović et al. (2008) presentera en del kvalitativa probabilistiska logiker med infinitära härledningsregler (som kräver ett oändligt antal lokaler) och bevisar stark fullständighet. Goldblatt (2010) presenterar ett starkt komplett bevissystem för en relaterad kolgebraisk logik. Perović et al. (2008) ge ett bevissystem och bevis på stark fullständighet för propositionella sannolikhetslogik med polynomviktsformler. Till sist,en annan strategi för att erhålla stark fullständighet innefattar att begränsa intervallet för sannolikhetsfunktionerna till en fast, ändlig uppsättning siffror; till exempel Ognjanović et al. (2008) diskutera en kvalitativ probabilistisk logik där intervallet för sannolikhetsfunktionerna inte är det fulla verkliga enhetsintervallet ([0,1]), utan snarare den 'diskretiserade' versionen ({0, / frac {1 } {n}, / frac {2} {n}, / punkter, / frac {n-1} {n}, 1 }) (för ett visst fast nummer (n / i / mathbb {N})). Se kapitel 7 i Ognjanović et al. (2016) för en översikt över fullständighetsresultaten.utan snarare den 'diskretiserade' versionen ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (för vissa fasta nummer (n / i / matematik {N})). Se kapitel 7 i Ognjanović et al. (2016) för en översikt över fullständighetsresultaten.utan snarare den 'diskretiserade' versionen ({0, / frac {1} {n}, / frac {2} {n}, / dots, / frac {n-1} {n}, 1 }) (för vissa fasta nummer (n / i / matematik {N})). Se kapitel 7 i Ognjanović et al. (2016) för en översikt över fullständighetsresultaten.

4. Modal Probability Logics

Många sannolikhetslogiker tolkas över ett enda men godtyckligt sannolikhetsutrymme. Modal sannolikhetslogik använder många sannolikhetsutrymmen, var och en förknippad med en möjlig värld eller tillstånd. Detta kan ses som en mindre anpassning till den relationella semantiken i modal logik: snarare än att associera till varje möjlig värld en uppsättning tillgängliga världar som görs i modal logik, associerar modal sannolikhetslogik till varje möjlig värld en sannolikhetsfördelning, ett sannolikhetsutrymme, eller en uppsättning sannolikhetsfördelningar. Språket för modal sannolikhetslogik möjliggör inbäddning av sannolikheter inom sannolikheter, det vill säga det kan till exempel resonera om sannolikheten att (eventuellt en annan) sannolikhet är (1/2). Denna modala inställning som involverar flera sannolikheter har generellt fått en (1) stokastisk tolkning,beträffande olika sannolikheter under de kommande tillstånden ett system kan övergå till (Larsen och Skou 1991), och (2) en subjektiv tolkning, avseende olika sannolikheter som olika agenter kan ha om en situation eller varandras sannolikheter (Fagin och Halpern 1988). Båda tolkningarna kan använda exakt samma formella ramverk.

En grundläggande modal sannolikhetslogik lägger till propositionella logiska formler för formen (P (phi) ge q), där (q) vanligtvis är ett rationellt tal, och (phi) är vilken formel som helst i språk, eventuellt en sannolikhetsformel. Avläsningen av en sådan formel är att sannolikheten för (phi) är minst (q). Denna allmänna avläsning av formeln återspeglar inte någon skillnad mellan modal sannolikhetslogik och annan sannolikhetslogik med samma formel; där skillnaden ligger i förmågan att bädda in sannolikheter i argumenten om sannolikhetsvillkor och i semantiken. Följande underavsnitt ger en översikt över variationerna i hur modal sannolikhetslogik modelleras. I ett fall ändras språket något (avsnitt 4.2), och i andra falllogiken utvidgas till att behandla interaktioner mellan kvalitativ och kvantitativ osäkerhet (avsnitt 4.4) eller dynamik (avsnitt 4.5).

4.1 Grundläggande slutliga modala sannolikhetsmodeller

Formellt sett är en grundläggande ändlig modal probabilistisk modell en tupel (M = (W, / mathcal {P}, V)), där (W) är en ändlig uppsättning möjliga världar eller tillstånd, (mathcal { P}) är en funktion som associerar en distribution (mathcal {P} _w) över (W) till varje värld (w / i W), och (V) är en 'värderingsfunktion' tilldela atomförslag från en uppsättning (Phi) till varje värld. Distributionen utvidgas ytterligare från enskilda världar till uppsättningar av världar: (mathcal {P} _w (S) = / sum_ {s / i S} mathcal {P} _w (s)). De första två komponenterna i en grundläggande modal probabilistisk modell är faktiskt samma som en Kripke-ram vars relation är dekorerad med siffror (sannolikhetsvärden). En sådan struktur har olika namn, till exempel en riktad graf med märkta kanter i matematik, eller ett probabilistiskt övergångssystem inom datavetenskap. Värderingsfunktionen,som i en Kripke-modell, tillåter oss att tilldela egenskaper till världarna.

Semantiken för formler ges i par ((M, w)), där (M) är en modell och (w) är ett element i modellen. En formel (P (phi) ge q) är sant vid ett par ((M, w)), skriven ((M, w) modeller P (phi) ge q), if och bara om (matematisk {P} _w ({w '\ mid (M, w') modeller / phi }) ge q).

4.2 Indexering och tolkningar

Den första generaliseringen, som är vanligast i tillämpningar av modal probabilistisk logik, är att tillåta fördelningarna att indexeras av två uppsättningar snarare än en. Den första uppsättningen är uppsättningen (W) för världar (basuppsättningen för modellen), men den andra är en indexuppsättning (A) som ofta ska tas som en uppsättning åtgärder, agenter eller spelare av en spel. Formellt kopplar (mathcal {P}) en distribution (mathcal {P} _ {a, w}) över (W) för varje (w / i W) och (a / i en). För språket, snarare än att involvera formler av formen (P (phi) ge q), har vi (P_a (phi) ge q), och ((M, w) modeller P_a (phi) ge q) om och bara om (mathcal {P} _ {a, w} ({w '\ mid (M, w') modeller / phi }) ge q).

Exempel: Anta att vi har en indexuppsättning (A = {a, b }) och en uppsättning (Phi = {p, q }) av atomförslag. Tänk på ((W, / matematisk {P}, V)), var

  • (W = {w, x, y, z })
  • (mathcal {P} _ {a, w}) och (mathcal {P} _ {a, x}) karta (w) till (1/2), (x) till (1/2), (y) till (0) och (z) till (0).

    (mathcal {P} _ {a, y}) och (mathcal {P} _ {a, z}) karta (y) till (1/3), (z) till (2/3), (w) till (0) och (x) till (0).

    (mathcal {P} _ {b, w}) och (mathcal {P} _ {b, y}) karta (w) till (1/2), (y) till (1/2), (x) till (0) och (z) till (0).

    (mathcal {P} _ {b, x}) och (mathcal {P} _ {b, z}) karta (x) till (1/4), (z) till (3/4), (w) till (0) och (y) till (0).

  • (V (p) = {w, x })

    (V (q) = {w, y }).

Vi visar detta exempel med följande diagram. Inuti varje cirkel finns en märkning av sanningen för varje proposition för världen vars namn är märkt precis utanför cirkeln. Pilarna anger sannolikheterna. Till exempel anger en pil från världen (x) till världen (z) märkt med ((b, 3/4)) att från (x), troligen av (z) under etiketten (b) är (3/4). Sannolikheter på 0 är inte märkta.

Fyra cirklar var och en med ett möjligt tillstånd av p, q och sannolikhetspilar mellan dem
Fyra cirklar var och en med ett möjligt tillstånd av p, q och sannolikhetspilar mellan dem

Figur

Stokastisk tolkning: Betrakta elementen (a) och (b) i (A) som handlingar, till exempel genom att trycka på knappar på en maskin. I detta fall får du inte ett visst resultat om du trycker på en knapp. Om maskinen till exempel är i tillstånd (x) finns det en (1/2) sannolikhet att den förblir i samma tillstånd efter att ha tryckt på (a), men en (1/4) sannolikheten att förbli i samma tillstånd efter att ha tryckt på (b). Det är, [(M, x) modeller P_a (p / kil / neg q) = 1/2 / kil P_b (p / kil / neg q) = 1/4.)

Ett betydande drag i modal logik i allmänhet (och detta inkluderar modal probabilistisk logik) är förmågan att stödja resonemang av högre ordning, det vill säga resonemanget om sannolikheter för sannolikheter. Vikten av högre ordningssannolikheter framgår av den roll de spelar i till exempel Millers princip, som säger att (P_1 (phi / mid P_2 (phi) = b) = b). Här är (P_1) och (P_2) sannolikhetsfunktioner, som kan ha olika tolkningar, såsom sannolikheten för två agenter, logisk och statistisk sannolikhet eller sannolikheten för en agent vid olika tidpunkter i tid (Miller 1966; Lewis 1980; van Fraassen 1984; Halpern 1991). Sannolikhet med högre ordning förekommer också till exempel i Judy Benjamin Problem (van Fraassen 1981a) där man villkorar sannolik information. Oavsett om man håller med principerna som föreslås i litteraturen om sannolikheter med högre ordning eller inte, tvingar förmågan att representera dem en att undersöka principerna för dem.

För att illustrera resonemang med högre ordning mer konkret återgår vi till vårt exempel och ser att det vid (x) finns en (1/2) sannolikhet att efter att ha tryckt på (a) finns det / / 2) sannolikhet att efter att ha tryckt på (b) kommer det att vara fallet att (neg p) är sant, det vill säga

[(M, x) modeller P_a (P_b (neg p) = 1/2) = 1/2.)

Subjektiv tolkning: Antag att elementen (a) och (b) i (A) är spelare i ett spel. (p) och (neg p) är strategier för spelare (a) och (q) och (neg q) är båda strategier för spelare (b). I modellen är varje spelare säker på sin egen strategi; till exempel hos (x) är spelaren (a) säker på att hon kommer att spela (p) och spelaren (b) är säker på att hon kommer att spela (neg q), det vill säga

[(M, x) modeller P_a (p) = 1 / kil P_b (neg q) = 1.)

Men spelarna slumpmässigt över sina motståndare. Till exempel på (x) är sannolikheten (b) för (a): s sannolikhet för (neg q) (1/2) (1/4), det är

[(M, x) modeller P_b (P_a (q) = 1/2) = 1/4.)

4.3 Troliga utrymmen

Sannolikheter definieras generellt som mått i ett måttutrymme. Ett måttutrymme är en uppsättning (Omega) (provutrymmet) tillsammans med ett (sigma) - algebra (även kallad (sigma) - fält) (matematisk {A}) över (Omega), som är en icke-tom uppsättning delmängder av (Omega) så att (A / i / matematik {A}) innebär att (Omega-A / in / mathcal { A}) och (A_i / in / mathcal {A}) för alla naturliga siffror (i), innebär att (bigcup_i A_i / in / mathcal {A}). En mått är en funktion (mu) definierad på (sigma) - algebra (mathcal {A}), så att (mu (A) ge 0) för varje uppsättning (A / i / matematik {A}) och (mu (bigcup_i A_i) = / sum_i / mu (A_i)) när (A_i / cap A_j = / tommayset) för varje (i, j).

Effekten av (sigma) - algebra är att begränsa domänen så att inte alla delmängder av (Omega) behöver ha en sannolikhet. Detta är avgörande för att vissa sannolikheter ska definieras i oändligt oändliga uppsättningar; till exempel kan en enhetlig fördelning över ett enhetsintervall inte definieras på alla delmängder av intervallet medan man även bibehåller det räknbara tilläggsförhållandet för sannolikhetsåtgärder.

Samma grundspråk som användes för den grundläggande slutliga sannolikhetslogiken behöver inte förändras, men semantiken är något annorlunda: för varje tillstånd (w / i W), komponenten (mathcal {P} _w) för en modal probabilistic modell ersätts av ett helt sannolikhetsutrymme ((Omega_w, / mathcal {A} _w, / mu_w)), så att (Omega_w / subseteq W) och (mathcal {A} _w) är en (sigma) - algebra över (Omega_w). Anledningen till att vi kanske vill att hela utrymmen ska skilja sig från en värld till en annan är att återspegla osäkerhet om vilken sannolikhet rymden är den rätta. För semantik för sannolikhetsformler, ((M, w) modeller P (phi) ge q) om och bara om (mu_w ({w '\ mid (M, w') models / phi }) ge q). En sådan definition är inte väl definierad om ({w '\ mid (M, w') modeller / phi } not / in / mathcal {A} _w). Därför placeras ofta begränsningar på modellerna för att säkerställa att sådana uppsättningar alltid finns i (sigma) - algebrorna.

4.4 Att kombinera kvantitativ och kvalitativ osäkerhet

Även om sannolikheter återspeglar kvantitativ osäkerhet på en nivå kan det också finnas kvalitativ osäkerhet om sannolikheter. Vi kanske vill ha kvalitativ och kvantitativ osäkerhet eftersom vi kanske är så osäkra på vissa situationer att vi inte vill tilldela siffror till sannolikheten för deras händelser, medan det finns andra situationer där vi känner till sannolikheten för deras händelser.; och dessa situationer kan interagera.

Det finns många situationer där vi kanske inte vill tilldela numeriska värden till osäkerheter. Ett exempel är där en dator väljer bit 0 eller 1, och vi vet ingenting om hur denna bit väljs. Resultaten av myntflips används å andra sidan ofta exempel på var vi skulle tilldela sannolikheter till individuella resultat.

Ett exempel på hur dessa kan interagera är där resultatet av biten avgör om ett rättvist mynt eller ett viktat mynt (säg, huvuden med sannolikhet (2/3)) ska användas för ett myntflip. Det finns således kvalitativ osäkerhet om huruvida handlingen med att vända ett mynt ger huvuden med sannolikhet (1/2) eller (2/3).

Ett sätt att formalisera interaktionen mellan sannolikhet och kvalitativ osäkerhet är genom att lägga till en annan relation till modellen och en modal operatör till språket, som görs i Fagin och Halpern (1988, 1994). Formellt lägger vi till en grundläggande begränsad sannolikhetsmodell en relation (R / subseteq W ^ 2). Sedan lägger vi till språket en modal operator (Box), så att ((M, w) models / Box / phi) om och bara om ((M, w ') models / phi) när (w R w ').

Tänk på följande exempel:

  • (W = {(0, H), (0, T), (1, H), (1, T) }),
  • (Phi = {h, t }) är uppsättningen atomförslag,
  • (R = W ^ 2),
  • (P) associerar med ((0, H)) och ((0, T)) distributionskartläggningen ((0, H)) och ((0, T)) vardera till (1/2), och associerar med ((1, H)) och ((1, T)) distributionskartläggningen ((1, H)) till (2/3) och ((1, T)) till (1/3),
  • (V) kartar (h) till uppsättningen ({(0, H), (1, H) }) och (t) till uppsättningen ({(0, T), (1, T) }).

Då är följande formel sann vid ((0, H)): (neg / Ruta h / kil (neg / Ruta P (h) = 1/2) kil (Diamond P (h) = 1/2)). Detta kan läsas eftersom det inte är känt att (h) är sant och det är inte känt att sannolikheten för (h) är (1/2), men det är möjligt att sannolikheten för (h) är (1/2).

4.5 Dynamik

Vi har diskuterat två synpunkter på modal sannolikhetslogik. Den ena är temporär eller stokastisk, där sannolikhetsfördelningen associerad med varje tillstånd bestämmer sannolikheten för övergång till andra tillstånd; en annan handlar om subjektiva perspektiv på agenter, som kan resonera om sannolikheten för andra agenter. Ett stokastiskt system är dynamiskt genom att det representerar sannolikheter för olika övergångar, och detta kan förmedlas genom de modala probabilistiska modellerna själva. Men ur en subjektiv syn är de modala probabilistiska modellerna statiska: sannolikheterna är berörda med vad som för närvarande är fallet. Även om de är statiska i sin tolkning, kan den modala probabilistiska inställningen sättas i ett dynamiskt sammanhang.

Dynamik i en modal probabilistisk miljö handlar vanligtvis om samtidiga förändringar av sannolikheter i potentiellt alla möjliga världar. Intuitivt kan en sådan förändring orsakas av ny information som åberopar en sannolik revision vid varje möjlig värld. De dynamiska subjektiva sannolikheterna modelleras ofta med hjälp av villkorade sannolikheter, såsom i Kooi (2003), Baltag och Smets (2008) och van Benthem et al. (2009). Sannolikheten för (E) villkorad av (F), skriven (P (E / mitten av F)), är (P (E / cap F) / P (F)). Vid uppdatering med en uppsättning (F) ersätts en sannolikhetsfördelning (P) med sannolikhetsfördelningen (P '), så att (P' (E) = P (E / mid F)), så länge (P (F) neq 0). Låt oss anta för återstoden av denna dynamiska underavsnitt att varje relevant uppsättning som beaktas har positiv sannolikhet.

Med hjälp av en sannolikhetslogik med linjära kombinationer kan vi förkorta den villkorade sannolikheten (P (phi / mid / psi) ge q) med (P (phi / kil / psi) - qP (psi) ge 0). I en modal inställning kan en operatör ([! / Psi]) läggas till i språket, så att (M, w / modeller [! / Psi] phi) om och bara om (M ', w / modeller / phi), där (M ') är modellen erhållen från (M) genom att revidera sannolikheterna för varje värld med (psi). Observera att ([! / Psi] (P (phi) ge q)) skiljer sig från (P (phi / mid / psi) ge q), i det i ([! / Psi] (P (phi) ge q)), påverkas tolkningen av sannolikhetsvillkor inuti (phi) av revisionen av (psi), medan i (P (phi / mid / psi)) ge q), det är de inte, och det är därför (P (phi / mid / psi) ge q) utvecklas fint till en annan sannolikhetsformel. Men ([! / Psi] phi) utvecklas också, men i fler steg:

[! / psi] (P (phi) ge q) leftrightrow (psi / till P ([! / psi] phi / mid / psi) ge q).)

För andra överblick över modal sannolikhetslogik och dess dynamik, se Demey och Kooi (2014), Demey och Sack (2015) och bilaga L om sannolik uppdatering i dynamisk epistemisk logik för posten om dynamisk epistemisk logik.

5. Första ordningens sannolikhetslogik

I det här avsnittet kommer vi att diskutera första ordningens sannolikhetslogik. Som förklarades i avsnitt 1 i det här inlägget finns det många sätt på vilka en logik kan ha sannolikhetsfunktioner. Logikens modeller kan ha probabilistiska aspekter, begreppet konsekvens kan ha en probabilistisk smak, eller logikens språk kan innehålla probabilistiska operatörer. I det här avsnittet kommer vi att fokusera på de logiska operatörerna som har en förstklassig smak. Den första ordningen smak är vad som skiljer dessa operatörer från de sannolika modaloperatörerna i föregående avsnitt.

Tänk på följande exempel från Bacchus (1990):

Mer än 75% av alla fåglar flyger.

Det finns en enkel sannolik tolkning av denna mening, nämligen när man slumpmässigt väljer en fågel, då är sannolikheten för att den valda fågeln flyger mer än 3/4. Första ordningens sannolikhetsoperatörer behövs för att uttrycka denna typ av uttalanden.

Det finns en annan typ av mening, till exempel följande mening som diskuteras i Halpern (1990):

Sannolikheten för att Tweety flyger är större än (0,9).

Den här meningen bedömer sannolikheten för att Tweety (en viss fågel) kan flyga. Dessa två typer av meningar behandlas av två olika typer av semantik, där den förra involverar sannolikheter över en domän, medan den senare involverar sannolikheter över en uppsättning möjliga världar som är separata från domänen.

5.1 Ett exempel på en första ordens sannolikhetslogik

I det här avsnittet kommer vi att titta närmare på en speciell första ordningens sannolikhetslogik, vars språk är så enkelt som möjligt, för att fokusera på de sannolika kvantifierarna. Språket är väldigt likt språket i klassisk första ordningslogik, men snarare än den välkända universella och existentiella kvantifieraren innehåller språket en sannolikhetskvantifierare.

Språket är byggt på en uppsättning av enskilda variabler (betecknade med (x, y, z, x_1, x_2, / ldots)), en uppsättning av funktionssymboler (betecknade med (f, g, h, f_1, / ldots)) där en arity är associerad med varje symbol (nollfunktionssymboler kallas också enskilda konstanter), och en uppsättning predikatbokstäver (betecknade med (R, P_1, / ldots)) där en arity är associerad med varje symbol. Språket innehåller två slags syntaktiska objekt, nämligen termer och formler. Villkoren definieras induktivt enligt följande:

  • Varje enskild variabel (x) är en term.
  • Varje funktionssymbol (f) för arity (n) följt av en (n) - tupel av termer ((t_1, / ldots, t_n)) är en term.

Med tanke på denna definition av termer definieras formlerna induktivt enligt följande:

  • Varje predikat bokstav (R) i arity (n) följt av en (n) - tupel av termer ((t_1, / ldots, t_n)) är en formel.
  • Om (phi) är en formel, är så (neg / phi).
  • Om (phi) och (psi) är formler är så ((phi / kil / psi)).
  • Om (phi) är en formel och (q) är ett rationellt tal i intervallet ([0,1]), är så (Px (phi) geq q).

Formler för formen (Px (phi) geq q) ska läsas som:”sannolikheten för att välja ett (x) så att (x) uppfyller (phi) är åtminstone (q)”. Formeln (Px (phi) leq q) är en förkortning av (Px (neg / phi) geq 1-q) och (Px (phi) = q) är en förkortning av (Px (phi) geq q / kil Px (phi) leq q). Varje fri förekomst av (x) i (phi) är bunden av operatören.

Detta språk tolkas på mycket enkla första ordningsmodeller, som är tripplar (M = (D, I, P)), där domänen för diskursen (D) är en begränsad uppsättning av objekt, tolkningen (I) associerar en (n) - ary-funktion på (D) med varje (n) - ary-funktionssymbol som förekommer i språket, och en (n) - ary-relation på (D) med varje (n) - ary predikatbokstav. (P) är en sannolikhetsfunktion som tilldelar en sannolikhet (P (d)) till varje element (d) i (D) så att (sum_ {d / in D} P (d) = 1).

För att tolka formler som innehåller fria variabler behöver man också en tilldelning (g) som tilldelar ett element av (D) till varje variabel. Tolkningen ((! [T] !] _ {M, g}) av en term (t) som ges en modell (M = (D, I, P)) och en uppgift (g) definieras induktivt enligt följande:

  • ((! [x] !] _ {M, g} = g (x))
  • ((! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, g} = I (f) ((! [t_1] !], / ldots, (! [t_n] !]))

Sanningen definieras som en relation (modeller) mellan modeller med uppdrag och formler:

  • (M, g / modeller R (t_1, / ldots, t_n)) iff (((! [T_1] !], / Ldots, (! [T_n] !]) I I (R))
  • (M, g / models / neg / phi) iff (M, g / not / models / phi)
  • (M, g / modeller (phi / kil / psi)) iff (M, g / modeller / phi) och (M, g / modeller / psi)
  • (M, g / modeller Px (phi) geq q) iff (sum_ {d: M, g [x / mapsto d] models / phi} P (d) geq q)

Tänk som exempel på en modell av en vas som innehåller nio kulor: fem är svarta och fyra är vita. Låt oss anta att (P) tilldelar en sannolikhet av 1/9 till varje marmor, vilket fångar idén att man lika sannolikt kan välja någon marmor. Anta att språket innehåller ett unikt predikat (B) vars tolkning är uppsättningen svarta kulor. Setningen (Px (B (x)) = 5/9) är sann i denna modell oavsett uppdrag.

Logiken som vi just presenterade är för enkel för att fånga många former av resonemang om sannolikheter. Vi kommer att diskutera tre tillägg här.

5.1.1 Kvantifiera över mer än en variabel

Först och främst vill man resonera om fall där mer än ett objekt väljs från domänen. Tänk till exempel på sannolikheten för att först plocka en svart marmor, sätta tillbaka den och sedan plocka en vit marmor från vasen. Denna sannolikhet är 5/9 (times) 4/9 = 20/81, men vi kan inte uttrycka detta på språket ovan. För detta behöver vi en operatör som hanterar flera variabler samtidigt, skrivna som (Px_1, / ldots x_n (phi) geq q). Semantiken för sådana operatörer måste då tillhandahålla en sannolikhetsåtgärd på delmängder av (D ^ n). Det enklaste sättet att göra detta är genom att helt enkelt ta produkten från sannolikhetsfunktionen (P) på (D), som kan tas som en förlängning av (P) till tuplingar, där (P (d_1), / ldots d_n) = P (d_1) gånger / cdots / gånger P (d_n)), vilket ger följande semantik:

(M, g / modeller Px_1 / ldots x_n (phi) geq q) iff (sum _ {(d_1, / ldots, d_n): M, g [x_1 / mapsto d_1, / ldots, x_n / mapsto d_n] models / phi} P (d_1, / ldots, d_n) geq q)

Denna strategi tas av Bacchus (1990) och Halpern (1990), vilket motsvarar idén att val är oberoende och med ersättare. Med dessa semantik kan exemplet ovan formaliseras som (Px, y (B (x) kil / neg B (y)) = 20/81). Det finns också mer generella tillvägagångssätt för att utvidga åtgärden på domänen till tupler från domänen, t.ex. av Hoover (1978) och Keisler (1985).

5.1.2 Villkorad sannolikhet

När man betraktar det första exemplet att mer än 75% av alla fåglar flyger, finner man att detta inte kan fångas tillräckligt i en modell där domänen innehåller objekt som inte är fåglar. Dessa objekt ska inte betyda vad man vill uttrycka, utan sannolikhetskvantifierare, kvantifierar över hela domänen. För att begränsa kvantifieringen måste man lägga till villkorade sannolikhetsoperatörer (Px (phi | / psi) geq q) med följande semantik:

  • (M, g / modeller Px (phi | / psi) geq q) iff om det finns en (d / i D) så att (M, g [x / mapsto d] models / psi) då

    (frac { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] modeller / phi / kil / psi} P (d)} { sum_ {d: M, g [x / mapsto d] modeller / psi} P (d)} geq q.)

Med dessa operatörer uttrycker formeln (Px (F (x) mitten B (x))> 3/4) att mer än 75% av alla fåglar flyger.

5.1.3 Sannolikheter som villkor

När man vill jämföra sannolikheten för olika händelser, till exempel att välja en svart boll och välja en vit boll, kan det vara bekvämare att betrakta sannolikheter som termer i sin egen rätt. Det vill säga ett uttryck (Px (phi)) tolkas som att det hänvisar till något rationellt antal. Då kan man utöka språket med aritmetiska operationer som tillägg och multiplikation, och med operatörer som jämlikhet och ojämlikheter för att jämföra sannolikhetsvillkor. Man kan då säga att man är dubbelt så stor risk att välja en svart boll jämfört med en vit boll som (Px (B (x)) = 2 / gånger Px (W (x))). En sådan förlängning kräver att språket innehåller två separata klasser av termer: en för sannolikheter, antal och resultaten av aritmetiska operationer på sådana termer,och en för den diskursdomän som de sannolikhetsoperatörer kvantifierar över. Vi kommer inte att presentera ett sådant språk och semantik i detalj här. Man kan hitta ett sådant system i Bacchus (1990).

5.2 Möjlig värld Första ordningens sannolikhetslogik

I detta underavsnitt överväger vi en första ordningens sannolikhetslogik med en möjlig världssemantik (som vi förkortar FOPL). Språket för FOPL liknar exemplet som vi gav i avsnitt 5.1 relaterat till det för Bacchus, utom här har vi fullständiga kvantifieringsformler med formen ((för alla x) phi) för alla formler (phi) och i stället för sannolikhetsformler för formen (Px (phi) ge q) har vi sannolikhetsformler för formen (P (phi) ge q) (liknande sannolikhetsformlerna i propositionens sannolikhet logik).

Modellerna för FOPL har formen (M = (W, D, I, P)), där (W) är en uppsättning möjliga världar, (D) är en diskursdomän, (I) är en lokaliserad tolkningsfunktion som kartlägger varje (w / i W) till en tolkningsfunktion (I (w)) som associeras till varje funktion och predikatsymbol, en funktion eller predikat med lämplig arity och (P) är en sannolikhetsfunktion som tilldelar en sannolikhet (P (w)) till varje (w) i (W).

På samma sätt som det enkla exemplet tidigare involverar vi en tilldelningsfunktion (g) som mappar varje variabel till ett element i domänen (D). För att tolka termer, för varje modell (M), världen (w / i W) och tilldelningsfunktionen (g), kartlägger vi varje term (t) till domänelement enligt följande:

  • ((! [x] !] _ {M, w, g} = g (x))
  • ((! [f (t_1, / ldots, t_n)] !] _ {M, w, g} = I (w) (f) ((! [t_1] !], / ldots, [! [t_n] !]))

Sanningen definieras enligt en relation (modeller) mellan spetsiga modeller (modeller med utsedda världar) med uppdrag och formler enligt följande:

  • (M, w, g / modeller R (t_1, / ldots, t_n)) iff (((! [T_1] !], / Ldots, (! [T_n] !]) I I (w) (R))
  • (M, w, g / models / neg / phi) iff (M, w, g / not / models / phi)
  • (M, w, g / modeller (phi / kil / psi)) iff (M, w, g / modeller / phi) och (M, w, g / modeller / psi)
  • (M, w, g / modeller (förall x) varphi) iff (M, w, g [x / d] modeller / varphi) för alla (d / i D), där (g [x / d]) är samma som (g) förutom att den kartlägger (x) till (d).
  • (M, w, g / modeller P (varphi) ge q) iff (P ({w '\ mid (M, w', g) models / varphi }) ge q).

Tänk som exempel på en modell där det finns två möjliga vaser: 4 vita kulor och 4 svarta kulor sattes i båda möjliga vaser. Men sedan placerades en annan marmor, kallad, i vasen, men i en möjlig vas var vit, och i den andra var den svart. I slutändan finns det två möjliga vaser: en med 5 svarta kulor och 4 vita kulor, och den andra med 4 svarta kulor och 5 vita kulor. Anta att (P) tilldelar (1/2) sannolikhet till de två möjliga vaserna. Då är (P (B (mathsf {last})) = 1/2) sant för denna variabeltilldelning, och om någon annan variabel tilldelning valdes, har formeln ((existerar x) P (B (x)) = 1/2) skulle fortfarande vara sant.

5.3 Metalogic

I allmänhet är det svårt att tillhandahålla provsystem för första ordningens sannolikhetslogik, eftersom giltighetsproblemet för dessa logiker i allmänhet är oavvisligt. Det är till och med inte fallet, som det är fallet i klassisk första ordningslogik, att om en slutsats är giltig, så kan man ta reda på det i tid (se Abadi och Halpern (1994)).

Det finns dock många resultat för första ordningens sannolikhetslogik. Till exempel studerar Hoover (1978) och Keisler (1985) fullständighetsresultat. Bacchus (1990) och Halpern (1990) tillhandahåller också kompletta axiomatiseringar såväl som kombinationer av första ordningens sannolikhetslogik respektive möjliga världens första ordningssannolikhetslogik. I Ognjanović och Rašković (2000) ges en infinitär fullständig axiomatisering för en mer allmän version av den möjliga världens första ordningssannolikhetslogik som presenteras här.

Bibliografi

  • Abadi, M. och Halpern, JY, 1994, "Bestämbarhet och uttrycksfullhet för första ordens logik av sannolikhet," Information och beräkning, 112: 1–36.
  • Adams, EW och Levine, HP, 1975,”Om de osäkerheter som överförs från premisser till slutsatser i deduktiva slutsatser,” Synthese, 30: 429–460.
  • Adams, EW, 1998, A Primer of Probability Logic, Stanford, CA: CSLI Publications.
  • Arló Costa, H., 2005, "Non-Adjunctive Inference and Classical Modalities", Journal of Philosophical Logic, 34: 581–605.
  • Bacchus, F., 1990, Representerar och resonerar med sannolik kunskap, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Baltag, A. och Smets, S., 2008, "Probabilistic Dynamic Belief Revision", Synthese, 165: 179–202.
  • van Benthem, J., 2017, “Mot alla odds: när logik uppfyller sannolikheten”, i ModelEd, TestEd, TrustEd. Uppsatser tillägnad Ed Brinksma om tillfället av hans 60-årsdag, JP Katoen, R. Langerak och A. Rensink (red.), Cham: Springer, s. 239–253.
  • van Benthem, J., Gerbrandy, J. och Kooi, B., 2009, "Dynamic Update with Probabilities", Studia Logica, 93: 67–96.
  • Boole, G., 1854, En undersökning av tankelagarna, på vilka grundas de matematiska teorierna för logik och sannolikhet, London: Walton och Maberly.
  • Burgess, J., 1969, "Probability Logic", Journal of Symbolic Logic, 34: 264–274.
  • Carnap, R., 1950, Logical Foundations of Probability, Chicago, IL: University of Chicago Press.
  • Cross, C., 1993, "From Worlds to Probabilities: A Probabilistic Semantics for Modal Logic," Journal of Philosophical Logic, 22: 169–192.
  • Delgrande, J. och Renne, B., 2015, "Logiken om kvalitativ sannolikhet", i fortsättningen av den tjugofyra internationella gemensamma konferensen om artificiell intelligens (IJCAI 2015), Q. Yang och M. Wooldridge (red.), Palo Alto, CA: AAAI Press, s. 2904–2910.
  • Demey, L. och Kooi, B., 2014, “Logic and Probabilistic Update,” i A. Baltag och S. Smets (red.), Johan van Benthem på Logic and Information Dynamics, s. 381–404.
  • Demey, L. och Sack, J., 2015, "Epistemic Probabilistic Logic", i Handbook of Epistemic Logic. H. van Ditmarsch, J. Halpern, W. van der Hoek och B. Kooi (red.), London: College Publications, s. 147–202.
  • Dempster, A., 1968, "En generalisering av Bayesianska inferens", Journal of the Royal Statistical Society, 30: 205–247.
  • De Morgan, A., 1847, Formal Logic, London: Taylor och Walton.
  • de Finetti, B., 1937, "La Prévision: Ses Lois Logiques, Ses Sources Subjectives", Annales de l'Institut Henri Poincaré, 7: 1–68; översatt som”Framsyn. Dess logiska lagar, dess subjektiva källor,”i studier i subjektiv sannolikhet, HE Kyburg, Jr. och HE Smokler (red.), Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, s. 53–118.
  • Douven, I. och Rott, H., 2018, "Från sannolikheter till kategoriska övertygelser: Gå utöver leksaksmodeller," Journal of Logic and Computation, 28: 1099–1124.
  • Eagle, A., 2010, Philosophy of Probability: Contemporary Readings, London: Routledge.
  • Fagin, R. och Halpern, JY, 1988, "Resonemang om kunskap och sannolikhet", i fortsättningen av den andra konferensen om teoretiska aspekter av resonemang om kunskap, MY Vardi (red.), Pacific Grove, CA: Morgan Kaufmann, pp. 277-293.
  • ––– 1994,”Resonemang om kunskap och sannolikhet”, Journal of the ACM, 41: 340–367.
  • Fagin, R., Halpern, JY och Megiddo, N., 1990, "En logik för resonemang om sannolikheter", Information and Computation, 87: 78–128.
  • Fitelson, B., 2006, "Inductive Logic", i The Philosophy of Science: An Encyclopedia, J. Pfeifer och S. Sarkar (red.), New York, NY: Routledge, s. 384–394.
  • van Fraassen, B., 1981a, "A Problem for Relative Information Minimizers in Probability Kinematics," British Journal for the Philosophy of Science, 32: 375–379.
  • –––, 1981b,”Probabilistic Semantics Objectified: I. Postulates and Logics,” Journal of Philosophical Logic, 10: 371–391.
  • ––– 1983,”Gentlemen's Wagers: Relevant Logic and Probability,” Philosophical Studies, 43: 47–61.
  • ––– 1984,”Tron och viljan,” Journal of Philosophy, 81: 235–256.
  • Gärdenfors, P., 1975a, "Kvalitativ sannolikhet som en intensiv logik", Journal of Philosophical Logic, 4: 171–185.
  • ––– 1975b,”Några grundläggande teorier om kvalitativ sannolikhet”, Studia Logica, 34: 257–264.
  • Georgakopoulos, G., Kavvadias, D. och Papadimitriou, CH, 1988, "Probabilistic Satisfiability", Journal of Complexity, 4: 1–11.
  • Gerla, G., 1994, "Inferences in Probability Logic", Aritificial Intelligence, 70: 33–52.
  • Gillies, D., 2000, Philosophical Theories of Probability, London: Routledge.
  • Goldblatt, R. (2010) "Avdragssystem för kolgebror över mätbara utrymmen." Journal of Logic and Computation 20 (5): 1069–1100
  • Goldman, AJ och Tucker, AW, 1956, "Theory of Linear Programming", i linjära ojämlikheter och relaterade system. Annals of Mathematics Studies 38, HW Kuhn and AW Tucker (eds.), Princeton: Princeton University Press, s. 53–98.
  • Goosens, WK, 1979, "Alternativa axiomatiseringar av elementär sannolikhetsteori", Notre Dame Journal of Formal Logic, 20: 227–239.
  • Hájek, A., 2001, "Probability, Logic and Probability Logic", i Blackwell Guide to Philosophical Logic, L. Goble (red.), Oxford: Blackwell, s. 362–384.
  • Hájek, A. och Hartmann, S., 2010, “Bayesian Epistemology,” i A Companion to Epistemology, J. Dancy, E. Sosa, och M. Steup (eds.), Oxford: Blackwell, s. 93–106.
  • Haenni, R. och Lehmann, N., 2003, "Probabilistic Argumentation Systems: a New Perspective on Dempster-Shafer Theory," International Journal of Intelligent Systems, 18: 93–106.
  • Haenni, R., Romeijn, J.-W., Wheeler, G., and Williamson, J., 2011, Probabilistic Logics and Probabilistic Networks, Dordrecht: Springer.
  • Hailperin, T., 1965, "Bästa möjliga ojämlikheter för sannolikheten för en logisk funktion av händelser", American Mathematical Monthly, 72: 343–359.
  • ––– 1984,”Probability Logic,” Notre Dame Journal of Formal Logic, 25: 198–212.
  • –––, 1986, Booles logik och sannolikhet, Amsterdam: Nord-Holland.
  • –––, 1996, Sentential Probability Logic: Origins, Development, Current Status and Technical Applications, Bethlehem, PA: Lehigh University Press.
  • Halpern, JY och Rabin, MO, 1987, "En logik för att resonera om sannolikhet", Artificial Intelligence, 32: 379–405.
  • Halpern, JY, 1990, "En analys av första ordens logik av sannolikhet", Artificial Intelligence, 46: 311–350.
  • ––– 1991,”Förhållandet mellan kunskap, tro och säkerhet,” Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 4: 301–322. Errata dök upp i Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 26 (1999): 59–61.
  • –––, 2003, resonemang om osäkerhet, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Hamblin, CL, 1959, "Det modala 'förmodligen'", Mind, 68: 234–240.
  • Hansen, P. och Jaumard, B., 2000, "Probabilistic Satisfiability", i Handbook of Defeasible Reasoning and Uncereness Management Systems. Volym 5: Algoritmer för osäkerhet och defeasible resonemang, J. Kohlas och S. Moral (red.), Dordrecht: Kluwer, s. 321–367.
  • Harrison-Trainor M., Holliday, WH, och Icard, T., 2016, "En anmärkning om annulleringsaxiomer för jämförande sannolikhet", Theory and Decision, 80: 159–166.
  • –––, 2018,”Sluta sannolikhetsjämförelser”, Matematiska samhällsvetenskaper, 91: 62–70.
  • Hartmann, S. och Sprenger J., 2010, “Bayesian Epistemology,” i Routledge Companion to Epistemology, S. Bernecker och D. Pritchard (eds.), London: Routledge, s. 609–620.
  • Heifetz, A. och Mongin, P., 2001, "Sannolikhetslogik för typutrymmen", Spel och ekonomiskt beteende, 35: 31–53.
  • Herzig, A. och Longin, D., 2003, "On Modal Probability and Belief", i fortsättningen av den sjunde europeiska konferensen om symboliska och kvantitativa metoder för resonemang med osäkerhet (ECSQARU 2003), TD Nielsen och NL Zhang (red.), Föreläsningsanteckningar i datavetenskap 2711, Berlin: Springer, s. 62–73.
  • Hoover, DN, 1978, "Probability Logic", Annals of Mathematical Logic, 14: 287–313.
  • Howson, C., 2003, "Probability and Logic", Journal of Applied Logic, 1: 151–165.
  • –––, 2007, “Logik med siffror,” Synthese, 156: 491–512.
  • ––– 2009, “Kan logik kombineras med sannolikhet? Förmodligen,”Journal of Applied Logic, 7: 177–187.
  • Ilić-Stepić, Ognjanović, Z., Ikodinović, N., Perović, A., (2012), “A (p) - adisk sannolikhetslogik,” Matematisk logik kvartalsvis 58 (4-5): 63–280.
  • Jaynes, ET, 2003, Probability Theory: The Logic of Science, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jeffrey, R., 1992, Probability and the Art of Judgment, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Jonsson, B., Larsen, K. och Yi, W., 2001 "Probabilistic Extensions of Process Algebras," i Handbook of Process Algebra, JA Bergstra, A. Ponse, och SA Smolka (red.), Amsterdam: Elsevier, s. 685–710.
  • Kavvadias, D. och Papadimitriou, CH, 1990, "En linjär programmeringsstrategi för resonemang om sannolikheter," Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 1: 189–205.
  • Keisler, HJ, 1985, "Probability Quantifiers," i Model-Theoretic Logics, J. Barwise och S. Feferman (red.), New York, NY: Springer, s. 509–556.
  • Kooi BP, 2003,”Probabilistic Dynamic Epistemic Logic,” Journal of Logic, Language and Information, 12: 381–408.
  • Kraft, CH, Pratt, JW och Seidenberg, A., 1959, "Intuitiv sannolikhet på ändliga uppsättningar", Annals of Mathematical Statistics, 30: 408–419.
  • Kyburg, HE, 1965, "Probability, Rationalality and the Rule of Detachment", i Proceedings of the 1964 International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science, Y. Bar-Hillel (red.), Amsterdam: Nord-Holland, s. 301–310.
  • ––– 1994,”Osäkerhetslogik,” i Handbook of Logic in Artificial Intelligence and Logic Programming, DM Gabbay, CJ Hogger, och JA Robinson (red.), Oxford: Oxford University Press, s. 397–438.
  • Larsen, K. och Skou, A., 1991, "Bisimulation genom Probabilistic Testing," Information and Computation, 94: 1–28.
  • Leblanc, H., 1979, "Probabilistic Semantics for First Order Logic," Zeitschrift für mathematatische Logik und Grundlagen der Mathematik, 25: 497–509.
  • ––– 1983,”Alternativ till standard första ordens semantik,” i Handbook of Philosophical Logic, bind I, D. Gabbay och F. Guenthner (red.), Dordrecht: Reidel, s. 189–274.
  • Leitgeb, H., 2013, "Reducera trosförenklingen till grader av tro", Annals of Pure and Applied Logic, 164: 1338–1389.
  • ––– 2014,”Stabilitetsteorin om tro”, Philosophical Review, 123: 131–171.
  • –––, 2017, Stabiliteten i tron. Hur rationell tro överensstämmer med sannolikhet, Oxford: Oxford University Press.
  • Lewis, D., 1980, "En subjektivists guide till objektiv chans," i studier i induktiv logik och sannolikhet. Volym 2, RC Jeffrey (red.), Berkeley, CA: University of California Press, s. 263–293; återtryckt i filosofiska artiklar. Volym II, Oxford: Oxford University Press, 1987, s. 83–113.
  • Lin, H. och Kelly, KT, 2012a, "En geo-logisk lösning på lotteriparadoxen, med tillämpningar på villkorad logik," Synthese, 186: 531–575.
  • ––– 2012b,”Propositionsresonemang som spårar sannolikt resonemang”, Journal of Philosophical Logic, 41: 957–981.
  • Miller, D., 1966, "A Paradox of Information", British Journal for the Philosophy of Science, 17: 59–61.
  • Morgan, C., 1982a, "Det finns en probabilistisk semantik för varje utvidgning av klassisk meningslogik," Journal of Philosophical Logic, 11: 431–442.
  • –––, 1982b,”Simple Probabilistic Semantics for Propositionional K, T, B, S4 and S5,” Journal of Philosophical Logic, 11: 443–458.
  • ––– 1983,”Probabilistic Semantics for Propositionional Modal Logics”. i Essays in Epistemology and Semantics, H. Leblanc, R. Gumb och R. Stern (red.), New York, NY: Haven Publications, s. 97–116.
  • Morgan, C. och Leblanc, H., 1983, "Probabilistic Semantics for Intuitionistic Logic," Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 161–180.
  • Nilsson, N., 1986, "Probabilistic Logic", Artificiell intelligens, 28: 71–87.
  • –––, 1993,”Probabilistic Logic Revisited,” Artificiell intelligens, 59: 39–42.
  • Ognjanović, Z. och Rašković, M., 1999, "Vissa sannolikhetslogiker med nya typer av sannolikhetsoperatörer," Journal of Logic and Computation 9 (2): 181–195.
  • Ognjanović, Z. och Rašković, M., 2000, "Vissa första ordningens sannolikhetslogik," Teoretisk datavetenskap 247 (1-2): 191–212.
  • Ognjanović, Z., Rašković, M., och Marković, Z., 2016, Probability Logics: Probability-Based Formalization of Uncertain Reasoning, Springer International Publishing AG.
  • Ognjanović, Z., Perović, A. och Rašković, M., 2008, "Logics with the Qualitative Probability Operator", Logic Journal of IGPL 16 (2): 105–120.
  • Paris, JB, 1994, The Uncertain Reasoners Companion, A Mathematical Perspective, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Parma, A. och Segala, R., 2007, "Logiska karaktäriseringar av bisimuleringar för diskreta probabilistiska system", i Proceedings of the 10th International Conference on Foundations of Software Science and Computational Structures (FOSSACS), H. Seidl (ed.), Föreläsningsanteckningar i datavetenskap 4423, Berlin: Springer, s. 287–301.
  • Pearl, J., 1991, "Probabilistic Semantics for Nonmonotonic Reasoning", i filosofi och AI: Essays at the Interface, R. Cummins och J. Pollock (red.), Cambridge, MA: The MIT Press, s. 157–188.
  • Perović, A., Ognjanović, Z., Rašković, M., Marković, Z., 2008, "En probabilistisk logik med polynomviktsformler". I Hartmann, S., Kern-Isberner, G. (red.) Proceedings of the Fifth International Symposium Foundations of Information and Knowledge Systems, FoIKS 2008, Pisa, Italien, 11–15 februari 2008. Lecture Notes in Computer Science, vol. 4932, s. 239–252. Springer.
  • Ramsey, FP, 1926, "Sanning och sannolikhet", i grunderna för matematik och andra uppsatser, RB Braithwaite (red.), London: Routledge och Kegan Paul, 1931, s. 156–198; återtryckt i Studies in Subjektive Probability, HE Kyburg, Jr. och HE Smokler (red.), 2: a upplagan, Malabar, FL: RE Krieger Publishing Company, 1980, s. 23–52; återtryckt i Philosophical Papers, DH Mellor (red.) Cambridge: Cambridge University Press, 1990, s. 52–94.
  • Reichenbach, H., 1949, The Theory of Probability, Berkeley, CA: University of California Press.
  • Romeijn, J.-W., 2011, "Statistik som induktiv logik", i handbok för vetenskapsfilosofi. Vol. 7: Philosophy of Statistics, P. Bandyopadhyay och M. Forster (red.), Amsterdam: Elsevier, s. 751–774.
  • Scott, D., 1964, "Mätningskonstruktioner och linjära ojämlikheter", Journal of Mathematical Psychology, 1: 233–247.
  • Segerberg, K., 1971, "Qualitative Probability in a Modal Setting", i Proceedings 2nd Scandinavian Logic Symposium, E. Fenstad (red.), Amsterdam: North-Holland, s. 341–352.
  • Shafer, G., 1976, A Mathematical Theory of Evidence, Princeton, NJ: Princeton University Press.
  • Suppes, P., 1966, "Probabilistic Inference and the Concept of Total Evidence", i Aspects of Inductive Logic, J. Hintikka och P. Suppes (eds.), Amsterdam: Elsevier, s. 49–65.
  • Szolovits, P. och Pauker SG, 1978,”Kategorisk och sannolik resonemang vid medicinsk diagnos,” Artificiell intelligens, 11: 115–144.
  • Tarski, A., 1936, “Wäklichkeitslehre und mehrwertige Logik”, Erkenntnis, 5: 174–175.
  • Vennekens, J., Denecker, M. och Bruynooghe, M., 2009, "CP-logik: ett språk av kausal probabilistiska händelser och dess relation till logisk programmering," Teori och praktik för logisk programmering, 9: 245–308.
  • Walley, P., 1991, Statistisk resonemang med exakta sannolikheter, London: Chapman och Hall.
  • Williamson, J., 2002, "Probability Logic", i Handbook of the Logic of Argument and Inference: The Turn To the Practical, D. Gabbay, R. Johnson, HJ Ohlbach och J. Woods (eds.), Amsterdam: Elsevier, s. 397–424.
  • Yalcin, S., 2010, "Probability Operators", Philosophy Compass, 5: 916–937.

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

[Vänligen kontakta författaren med förslag.]

Rekommenderas: