Inkonsekvent Matematik

Innehållsförteckning:

Inkonsekvent Matematik
Inkonsekvent Matematik

Video: Inkonsekvent Matematik

Video: Inkonsekvent Matematik
Video: New Математика 3 класс. Сантиметр, миллиметр, дециметр, метр 2024, Mars
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Inkonsekvent matematik

Först publicerad tis 2 juli 1996; substantiell revidering fredag 18 aug 2017

Inkonsekvent matematik är studien av de matematiska teorierna som uppstår när klassiska matematiska axiomer hävdas inom ramen för en (icke-klassisk) logik som kan tolerera förekomsten av en motsägelse utan att förvandla varje mening till ett teorem.

  • 1. Grunden för matematik
  • 2. Aritmetik
  • 3. Analys
  • 4. Geometrisk inkonsekvens
  • 5. Bit och permeat
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Grunden för matematik

Inkonsekvent matematik började historiskt med grundläggande överväganden. Setteoretiska paradoxer noterade av Russell och andra ledde till försök att producera en konsekvent uppsättningsteori som grund för matematik. Men som bekant var uppsättningsteorier som ZF, NBG och liknande på olika sätt ad hoc. Därför ansåg ett antal personer, inklusive da Costa (1974), Brady (1971, 1989), Priest, Routley, & Norman (1989, s. 152, 498) det vara att föredra att behålla den fulla kraften i den naturliga förståelseprincipen (varje predikat bestämmer en uppsättning), och tolererar en grad av inkonsekvens i uppsättningsteorin. Brady, i synnerhet, har utökat, effektiviserat och förenklat dessa resultat på naiv setteori i sin bok (2006); för ett tydligt konto se även Restall's review (2007).

Dessa konstruktioner kräver naturligtvis att man åtminstone undviker den logiska principen ex contradictione quodlibet (ECQ) (från en motsägelse kan varje förslag dras, även nyligen kallad explosion), liksom alla principer som leder till det, t.ex. disjunctive syllogism (DS) (från A-eller-B och inte-A härled B). ECQ trivialiserar alla inkonsekventa teorier (trivialitet = varje mening är bevisbar), vilket gör den värdelös för matematisk beräkning. Men en betydande debatt (Burgess 1981, Mortensen 1983) gjorde det tydligt att dispensering med ECQ och DS inte var så motintuitiv, särskilt när en trolig historia uppstod om de speciella förhållanden under vilka de fortsätter att hålla.

Det bör också noteras att Bradys konstruktion av naiv uppsättningsteori öppnar dörren till en återupplivning av Frege-Russell-logik, som i stor utsträckning, även av Frege själv, hade skadats hårt av Russell-paradoxen. Om Russell motsägelse inte sprider sig, finns det inget uppenbart skäl till varför man inte bör ta uppfattningen att naiv uppsättningsteori ger en tillräcklig grund för matematik, och att naiv uppsättningsteori kan dras från logiken via det naiva förståelsesschemat. Den enda förändringen som behövs är en övergång till en inkonsekvenstolerant logik. Ännu mer radikalt har Weber i relaterade artiklar (2010), (2012) tagit inkonsekvensen för att vara en positiv dygd, eftersom det gör det möjligt för oss att lösa flera frågor som lämnats öppna av Cantor, nämligen att den välordnande teorem och valet axiom är bevisbara,och att kontinuumhypotesen är falsk (2012, 284). Vissa av dessa kommer sannolikt ut både sanna och falska; varvid Weber är bekymrad för att framställa bevis på den klassiska återvinningen, vilket är projektet att visa att traditionella resultat förblir sanna (2010, 72). Detta är ett nytt liv. Weber visade också något väsentligt för detta projekt, nämligen att Cantors sats fortsätter att hålla; det vill säga, det beror inte på alltför starka logiska principer som ifrågasätts av parakonsistentister. Att behålla Cantors teorem är viktigt enligt Webers uppfattning, eftersom olika oändlighetsordningar förblir tillgängliga i inkonsekvent setteori.vilket är projektet att visa att traditionella resultat förblir sanna (2010, 72). Detta är ett nytt liv. Weber visade också något väsentligt för detta projekt, nämligen att Cantors sats fortsätter att hålla; det vill säga, det beror inte på alltför starka logiska principer som ifrågasätts av parakonsistentister. Att behålla Cantors teorem är viktigt enligt Webers uppfattning, eftersom olika oändlighetsordningar förblir tillgängliga i inkonsekvent setteori.vilket är projektet att visa att traditionella resultat förblir sanna (2010, 72). Detta är ett nytt liv. Weber visade också något väsentligt för detta projekt, nämligen att Cantors sats fortsätter att hålla; det vill säga, det beror inte på alltför starka logiska principer som ifrågasätts av parakonsistentister. Att behålla Cantors teorem är viktigt enligt Webers uppfattning, eftersom olika oändlighetsordningar förblir tillgängliga i inkonsekvent setteori.eftersom olika oändlighetsordningar förblir tillgängliga i inkonsekvent uppsättningsteori.eftersom olika oändlighetsordningar förblir tillgängliga i inkonsekvent uppsättningsteori.

Dessutom har matematik ett metallspråk för att tala om själva matematiken. Detta inkluderar begreppen: (i) namn på matematiska uttalanden och andra delar av syntax, (ii) självreferens, (iii) bevis och (iv) sanning. Gödels bidrag till matematikfilosofin var att visa att de tre första av dessa kan uttryckas noggrant i aritmetiska teorier, om än i teorier som antingen är inkonsekventa eller ofullständiga. Möjligheten till ett välstrukturerat exempel på det förra av dessa två alternativ, inkonsekvens, togs inte på allvar, på grund av tron på ECQ. Men dessutom verkar naturliga språk ha sin egen sanningspredikat. Kombinerat med självreferens ger detta Liar-paradoxen, "Denna mening är falsk", en inkonsekvens. Priest (1987) och Priest, Routley and Norman (1989, p.154) hävdade att Liar måste betraktas som ett uttalande både sant och falskt, en sann motsägelse. Detta representerar ytterligare ett argument för att studera inkonsekventa teorier, nämligen påståendet att vissa motsägelser är sanna, även känd som dialeteism. Kripke (1975) föreslog istället att modellera en sanningspredikat på ett annat sätt, i en konsekvent ofullständig teori. Vi ser nedan att ofullständighet och inkonsekvens är nära besläktade.

2. Aritmetik

Men dessa kommentarer har handlat om grunder, och matematik är inte dess grunder. Därför finns det ett ytterligare oberoende motiv, för att se vilken matematisk struktur som finns kvar var konsistensen begränsas. Men det skulle vara fel att betrakta detta som på något sätt avvisande av strukturerna som studerats i klassisk matematik: inkonsekventa strukturer representerar ett tillägg till kända strukturer.

Robert K. Meyer (1976) verkar ha varit den första som tänkte på en inkonsekvent aritmetisk teori. Vid denna tidpunkt var han mer intresserad av ödet för en konsekvent teori, hans relevanta aritmetiska R #. Detta motsvarar axiomerna för Peano-aritmetik, med en bas för den kvantifierade relevanta logiken RQ, och Meyer hoppades att den svagare basen för relevant logik skulle tillåta fler modeller. Han hade rätt. Det visade sig finnas en hel klass av inkonsekventa aritmetiska teorier; se till exempel Meyer och Mortensen (1984). Parallellt med ovanstående kommentarer om rehabilitering av logik, hävdade Meyer att dessa aritmetiska teorier utgör grunden för ett återupplivat Hilbert-program. Hilberts program var projektet att noggrant formalisera matematik och bevisa dess konsekvens genom enkla finitära / induktiva förfaranden. Det ansågs allmänt ha skadats allvarligt av Gdeles andra inkompleten teorem, enligt vilken aritmetikens konsistens var obeskrivlig inom själva aritmetiken. Men en konsekvens av Meyers konstruktion var att inom hans aritmetiska R # kunde det påvisas med finitiska medel att oavsett motsättningar som det kan hända att de inte kunde påverka några numeriska beräkningar negativt. Därför visar Hilberts mål att på ett slutgiltigt sätt visa att matematik är problemfritt till stor del uppnås så länge som inkonsekventtoleranta logiker används. Men en konsekvens av Meyers konstruktion var att inom hans aritmetiska R # kunde det påvisas med finitiska medel att oavsett motsägelser som det kan hända, de inte kunde påverka negativa numeriska beräkningar. Därför visar Hilberts mål att på ett slutgiltigt sätt visa att matematik är problemfri, till stor del uppnåelig så länge som inkonsekventtoleranta logiker används. Men en konsekvens av Meyers konstruktion var att inom hans aritmetiska R # kunde det påvisas med finitiska medel att oavsett motsägelser som det kan hända, de inte kunde påverka negativa numeriska beräkningar. Därför visar Hilberts mål att på ett slutgiltigt sätt visa att matematik är problemfri, till stor del uppnåelig så länge som inkonsekventtoleranta logiker används.

De aritmetiska modellerna som använts av Meyer och Mortensen visade sig senare möjliggöra inkonsekvent representation av sanningspredikatet. De tillåter också representation av strukturer utöver det naturliga antalet aritmetiska, såsom ringar och fält, inklusive deras ordningsegenskaper. Axiomatiseringar tillhandahölls också. Nyligen har de begränsade inkonsekventa aritmetiska kollapsmodellerna, en strikt större klass än de som studerats av Meyer och Mortensen, kännetecknats fullständigt av Graham Priest. Kollapsmodeller erhålls från klassiska modeller genom att kollapsa domänen till kongruensklasser genererade av olika kongruensrelationer. När medlemmar i samma kongruensklass identifieras är teorierna producerade inkonsekventa. Till exempel kollaps Meyers ursprungliga konstruktion heltal under kongruensmodulo 2. Detta sätter 0 och 2 i samma kongruensklass och i en lämplig tre-värderad logik, både 0 = 2 och inte- (0 = 2). Priest visade att dessa modeller har en viss allmän form, se Priest (1997) och (2000). Strängt taget gick Priest lite för långt med att inkludera”klickmodeller”. Detta korrigerades av Paris och Pathmanathan (2006) och utvidgades till det oändliga av Paris och Sirokfskich (2008). Ännu mer nyligen erhöll Tedder (2015) axiomatiseringar för klassen av ändliga kollapsmodeller med en annan bakgrundslogik, Avrons A3.och utvidgades till det oändliga av Paris och Sirokfskich (2008). Ännu mer nyligen erhöll Tedder (2015) axiomatiseringar för klassen av ändliga kollapsmodeller med en annan bakgrundslogik, Avrons A3.och utvidgades till det oändliga av Paris och Sirokfskich (2008). Ännu mer nyligen erhöll Tedder (2015) axiomatiseringar för klassen av ändliga kollapsmodeller med en annan bakgrundslogik, Avrons A3.

3. Analys

Man kunde knappt ignorera exempel på analys och dess speciella fall, kalkylen. För en modellteoretisk inställning till dessa, se Mortensen (1990, 1995)

Meyers ursprungliga inställning till de naturliga siffrorna, det vill säga R #, var axiomatisk snarare än modellteoretik. Den axiomatiska metoden har också tagits i analys av McKubre-Jordens och Weber (2012). I axiomatiseringsanalys med en bas av parakonsistent logik driver deras papper Meyers inställning till aritmetik via R # långt längre. Samma författare (kommande) omarbetar teorin om integration som den var i Archimedes händer, som använder metoden för utmattning med hjälp av parakonsistenta resonemang. Detta ger ett resultat "upp till inkonsekvens", vilket innebär att man kan bevisa "Klassiskt resultat eller motsägelse". Det klassiska resultatet kan då ses att det kan återvinnas av den klassiska drag-disjunktiva syllogismen som tillämpas på den klassiskt falska (inkonsekventa) andra disjunkten.

Det är verkligen viktigt och värt att fortsätta denna riktning, men här är en mild försiktighet: det axiomatiska projektet skiljer sig lite från inkonsekvent matematik. Som nämnts tidigare var Meyer i denna fas konsekvent - han sökte en konsekvent teori med en inkonsekventtolerant logik. Med liknande motivation var han också bekymrad över att försöka lösa det som han kallade "gammaproblemet", vilket i huvudsak var frågan om den axiomatiska teorin R # kunde visas att innehålla klassisk Peano-aritmetik som en subteori. Om detta var så, skulle hans bevis på nontrivialitet för R # omedelbart ge ett nytt bevis på negationskonsistensen i klassisk Peano-aritmetik! Observera att detta inte skulle strida mot Godels andra teorem, eftersom antagligen beviset för gammasultatet inte skulle begränsas till finitiska tekniker.(När det gäller Meyers teori visade det sig inte vara så.)

Det har visat sig vara många platser i hela analysen där det finns distinkta inkonsekventa insikter. Exemplen i resten av detta avsnitt är hämtade från Mortensen (1995). Till exempel: (1) Robinsons (1974) icke-standardanalys baserades på oändliga siffror, mängder mindre än något reellt antal, såväl som deras ömsesidiga, det oändliga antalet. Detta har en inkonsekvent version, som har vissa fördelar för beräkning för att kunna kassera oändligt högre ordning. Intressant nog visade differentieringsteorin sig ha dessa fördelar, medan teorin om integration inte gjorde det. Ett liknande resultat, med användning av en annan bakgrundslogik, erhölls av Da Costa (2000). (2) En annan plats att hitta tillämpningar av inkonsekvens i analysen är topologi,där man enkelt observerar praxis att klippa och klistra in i utrymmen som beskrivs som”identifiering” av en gräns med en annan. Man kan visa att detta kan beskrivas i en inkonsekvent teori där de båda gränserna är både identiska och inte identiska, och det kan vidare hävdas att detta är den mest naturliga beskrivningen av praxis. (3) Ytterligare en tillämpning är klassen av inkonsekventa kontinuerliga funktioner. Inte alla funktioner som är klassiskt diskontinuerliga är möjliga för inkonsekvent behandling; men vissa är till exempel f (x) = 0 för alla x <0 och f (x) = 1 för alla x ≥0. Den inkonsekventa förlängningen ersätter den första <med ≤ och har distinkta strukturella egenskaper. Dessa inkonsekventa funktioner kan mycket väl ha vissa tillämpningar i dynamiska system där det finns diskontinuerliga hopp,såsom kvantmätningssystem. Att differentiera sådana funktioner leder till deltafunktionerna, tillämpade av Dirac för studiet av kvantmätning. (4) Därefter finns det välkända fallet av inkonsekventa system av linjära ekvationer, såsom systemet (i) x + y = 1, plus (ii) x + y = 2. Sådana system kan potentiellt uppstå inom ramen för automatiserad kontroll. Lite arbete har klassiskt gjorts för att lösa sådana system, men det kan visas att det finns väl uppförda lösningar inom inkonsekventa vektorrum. (5) Slutligen kan man notera en ytterligare tillämpning inom topologi och dynamik. Med tanke på en antagning som verkar vara tänkbar, nämligen att oavsett vad som händer eller är sant, händer eller är sant på en öppen uppsättning (rymdtid) punkter, har man att logiken för dynamiskt möjliga vägar är öppen uppsättning logik, det vill säga intuitionist logik,som stöder ofullständiga teorier par excellence. Detta beror på att den naturliga berättelsen om förslagets förnekande i ett sådant utrymme säger att det håller på den största öppna uppsättningen som finns i det booleska komplementet till den uppsättning punkter som den ursprungliga propositionen innehöll, som i allmänhet är mindre än den booleska komplement. Att specificera ett topologiskt utrymme med sina slutna uppsättningar är dock lika rimligt som att specificera det med dess öppna uppsättningar. Ändå är logiken för stängda uppsättningar känd för att vara parakonsistent, dvs. stöder inkonsekventa icke-triviala teorier; se till exempel Goodman (1981). Med tanke på den (alternativa) antagandet, som också verkar vara tänkbar, nämligen att vad som är sant är sant på en stängd uppsättning punkter, har man att inkonsekventa teorier kan hålla. Detta beror på att den naturliga berättelsen om förslagets nekande,nämligen att den håller på den minsta stängda uppsättningen som innehåller den booleska negationen av förslaget, innebär att både påståendet och dess negation håller på den överlappande gränsen. Således bestämmer dynamiska teorier sin egen logik över möjliga förslag, och motsvarande teorier som kan vara inkonsekventa, och är säkert lika naturliga som deras ofullständiga motsvarigheter.

Om stängd uppsättning logik och gränser som en naturlig miljö för motsägelsefulla teorier, se Mortensen (2003, 2010). Weber och Cotnoir (2015) utforskar också inkonsekvensen av gränser, som härrör från oförenligheten mellan de tre principerna (i) det finns gränser, (ii) rymden är topologiskt ansluten, och (iii) diskreta enheter kan vara i kontakt (dvs. utrymme mellan dem). Detta är ett mycket intressant problem, eftersom alla tre är troliga; särskilt verkar det finnas gränser i vår värld. Ett initialt överraskande drag i detta konto är att gränserna kommer ut som "tomma"; trots allt är nullenheter i strid med merologins anda. Men detta är inte så chockerande eftersom det visar sig att de bara är tomma i den meningen att de har medlemmar inkonsekvent.

Kategoriteori kasta ljus på många matematiska strukturer. Det har verkligen föreslagits som en alternativ grund för matematik. Sådan generalitet stöter oundvikligen på problem som liknar de som är förståelse i uppsättningsteorin; se t.ex. Hatcher 1982 (s. 255–260). Därför finns det samma möjliga tillämpning av inkonsekventa lösningar. Det finns också en viktig samling av kategoriska strukturer, toposerna, som stöder öppen uppsättningslogik exakt parallellt med sättet som stöder booleska logik. Detta har tagits av många för att vara en bekräftelse av den grundläggande synvinkeln på matematisk intuitionism. Det kan emellertid bevisas att toposerna stöder stängd uppsättningslogik lika enkelt som att de stöder öppen uppsättningslogik, hittills den enda kategoriteoretiska semantiken för en parakonsistent logik. Detta bör inte ses som en invändning mot intuitionism, dock så mycket som ett argument att inkonsekventa teorier är lika rimliga som objekt i matematisk studie. Se Mortensen (kap. 11 kap. 1995, medförfattare Lavers). Denna position har nu tagits upp, utökats och försvarats av Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Samma författare (2016) åtar sig att tillhandahålla en kategoriteoretisk beskrivning av triviala teorier, i syfte att visa att trivialitet inte är en så ointressant funktion som matematiska teorier kan ha. Den nuvarande författaren förblir övertygad, eftersom en trivial teori säkert är värdelös för matematisk beräkning; men argumentens uppfinningsrikedom måste erkännas.medförfattare Lavers). Denna position har nu tagits upp, utökats och försvarats av Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Samma författare (2016) åtar sig att tillhandahålla en kategoritetteoretisk beskrivning av triviala teorier, i syfte att visa att trivialitet inte är en så ointressant funktion som matematiska teorier kan ha. Den nuvarande författaren förblir övertygad, eftersom en trivial teori säkert är värdelös för matematisk beräkning; men argumentens uppfinningsrikedom måste erkännas.medförfattare Lavers). Denna position har nu tagits upp, utökats och försvarats av Estrada-Gonzales (2010, 2015a, 2015b). Samma författare (2016) åtar sig att tillhandahålla en kategoritetteoretisk beskrivning av triviala teorier, i syfte att visa att trivialitet inte är en så ointressant funktion som matematiska teorier kan ha. Den nuvarande författaren förblir övertygad, eftersom en trivial teori säkert är värdelös för matematisk beräkning; men argumentens uppfinningsrikedom måste erkännas. Den nuvarande författaren förblir övertygad, eftersom en trivial teori säkert är värdelös för matematisk beräkning; men argumentens uppfinningsrikedom måste erkännas. Den nuvarande författaren förblir övertygad, eftersom en trivial teori säkert är värdelös för matematisk beräkning; men argumentens uppfinningsrikedom måste erkännas.

Dualitet mellan ofullständighet / intuitionism och inkonsekvens / parakonsistens har åtminstone två aspekter. Först är det ovanstående topologiska (öppna / stängda) dualitet. För det andra finns Routley * dualitet. Routley Star * i en uppsättning meningar S definieras som S * = df {A: ~ A är inte i S}. Upptäckt av Routleys (1972) som ett semantiskt verktyg för relevant logik, dualiserar * operationen mellan inkonsekventa och ofullständiga teorier från den stora naturliga klassen av Morgan-logiken. Båda typerna av dualitet interagerar också, där * ger distinkt teoritet för öppenhet och stängd uppsättning och aritmetiska uppsättningar. På grundval av dessa resultat är det rättvist att hävda att båda typerna av matematik, intuitionist och parakonsistent, är lika rimliga.

4. Geometrisk inkonsekvens

En mycket ny utveckling är tillämpningen för att förklara fenomenet med inkonsekventa bilder. De mest kända av dessa är kanske MC Eschers mästerverk Belvedere, Waterfall and Ascending and Descending. I själva verket går traditionen tillbaka årtusenden till Pompeji. Escher verkar ha härlett många av sina intuitioner från den svenska konstnären Oscar Reutersvärd, som började sitt inkonsekventa arbete 1934. Escher samarbetade också aktivt med den engelska matematikern Roger Penrose. Det har gjorts flera försök att beskriva den matematiska strukturen för inkonsekventa bilder med klassisk konsekvent matematik, av teoretiker som Cowan, Francis och Penrose. Som påstås i Mortensen (1997) kan emellertid ingen konsekvent matematisk teori fånga uppfattningen att man ser en omöjlig sak. Endast en inkonsekvent teori kan fånga innehållet i den uppfattningen. Detta motsvarar ett överklagande till en kognitiv motivering av parakonsistens. Man kan sedan fortsätta att visa inkonsekventa teorier som är kandidater för sådant inkonsekvent innehåll. Det finns en analogi med klassisk matematik på denna punkt: projektiv geometri är en klassisk konsekvent matematisk teori som är intressant eftersom vi är varelser med ett öga, eftersom det förklarar varför det är så att saker ser ut som de gör i perspektiv.projektiv geometri är en klassisk konsekvent matematisk teori som är intressant eftersom vi är varelser med ett öga, eftersom det förklarar varför det är så att saker ser ut som de gör i perspektiv.projektiv geometri är en klassisk konsekvent matematisk teori som är intressant eftersom vi är varelser med ett öga, eftersom det förklarar varför det är så att saker ser ut som de gör i perspektiv.

Inkonsekventa geometriska studier vidareutvecklas i Mortensen (2002a), där kategoriteori används för att ge en allmän beskrivning av förhållandena mellan de olika teorierna och deras konsekventa nedskärningar och ofullständiga dualer. För en informell redogörelse som belyser skillnaden mellan visuella "paradoxer" och de filosofiskt mer vanliga språkparadoxerna, såsom Liar, se Mortensen (2002b).

På senare tid har inkonsekventa matematiska beskrivningar erhållits för flera klasser av inkonsekventa figurer, exemplifierade av Eschers Cube (finns i hans tryck Belvedere), Reutersvärd-Penrose triangeln och andra. Se Mortensen (2010).

5. Bit och permeat

Nyligen har en alternativ teknik för att hantera motsägelser generellt framkommit. Brown och Priest (2004) har föreslagit en teknik som de kallar”Chunk and Permeate”, där resonemang från inkonsekventa förutsättningar fortsätter genom att dela antagandena i konsekventa teorier (bitar), erhålla lämpliga konsekvenser och sedan överföra (genomträngande) dessa konsekvenser till en annan bit för att ytterligare konsekvenser kan härledas. De antyder att Newtons ursprungliga resonemang när det gäller att ta derivat i beräkningen var av denna form. Detta är ett intressant och nytt tillvägagångssätt, även om det måste uppfylla invändningen att för att tro en slutsats som erhållits på denna grund bör man tro alla förutsättningar lika; och så bör ett argument av den vanligare formen, som tilltalar alla förutsättningar utan att fragmentera dem, så småningom komma. Invändningen är alltså att Chunk and Permeate är en del av upptäcktsförhållandena snarare än rättfärdigas sammanhang.

Nyligen har Benham et. al. (2014) har utvidgat dessa metoder till Dirac delta-funktionen. Detta breddar applikationsklassen och stärker så tekniken. Det blir emellertid också tydligt där, att det finns en nära parallell mellan (en stor klass av) Chunk- och Permeate-applikationer, och (konsekvent) icke-standardanalys: varhelst Chunk och Permeate tar ett derivat genom att skifta bitar till en där oändliga dimensioner är noll, icke-standardanalys kräver ett derivat genom att definiera derivat som endast "standarddelar". Naturligtvis visar ekvivalensen mellan dessa två tekniker inte vilken som är förklarande djupare. Utvecklingen väntar med intresse.

6. Sammanfattning

Avslutningsvis: det har nyligen dykt upp en hel del filosofiskt material, vilket är sympatiskt för orsaken till inkonsekvent matematik. Colyvan (2000) tar upp frågan att inkonsekventa matematiska teorier innebär inkonsekventa matematiska objekt som deras ämnen. Han tar också upp den viktiga uppgiften att redogöra för hur inkonsekvent matematik kan ha en gren som används matematik. Priest (2013) noterar, liksom Colyvan, att inkonsekvent matematik bidrar till platonistmixen. Berto (2007) undersöker användbart paradoxer och grundläggande problem, och redogör för några av de aritmetiska resultaten som berör viktiga filosofiska frågor som bristande teorier. Van Bendegem (2014) strävar efter den intressanta motivationen att förändring alltid är ett tillstånd av anomali, så att alltid förändring innebär alltid anomal. Exempel inkluderar infinitesimals, komplexa tal och oändlighet. Försiktighet bör vidtas när man tänker på att inkonsekvens alltid är anomal, dock bara för att det helt enkelt är mer material för matematisk studie.

Det bör betonas igen att dessa strukturer inte på något sätt utmanar eller förkastar befintlig matematik utan snarare utvidgar vår uppfattning om vad som är matematiskt möjligt. Detta skärper i sin tur frågan om matematisk pluralism; se t.ex. Davies (2005), Hellman and Bell (2006) eller Priest (2013). Olika författare har olika versioner av matematisk pluralism, men det är någonting som inkompatibla matematiska teorier kan vara lika sant. Fallet för matematisk pluralism beror på iakttagelsen att det finns olika matematiska "universum" där olika, verkligen oförenliga, matematiska teorier eller lagar har. Välkända exempel är inkompatibiliteten mellan klassisk matematik och intuitionistisk matematik och inkompatibiliteten mellan ZF-liknande universum i uppsättningar med, och utan,valet Axiom. Det verkar absurt att säga att ZF med Choice är sann matematik och ZF utan Choice är falsk matematik, om de båda är legitima exempel på matematiskt väl uppförda teorier.

Den primära frågan för matematikfilosofin är säkert vad som är matematik. Dualitetsoperationer som topologisk dualitet eller Routley * förstärker poängen att ofullständiga / inkonsekventa dualer är lika rimliga som exempel på matematik. Ur denna synvinkel verkar tvister om vilken intuitionistisk eller klassisk eller inkonsekvent matematik att acceptera verkar meningslösa; de är alla en del av ämnet för matematik. Denna poäng görs effektivt av Shapiro (2014, däremot se hans 2002). Shapiros särskiljande position har andra ingredienser: matematik som vetenskapen om struktur och matematisk pluralism som antyder logisk pluralism (om logisk pluralism se även Beall och Restall 2006); men vi tar inte upp dessa här.

För vad det är värt, tror den nuvarande författaren att någon version av matematisk pluralism är uppenbarligen sant, om man tar matematik för att för det första handla om matematiska teorier som möjliggör inkonsekvens, och endast för det andra om de objekt som är inre i dessa teorier. Det finns naturligtvis inga problem med inkompatibla teorier, som strukturer i förslag, som existerar. Teoriernas företräde passar också med den naturliga iakttagelsen att matematikens epistemologi är deduktivt bevis. Det är bara om man tar utgångspunkt från det matematiska objektets företräde som teoribildare, man måste oroa sig för hur deras objekt lyckas samexistera.

Bibliografi

  • Beall, JC och G. Restall, 2006, Logical Pluralism, Oxford: The Clarendon Press.
  • Benham, R., C. Mortensen och G. Priest, 2014, “Chunk and Permeate III: The Dirac Delta Function”, Synthese, 191 (13): 3057-3062. doi: 10,1007 / s11229-014-0473-7
  • Berto, F., 2007, How to Sell a Contradiction, London: College Publications.
  • Brady, R., 1971, "Konsekvensen av axiomerna för abstraktion och utvidgning i en trevärderad logik", Notre Dame Journal of Formal Logic, 12: 447–453.
  • –––, 1989, “The Nontriviality of Dialectical Set Theory”, i G. Priest, R. Routley och J. Norman (red.), Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
  • –––, 2006, Universal Logic, Stanford: CSLI Publications.
  • Brown, B. och G. Priest, 2004, “Chunk and Permeate: A Paraconsistent Infernestrategi. Del I: The Infinitesimal Calculus”, Journal of Philosophical Logic, 33: 379–388.
  • Burgess, J., 1981, "Relevans, en fallositet?", Notre Dame Journal of Formal Logic, 22: 97–104.
  • Colyvan, M., 2000, "Tillämpa inkonsekvent matematik", New Waves in the Philosophy of Mathematics, O. Bueno och O. Limmbo (red.), London: Palgrave McMillan, 160-172.
  • Da Costa, Newton CA, 1974, “On the Theory of Inconsistent Formal Systems”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 15: 497–510.
  • –––, 2000,”Paraconsistent Mathematics”, i D. Batens et al. (red.), Frontiers of Paraconsistent Logic, Hertfordshire: Research Studies Press, 165–180.
  • Davies, EB, 2005 “A Defense of Mathematical Pluralism”, Philosophia Mathematica, 13: 252–276.
  • Estrada-Gonzales, L., 2010, “Komplement-Topoi och Dual Intuitionistic Logic”, Australasian Journal of Logic, 9: 26–44.
  • –––, 2015a, “The Evil Twin: The Basics of Complement-toposes”, i Beziau, Chakraborty och Dutta (red.), Nya anvisningar i Paraconsistent Logic, Dordrecht: Springer: 375-425.
  • ––– 2015b, “Från (parakonsistent) topos-logik till universell (topos) -logik”, i Koslow och Buchsbaum (red.), Vägen till universell logik: Festschrift för Jean-Yves Beziau på sin femtioårsdag, Dordrecht: Springer 263-295.
  • ––– 2016, “Prospects for Triviality”, i H. Andreas och P. Verdee (red.), Logical Studies of Paraconsistent Reasoning in Science and Mathematics, Dordrecht: Springer, 81-89.
  • Goodman, N., 1981, “The Logic of Contradictions”, Zeitschrift fur Mathematische Logic und Grundlagen der Arithmetik, 27: 119–126.
  • Hatcher, WS, 1982, The Logical Foundations of Mathematics, Oxford: Pergamon.
  • Hellman, G. och J. Bell, 2006, "Pluralism and the Foundations of Mathematics", i CK Waters et al. (red.), Scientific Pluralism (Minnesota Studies in the Philosophy of Science, Volume XIX), Minneapolis: University of Minnesota Press.
  • Kripke, S., 1975, "Outline of a Theory of Truth", Journal of Philosophy, 72: 690–716.
  • McKubre-Jordens, M. och Zach Weber, 2012, "Real Analysis and Paraconsistent Logic", Journal of Philosophical Logic, 41 (5): 901–922.
  • –––, kommande,”Paraconsistent Measuring of the Circle: an invitation to inconsistent Mathematics”, Australasian Journal of Logic.
  • Meyer, RK, 1976, "Relevant aritmetik", Bulletin of the Section of Logic of the Polish Academy of Sciences, 5: 133–137.
  • Meyer, RK och C. Mortensen, 1984, "Inkonsekventa modeller för relevant aritmetik", Journal of Symbolic Logic, 49: 917–929.
  • Mortensen, C., 1983, "Svar till Burgess och att läsa", Notre Dame Journal of Formal Logic, 24: 35–40.
  • ––– 1990,”Modeller för inkonsekvent och ofullständig differentiell beräkning”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 31: 274-285.
  • –––, 1995, inkonsekvent matematik, Kluwer matematik och dess applikationsserie, Dordrecht: Kluwer. [Errata tillgängligt online.]
  • ––– 1997, “Peeking at the Impossible”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 38: 527–534.
  • –––, 2000,”Utsikter för inkonsekvens”, i D. Batens et al. (red.), Frontiers of Paraconsistent Logic, London: Research Studies Press, 203–208.
  • –––, 2002a,”Mot en matematik av omöjliga bilder”, i W. Carnielli, M. Coniglio och I. D'Ottaviano (red.), Paraconsistency: The Logical Way to the Infinite, (Lecture Notes in Pure and Applied Matematik, volym 228), New York: Marcel Dekker, 445–454.
  • –––, 2002b, “Paradoxer inom och utanför språket”, Språk och kommunikation, 22: 301–311.
  • ––– 2003, “Closed Set Logic”, i R. Brady (red.), Relevant logics and They Rivals (Volym II), Aldershot: Ashgate, s. 252-262 (särskilt 255-6).
  • ––– 2006, “En analys av inkonsekventa och ofullständiga Necker Cubes”, Australasian Journal of Logic, 4: 216–225.
  • –––, 2010, inkonsekvent geometri (studier i logik, bind 27), London: College Publications (King's College).
  • Paris, J. och Pathmanathan, N., 2006, "En anmärkning om Priest's Finite Arithmetics", The Journal of Philosophical Logic, 35: 529–537.
  • Paris, J. och Sirokofskich, A., 2008, “On LP-models of Arithmetic”, The Journal of Symbolic Logic, 73 (1): 212–226.
  • Priest, G., 1987, I motsägelse, Dordrecht: Nijhoff; andra utökade upplagan, Oxford: The Clarendon Press, 2006.
  • ––– 1997, “Inkonsekventa modeller för aritmetik: I, ändliga modeller”, Journal of Philosophical Logic, 26: 223–235.
  • –––, 2000, “Inkonsekventa modeller för aritmetik: II, det allmänna fallet”, Journal of Symbolic Logic, 65: 1519–29.
  • –––, 2013, “Matematisk pluralism”, Logic Journal of IGPL, 21 (1): 4–13: doi: 10.1093 / jzs018
  • Priest, G., R. Routley och J. Norman (red.), 1989, Paraconsistent Logic, München: Philosophia Verlag.
  • Restall, G., 2007, “Review of Brady Universal Logic”, Bulletin of Symbolic Logic, 13 (4): 544–547.
  • Robinson, A., 1974, Non-Standard Analysis, Amsterdam: North-Holland, reviderad utgåva.
  • Routley, R. och V. Routley, 1972, "The Semantics of First Degree Entailment", Noûs, 6: 335–359.
  • Shapiro, S., 2002, “Inkonsekvens och ofullständighet”, Mind, 111: 817–832.
  • –––, “Strukturer och logik: ett fall för (a) relativitet”, Erkenntnis, 79: 309–329.
  • Tedder, A., 2015, “Axioms for Finite Collapse Models of Arithmetic”, The Review of Symbolic Logic, 8 (3): 529-539.
  • Van Bendegem, JP., 2014, "Inkonsekvens i matematik och matematik för inkonsekvens", Synthese, 191 (13), 3063-3078.
  • Weber, Z., 2010, "Transfinite Numbers in Paraconsistent Set Theory", The Review of Symbolic Logic, 3 (1): 71-92.
  • ––– 2012, “Transfinite Cardinals in Paraconsistent Set Theory”, The Review of Symbolic Logic, 5 (2): 269–293.
  • ––– och Cotnoir, AJ, 2015, “Inkonsekventa gränser”, Synthese, 192: 1267-1294. doi: 10,1007 / 511229-014-0614-2

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

[Vänligen kontakta författaren med förslag.]

Rekommenderas: