Notation In Principia Mathematica

Innehållsförteckning:

Notation In Principia Mathematica
Notation In Principia Mathematica

Video: Notation In Principia Mathematica

Video: Notation In Principia Mathematica
Video: Translating Russell and Whitehead’s Principia Mathematica Notation into Natural Language Notation 2024, Mars
Anonim

Inmatningsnavigering

  • Inmatningsinnehåll
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Vänner PDF-förhandsvisning
  • Författare och Citation Info
  • Tillbaka till toppen

Notation in Principia Mathematica

Först publicerad tors 19 augusti 2004; substantiell revidering Sun 17 juli 2016

Principia Mathematica [PM] av AN Whitehead och Bertrand Russell, publicerad 1910–1913 i tre volymer av Cambridge University Press, innehåller en härledning av stora delar av matematik med begrepp och principer för symbolisk logik. Notationen i detta arbete har ersatts av den efterföljande utvecklingen av logik under den 20: eårhundradet, i den mån nybörjaren har problem med att läsa PM alls. Den här artikeln ger en introduktion till PM: s symbolik och visar hur den symboliken kan översättas till en mer modern notation som borde vara bekant för alla som har haft en första kurs i symbolisk logik. Denna översättning erbjuds som ett hjälpmedel för att lära sig den ursprungliga notationen, som i sig är föremål för vetenskaplig tvist, och förkroppsligar logiska doktriner så att den inte helt enkelt kan ersättas av modern symbolik. Att lära sig notationen är alltså ett första steg för att lära sig de distinkta logiska doktrinerna från Principia Mathematica.

  • 1. Varför lära sig symboliken i Principia Mathematica?
  • 2. Primitiva symboler
  • 3. Användning av punkter för skiljetecken

    • 3.1 Några grundläggande exempel
    • 3.2 The Force of Connectives
    • 3.3 Fler exempel
  • 4. Propositionsfunktioner
  • 5. Den saknade notationen för typer och beställningar

    • 5.1 Enkla typer
    • 5.2 Ramifierade typer
  • 6. Variabler
  • 7. Predikativa funktioner och identitet
  • 8. Definitiva beskrivningar
  • 9. Klasser
  • 10. Prolegomena till kardinal aritmetik
  • Bibliografi
  • Akademiska verktyg
  • Andra internetresurser
  • Relaterade poster

1. Varför lära sig symboliken i Principia Mathematica?

Principia Mathematica [PM] skriven gemensamt av Alfred North Whitehead och Bertrand Russell under flera år och publicerades i tre bind, som dök upp mellan 1910 och 1913. Det presenterar ett system med symbolisk logik och vänder sig sedan till grunden för matematik för att genomföra logistikprojektet att definiera matematiska uppfattningar i termer av logiska föreställningar och bevisa de grundläggande axiomerna i matematik som teorier om logik. Även om det är oerhört viktigt i utvecklingen av logik, matematikfilosofi och mer allmänt för "Early Analytic Philosophy", studeras själva arbetet inte längre för dessa ämnen. Som ett resultat har själva notationen av arbetet blivit främmande för samtida studenter av logik, och det har blivit en hinder för studien av Principia Mathematica.

Detta inlägg är avsett att hjälpa den studerande på PM att läsa den symboliska delen av verket. Det följande är en delvis översättning av symboliken till en mer modern notation, som borde vara bekant från andra artiklar i denna encyklopedi, och som är ganska standard i samtida läroböcker av symbolisk logik. Ingen komplett algoritm tillhandahålls utan snarare olika förslag är avsedda att hjälpa läsaren att lära sig symboliken för PM. Många tolkningsfrågor skulle förhandsbedöms genom att bara använda samtida notation, och många detaljer som är unika för PM beror på notationen. Det kommer att ses nedan, med några av de mer kontroversiella aspekterna av notationen, att doktriner för ämnen är inbyggda i noteringen av PM. Att ersätta notationen med en modernare symbolik skulle förändra bokens innehåll drastiskt.

2. Primitiva symboler

Nedanför kommer läsaren att hitta, i den ordning de introduceras i PM, följande symboler, som kort beskrivs. Mer detaljer ges i följande:

* uttalas "stjärna"; indikerar ett nummer eller ett kapitel, som i ∗ 1 eller ∗ 20.
· en centrerad prick (en gammal brittisk decimal); indikerar en numrerad mening i ordningen efter första siffran (alla 0 som föregår alla 1 osv.), sedan andra siffran och så vidare. De första definitionerna och förslagen av ∗ 1 illustrerar denna "leksikografiska" ordning: 1 · 01, 1 · 1, 1 · 11, 1 · 2, 1 · 3, 1 · 4, 1 · 5, 1 · 6, 1 · 7, 1 71, 1 72.
(Vdash) påståelsetecknet; indikerar en påstående, antingen en axiom (dvs en primitiv proposition, som också är antecknade “(Pp)”) eller ett ställe.
(Df) definitionstecknet; följer en definition.
(.), \(:), \(:.), \(::), etc. är punkter som används för att avgränsa skiljetecken; i samtida logik använder vi (), , ({ }) osv.
(p, q, r), etc. är propositionella variabler.
(lor), (supset), (osim), (equiv), (sdot) är de välkända sententiella anslutningarna, motsvarande “respektive”, “om-då”, “inte”, “om och bara om” respektive “och”. [I den andra upplagan av PM, 1925–27, är Sheffer Stroke”(mid)” det primitiva bandet. Det betyder "inte både … och _".]
(x, y, z), etc. är enskilda variabler som ska läsas med”typisk tvetydighet”, dvs. med deras logiska typer som ska fyllas i (se nedan).
(a, b, c), etc. är enskilda konstanter och står för individer (av den lägsta typen). Dessa förekommer endast i introduktionen till PM och inte i det officiella systemet.
(xRy, aRb, R (x)), etc. är atomiska predikationer, där de objekt som nämns av variablerna eller konstanterna står i relationen (R) eller har egenskapen (R). Dessa förekommer endast i introduktionen. “(A)” och “(b)” förekommer endast som konstanter i andra utgåvan. Predikationerna (R (x), R (x, y)) etc. används bara i den andra utgåvan.

(phi), (psi), (chi) osv.

och (f, g), etc.

är variabler som sträcker sig över propositionella funktioner, oavsett om dessa funktioner är enkla eller komplexa.
(phi x), (psi x), (phi (x, y)), etc. öppna atomformler där både “(x)” och “(phi)” är fria. [En alternativ tolkning är att se "(phi x)" som en schematisk bokstav som står för en formel där variabeln "(x)" är fri.]
(Hat { fantom {x}}) circumflex; när den placeras över en variabel i en öppen formel (som i "(phi / hat {x})") resulterar en term för en funktion. [Denna fråga är kontroversiell. Se Landini 1998.] När den omkretsade variabeln föregår en komplex variabel indikerar resultatet en klass, som i (hat {x} phi x).
(phi / hat {x}, / psi / hat {x}, / phi (hat {x}, / hat {z}),) etc. Villkor för propositionella funktioner. Här är exempel på sådana termer som är konstanter: "(hat {x}) är lycklig", "(hat {x}) är skallig och (hat {x}) är lycklig", “(4 / lt / hat {x} lt 6)” osv. Om vi till exempel tillämpar är funktionen “(hat {x}) skallig och (hat {x}) är glad "för den enskilda individen (b), resultatet är förslaget" (b) är kallt och (b) är lyckligt ".
(existerar) och ()

är kvantifierare "det finns" respektive "för alla" ("alla"). Till exempel, där (phi x) är en enkel eller komplex öppen formel,

((existerar x) phi x) hävdar "Det finns ett (x) så att (phi x)"
((exist / phi) phi x) hävdar "Det finns en propositionell funktion (phi) så att (phi x)"
((x) phi x) hävdar “Varje (x) är sådan att (phi x)”
((phi) phi x) hävdar "Varje förslagsfunktion (phi) är sådan att (phi x)"

[Dessa användes av Peano. På senare tid har (forall) lagts till för symmetri med (exist). Vissa forskare ser kvantiteterna ((phi)) och ((exist / phi)) som substitutionella.]

(phi x / supset_x / psi x)

(phi x / equiv_x / psi x)

Detta är notation som används för att förkorta universellt kvantifierade variabler. I modern notation blir dessa (forall x (phi x / supset / psi x)) respektive (forall x (phi x / equiv / psi x)). Se definitionerna för denna notation i slutet av avsnitt 3.2 nedan.
(smäll) uttalas "skrik"; indikerar att en funktion är predikativ, som i (phi / bang x) eller (phi / bang / hat {x}). Se avsnitt 7.
= identitetssymbolen; uttrycker identitet, som är ett definierat begrepp i PM, inte primitivt som i samtida logik.
(Atoi) läs som”the”; är den inverterade iota- eller beskrivningsoperatören och används i uttryck för bestämda beskrivningar, till exempel ((atoi x) phi x) (som läses: (x) så att (phi x)).
(((atoi x) phi x)] en bestämd beskrivning inom parentes; detta är en omfattningsindikator för bestämda beskrivningar.
(E / bang) definieras vid ∗ 14 · 02, i sammanhanget (E / bang (atoi x) phi x), så att beskrivningen ((atoi x) phi x) är korrekt, dvs där är exakt en (phi).
(existerar / bang) definieras vid ∗ 24 · 03, i sammanhanget (exist / bang / alpha), för att betyda att klassen (alpha) är icke-tom, dvs. har en medlem.

3. Användning av punkter för skiljetecken

Ett omedelbart hinder för att läsa PM är den okända användningen av punkter för skiljetecken istället för de vanligare parenteserna och parenteserna. Systemet är exakt och kan läras med bara lite övning. Användningen av punkter för skiljetecken är inte unik för PM. Ursprunget med Peano och användes senare i verk av Alonzo Church, WVO Quine och andra, men det har nu till stor del försvunnit. (Användningen av prickar av något historiskt intresse, då Alan Turing gjorde en studie av användningen av prickar från en beräkningssynpunkt 1942, antagligen på sin fritid efter en dags arbete i Bletchley Park med att bryta koderna på Enigma Machine.) Det bästa sättet att lära sig att använda det är att titta på några prover som översätts till formler med parenteser och därmed få känslan av det. Följande är en förklaring som presenteras i PM, sidorna 9–10,följt av ett antal exempel som illustrerar var och en av dess klausuler:

Användning av prickar. Prickar på raden för symbolerna har två användningsområden, en för att fånga bort förslag, den andra för att ange den logiska produkten från två förslag. Prickar föregicks omedelbart eller följs av "(lor)" eller "(supset)" eller "(equiv)" eller "(vdash)" eller av "((x))”,“((X, y))”,“((x, y, z))”… eller“((exist x))”,“((exist x, y))”,“((finns x, y, z))”… eller“([(atoi x) (phi x)])”eller“([R'y])”Eller analoga uttryck, tjänar till att frigöra ett förslag; punkter som annars uppstår tjänar till att markera en logisk produkt. Den allmänna principen är att ett större antal prickar indikerar en utvändig konsol, ett mindre antal indikerar en inre konsol. Den exakta regeln om räckvidden för konsolen som anges med prickar uppnås genom att dela upp förekomsten av prickar i tre grupper som vi kommer att namnge I, II och III. Grupp I består av prickar som gränsar till ett tecken på implikation ((supset)) eller ekvivalens ((equiv)) eller av disjunktion (lor)) eller av jämställdhet per definition ((= / Df)). Grupp II består av prickar efter parenteser som indikerar en synlig variabel, till exempel ((x)) eller ((x, y)) eller ((exist x)) eller ((exist x, y)) eller ([(atoi x) (phi x)]) eller analoga uttryck. Grupp III består av prickar som står mellan förslag för att indikera en logisk produkt. Grupp I har större kraft än grupp II och grupp II än grupp III. Räckvidden för konsolen som indikeras av valfri samling av punkter sträcker sig bakåt eller framåt utöver något mindre antal prickar, eller ett lika stort antal från en grupp med mindre kraft,tills vi når antingen slutet på det hävdade förslaget eller ett större antal prickar eller ett lika antal som tillhör en grupp med lika eller överlägsen kraft. Prickar som indikerar en logisk produkt har en omfattning som fungerar både bakåt och framåt; andra prickar fungerar bara bort från det angränsande tecknet på disjunktion, implikation eller ekvivalens eller framåt från den angränsande symbolen för en av de andra slag som anges i grupp II. Några exempel kommer att illustrera användningen av prickar. (PM, 9–10)

3.1 Några grundläggande exempel

Tänk på följande serie av utökade exempel, där vi undersöker förslag i PM och sedan diskuterar hur vi steg för steg kan översättas till modern notation. (Symbolerna nedan används ibland som namn för sig själva, och därmed undviker man något annat citattecken. Russell anklagas ofta för förvirrande användning och omnämnande, så det kan mycket väl vara en fara i denna praxis.)

Exempel 1

(tag * {∗ 1 · 2} { vdash} kolon p / lor p / ldot { supset} ldot p / quad / Pp)

Detta är den andra påståendet om "stjärna" 1. Det är i själva verket ett axiom eller "Primitivt förslag" som indikeras av '(Pp)'. Att detta är ett påstående (axiom eller sats) och inte en definition indikeras av användningen av "(vdash)". (Däremot skulle en definition utelämna påståelsetecknet men avslutas med ett "(Df)" -tecken.) Nu är det första steget i processen att översätta ∗ 1 · 2 till modern notation att notera kolon. Kom ihåg från ovan citerade passage att "ett större antal prickar indikerar en utvändig konsol, ett mindre antal indikerar en insida konsol" Således representerar kolon här (som består av ett större antal prickar än de enstaka prickarna som förekommer på linjen i ∗ 1 · 2) en utvändig konsol. Så det första steget är att översätta ∗ 1 · 2 till:

(vdash [p / lor p / ldot { supset} ldot p])

Så parenteserna "[" och "]" representerar kolon i ∗ 1 · 2. Kolonens räckvidd sträcker sig därmed förbi alla mindre antal prickar (dvs. en prick) till slutet av formeln. Eftersom formler läses från vänster till höger betyder uttrycket "förflutna" "till höger om".

Därefter representeras prickarna runt “(supset)” i modern notation av parenteserna kring det föregående och därmed följande. Kom ihåg att i ovanstående avsnitt hittar vi "… prickar fungerar bara bort från det intilliggande tecknet på disjunktion, implikation eller ekvivalens …". Således är nästa steg i översättningen att flytta till formeln: (vdash [(p / lor p) supset (p)])

Slutligen tillåter moderna standardkonventioner oss att radera de yttre parenteserna och parenteserna runt enstaka bokstäver, vilket ger:

(vdash (p / lor p) supset p)

Vårt nästa exempel involverar konjunktion, som indikeras genom enkel sammansättning av atomiska meningar, eller med en punkt när en substitutionsinstans kan övervägas, som i definitionen av konjunktion i följande:

Exempel 2

(tag * {∗ 3 · 01} p / sdot q / ldot {=} ldot / osim (osim p / lor / osim q) quad / Df)

Här har vi ett fall där prickar inträffar indikerar både en "logisk produkt" (dvs. konjunktion) och avgränsande parentes. Som ett första steg i att översätta ∗ 3 · 01 till modern notation, ersätter vi den första punkten med en ampersand (och dess motsvarande omfattningsavgränsare) och ersätter “(ldot {=} ldot)” med “(= _ {df})”, för att ge:

[(p / amp q) = _ {df} (osim (osim p / lor / osim q)])

Ovanstående steg illustrerar tydligt hur en "prick som indikerar en logisk produkt har ett räckvidd som fungerar både bakåt och framåt". Observera att den första punkten i ∗ 3 · 01, dvs mellan (p) och (q), verkligen är valfri, med tanke på ovanstående citat från PM. Men eftersom vi ibland vill ersätta hela formler för (p) och (q), indikerar punkten omfattningen av de substituerade formlerna. Således kan vi ha, som en substitutionsinstans: (r / lor s / sdot q / supset s) (i PM-notation) eller ((r / lor s) amp (q / supset s)) (i samtida symboler).

Slutligen tillåter våra moderna konventioner oss att eliminera de yttre parenteserna från definitionen och parenteserna "[" och "]" från definienserna, vilket ger:

[p / amp q = _ {df} osim (osim p / lor / osim q))

Lägg märke till att räckvidden för negationstecknet “(osim)” i ∗ 3 · 01 inte indikeras med prickar, inte ens i PM-systemet, utan snarare kräver parenteser.

Exempel 3

(tag * {∗ 9 · 01} osim {(x) sdot / phi x } ldot {=} ldot (existerar x) sdot / osim / phi x / quad / Df)

Om vi tillämpar regeln "prickar bara bort från det intilliggande tecknet på disjunktion, implikation eller ekvivalens, eller framåt från den angränsande symbolen för någon av de andra slag som anges i grupp II" (där grupp II inkluderar "((existerar x))”), då skulle den moderna ekvivalenten vara: (osim (x) phi x = _ {df} (existerar x) osim / phi x) eller (osim / forall x / phi x = _ {df} existerar x / osim / phi x)

3.2 The Force of Connectives

Rangordningen av anslutningar i termer av relativ "kraft" eller omfattning är en standardkonvention i samtida logik. Om det inte finns några uttryckliga parenteser för att ange omfattningen av ett bindemedel, antas de som har företräde i rangordningen vara de huvudsakliga anslutningarna, och så vidare för underformler. Således istället formulerar följande DeMorgan's lag som en besvärlig:

[(osim p) lor (osim q)] equiv (osim (p / amp q)])

vi skriver det idag som:

(osim p / lor / osim q / equiv / osim (p / amp q))

Denna enklare formulering är naturlig eftersom (equiv) har företräde framför (har större "räckvidd" än) (lor) och &, och den senare har företräde framför (osim). Faktum är att parenteser ofta behövs runt (equiv), med tanke på en ytterligare konvention som (equiv) har företräde framför (supset). Således blir formeln (p / supset q / equiv / osim p / lor q) otvetydig. Vi kan representera dessa konventioner genom att ansluta anslutningarna i grupper med de med bredaste räckvidd överst:

(börja {array} {c} equiv \\ / supset \\ / amp, / lor \\ / osim / end {array})

För Whitehead och Russell är emellertid symbolerna (supset), (equiv), (lor) och (ldots = / ldots / Df) i grupp I lika kraft. Grupp II består av variabla bindande uttryck, kvantifierare och omfattningsindikatorer för bestämda beskrivningar, och grupp III består av konjunktioner. Negation ligger under alla dessa. Så rankningen i PM skulle vara:

(börja {array} {c} supset, / equiv, / lor / text {och} ldots = / ldots / quad / Df \(x), (x, y) ldots (existerar x), (existerar x, y) ldots [(atoi x) phi x] / p / sdot q / quad / text {(koppling)} / \ osim / end {array})

Detta verkar vad Whitehead och Russell menar när de säger "Grupp I är av större kraft än grupp II och grupp II än grupp III." Tänk på följande:

Exempel 4

(tag * {∗ 3 · 12} { vdash} colon / osim p / ldot { lor} ldot / osim q / ldot { lor} ldot p / sdot q)

Denna sats illustrerar hur man läser flera användningar av samma antal prickar i en formel. Gruppera "associerade till vänster" både för prickar och för en serie av disjunktioner, efter konventionen att läsa från vänster till höger och definitionen:

(tag * {∗ 2 · 33} p / vee q / vee r / ldot {=} ldot (p / vee q) vee r / quad / Df)

Så i ∗ 3 · 12, "de första två punkterna runt (lor)" helt enkelt "arbeta bort" från anslutningen. Den andra "sträcker sig" tills den möts med nästa av samma nummer (den tredje enda punkten). Den tredje punkten, och den fjärde “arbeta bort” från den andra (lor), och den sista punkten indikerar en koppling med smalaste räckvidd. Resultatet, formulerat med alla möjliga skiljetecken för maximal explicitness, är:

({[(osim p) lor (osim q)] lor (p / amp q) })

Om vi använder alla standardkonventioner för att tappa parenteser blir detta:

[(osim p / lor / osim q) lor (p / amp q))

Detta illustrerar avsnittet i ovanstående citat som säger Omfattningen av konsolen som indikeras av valfri samling av punkter sträcker sig bakåt eller framåt utöver något mindre antal prickar, eller ett lika stort antal från en grupp med mindre kraft, tills vi når antingen slutet av det hävdade förslaget eller ett större antal prickar eller ett lika antal som tillhör en grupp med lika eller överlägsen kraft.”

Innan vi tittar på ett större antal exempel kommer ett detaljerat exempel med kvantifierade variabler att visa sig vara lärorikt. Whitehead och Russell följer Peanos praxis att uttrycka universellt kvantifierade villkor (som "Alla (phi) s är (psi) s") med den bundna variabeln som anges under villkorligt tecken. På liknande sätt med universellt kvantifierade bikonditioner ("Alla och bara (phi) är (psi) s")). Det vill säga uttrycket “(phi x / supset_x / psi x)” och “(phi x / equiv_x / psi x)” definieras enligt följande:

(tag * {∗ 10 · 02} phi x / supset_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / supset / psi x / quad / Df) (tag * {∗ 10 · 03} phi x / equiv_x / psi x / ldot {=} ldot (x) ldot / phi x / equiv / psi x / quad / Df)

och motsvarar följande mer moderna formler:

(forall x (phi x / supset / psi x)) (forall x (phi x / equiv / psi x))

Som en övning kan läsaren vara benägen att formulera en rigorös algoritm för att konvertera PM till en viss samtida symbolik (med konventioner för att tappa parenteser), men det bästa sättet att lära sig systemet är att titta på några fler exempel på översättningar, och sedan börja helt enkelt läsa formler direkt.

3.3 Fler exempel

I exemplen nedan följs varje formelnummer först av Principia-notation och sedan dess moderna översättning. Observera att i ∗ 1 · 5 parenteser används för skiljetecken utöver punkter. (Primitiva förslag ∗ 1 · 2, ∗ 1 · 3, ∗ 1 · 4, ∗ 1 · 5 och ∗ 1 · 6 utgör tillsammans axiomerna för propositionslogik i PM.) Förslag ∗ 1 · 5 visade sig vara överflödigt av Paul Bernays 1926. Det kan härledas från lämpliga instanser av de andra och regeln om modus ponens.

* 1 · 3

({ vdash} colon q / ldot { supset} ldot p / lor q / quad / Pp)

(q / supset p / lor q)

* 1 · 4

({ vdash} colon p / lor q / ldot { supset} ldot q / lor p / quad / Pp)

(p / lor q / supset q / lor p)

* 1 · 5

({ vdash} colon p / lor (q / lor r) ldot { supset} ldot q / lor (p / lor r) quad / Pp)

(p / lor (q / lor r) supset q / lor (p / lor r))

* 1 · 6

({ vdash} colondot q / supset r / ldot { supset} colon p / lor q / ldot { supset} ldot p / lor r / quad / Pp)

((q / supset r) supset (p / lor q / supset p / lor r))

* 2 · 03

({ vdash} kolon p / supset / osim q / ldot { supset} ldot q / supset / osim p)

((p / supset / osim q) supset (q / supset / osim p))

* 3 · 3

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot r / colon { supset} colon p / ldot { supset} ldot q / supset r)

([(p / amp q) supset r] supset [p / supset (q / supset r)])

* 4 · 15

({ vdash} colondot p / sdot q / ldot { supset} ldot / osim r / colon { equiv} colon q / sdot r / ldot { supset} ldot / osim p)

(p / amp q / supset / osim r / equiv q / amp r / supset / osim p)

* 5 · 71

({ vdash} colondot q / supset / osim r / ldot { supset} colon p / lor q / sdot r / ldot { equiv} ldot p / sdot r)

((q / supset / osim r) supset [(p / lor q) amp r / equiv p / amp r])

* 9 · 04

(p / ldot { lor} ldot (x) ldot / phi x / colon {=} ldot (x) ldot / phi x / lor p / quad / Df)

(p / lor / forall x / phi x = _ {df} för alla x (phi x / lor p))

* 9 · 521

({ vdash} colons (exist x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot q / colon { supset} colondot (exist x) ldot / phi x / ldot { lor } ldot r / colon { supset} ldot q / lor r)

(((finns x / phi x) supset q] supset [((finns x / phi x) lor r) supset (q / lor r))]

* 10 · 55

({ vdash} colondot (existerar x) ldot / phi x / sdot / psi x / colon / phi x / supset_x / psi x / colon { equiv} colon (exist x) ldot / phi x / colon / phi x / supset_x / psi x)

(existerar x (phi x / amp / psi x) amp / forall x (phi x / supset / psi x) equiv / existerar x / phi x / amp / förall x (phi x / supset / psi x))

4. Propositionsfunktioner

Det finns två typer av funktioner i PM. Propositionsfunktioner som "(hat {x}) är ett naturligt tal" ska skiljas från de mer kända matematiska funktionerna, som kallas "beskrivande funktioner" (PM, 31). Beskrivande funktioner definieras med hjälp av relationer och definitiva beskrivningar. Exempel på beskrivande funktioner är (x + y) och "efterföljaren av (n)".

Med fokus på propositioneringsfunktioner skiljer Whitehead och Russell mellan uttryck med en fri variabel (som "(x) är skadad") och namn på funktioner (som "(hat {x}) är skadad") (PM, 14–15). De förslag som härrör från formeln genom att tilldela tillåtna värden till den fria variabeln "x" sägs vara "tvetydiga värden" för funktionen. Uttryck som använder circumflex-notationen, som (phi / hat {x}), förekommer endast i introduktionsmaterialet i de tekniska avsnitten i PM och inte i de tekniska avsnitten själva (med undantag för avsnitten om klasserteorin)), vilket uppmanar vissa forskare att säga att sådana uttryck inte verkligen förekommer i det formella systemet för PM. Denna fråga skiljer sig från den som rör tolkningen av sådana symboler. Är det "termbildande operatörer" som förvandlar en öppen formel till ett namn för en funktion, eller helt enkelt en syntaktisk enhet, en platshållare, för att ange den variabel som en substitution kan göras i en öppen formel för? Om de ska behandlas som termformande operatörer skulle den moderna notationen för (phi / hat {x}) vara "(lambda x / phi x)". Noteringen (lambda) - har fördelen att tydligt avslöja att variabeln (x) är bunden av den termbildande operatören (lambda), som tar ett predikat (phi) och ger en term (lambda x / phi x) (som i vissa logiker är en singulär term som kan förekomma i ämnesläget för en mening, medan det i andra logiker är ett komplext predikativt uttryck). Till skillnad från (lambda) - notation kan PM-notationen med circumflex inte ange omfattning. Funktionsuttrycket “(phi (hat {x},\ hat {z}))”är tvetydig mellan“(lambda x / lambda y / phi xy)”och“(lambda y / lambda x / phi xy)”, utan ytterligare konvention. I själva verket specificerade Whitehead och Russell denna konvention för utvidgade relationer (på s. 200 i det inledande materialet ∗ 21, i termer av ordning på variablerna), men tvetydigheten som det framkom tydligast genom att använda (lambda) notation: den första betecknar förhållandet att vara en (x) och (y) så att (phi xy) och den andra anger konversationsrelationen att vara en (y) och (x) sådana att (phi xy).men tvetydigheten framkom tydligast genom att använda (lambda) notation: den första betecknar förhållandet mellan att vara ett (x) och (y) så att (phi xy) och den andra betecknar konversationsrelationen av att vara en (y) och (x) så att (phi xy).men tvetydigheten framkom tydligast genom att använda (lambda) notation: den första betecknar förhållandet mellan att vara ett (x) och (y) så att (phi xy) och den andra betecknar konversationsrelationen av att vara en (y) och (x) så att (phi xy).

5. Den saknade notationen för typer och beställningar

Detta avsnitt förklarar notering som inte finns i Principia Mathematica. Förutom vissa notationer för "relativa" typer i volym II finns det känt ingen symboler för typer i Principia Mathematica! Meningar ska i allmänhet tas som”vanligtvis tvetydiga” och så att de står för uttryck för en hel rad olika typer och så precis som det inte finns några individuella eller predikatkonstanter, finns det inga speciella funktioner av någon specifik typ. Så inte bara ser man inte hur man symboliserar argumentet:

Alla män är dödliga

Sokrates är en man

Därför är Sokrates dödlig

men det finns inte någon indikation på den logiska typen av funktionen "(hat {x}) är dödligt". Projektet med PM är att reducera matematiken till logik, och en del av synen på logiken bakom detta projekt är att logiska sanningar är helt allmänna. Avledningen av matematikens sanningar från definitioner och logikens sanningar kommer således inte att omfatta några andra konstanter än de som införs genom definition från rent logiskt begrepp. Som ett resultat ingår ingen notering i PM för att beskriva dessa typer. De av oss som vill betrakta PM som en logik som kan tillämpas, måste komplettera den med någon typ av typ.

Läsarna bör notera att förklaringen av de typer som beskrivs nedan inte kommer att motsvara påståenden om typer i texten till PM. Alonzo Church [1976] utvecklade en enkel, rationell rekonstruktion av notationen för både den enkla och förstärkta teorin om typer som antyds av PM: s text. (Det finns alternativa, likvärdiga notationer för typteorin.) Den fullständiga teorin kan ses som en utveckling av den enkla typteorin.

5.1 Enkla typer

En definition av de enkla typerna kan ges enligt följande:

  • (iota) (grekisk iota) är typen för en individ.
  • Där (tau_1, / ldots, / tau_n) är några typer är (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_n) urcorner) typen av en förslagsfunktion vars argument är av typ (tau_1, / ldots, / tau_n).
  • (ulcorner) () (urcorner) är typen av förslag.

Här är några intuitiva sätt att förstå definitionen av typ. Anta att "Sokrates" namnger en individ. (Vi ignorerar här Russells bedömda åsikt att sådana vanliga individer i själva verket är klasser av klasser av sinnedata, och så av en mycket högre typ.) Då skulle den individuella konstanten "Socrates" vara av typen (iota). En monadisk propositionell funktion som tar individer som argument är av typen ((iota)). Anta att "är dödligt" är ett predikat som uttrycker en sådan funktion. Funktionen "(hat {x}) är dödlig" kommer också att vara av typen ((iota)). En två-plats eller binär relation mellan individer är av typen ((iota, / iota)). Således är ett relationuttryck som "förälder till" och funktionen "(hat {x}) ett förälder till (hat {z})" av typen ((iota, / iota)).

Propositionsfunktioner av typ ((iota)) kallas ofta "första ordningen"; därmed namnet "första ordningslogik" för den välkända logiken där variablerna bara sträcker sig över argument för första ordningens funktioner. En monadisk funktion av argument av typen (tau) är av typen ((tau)) och så funktioner för sådana funktioner är av typen (((tau))). "Andra ordningens logik" kommer att ha variabler för argumenten för sådana funktioner (liksom variabler för individer). Binära relationer mellan funktioner av typ (tau) är av typ ((tau, / tau)), och så vidare, för relationer med mer än 2 argument. Blandade typer definieras av ovanstående. En relation mellan en individ och ett förslag (som "(hat {x}) tror att (hat {P})") kommer att vara av typen ((iota), ()).

5.2 Ramifierade typer

För att konstruera en notation för den fullständiga förstärkta teorin om typer av PM måste en annan information kodas i symbolerna. Kyrkan kallar det resulterande systemet för r-typer. Nyckelidén med förstörda typer är att alla funktioner som definieras med hjälp av kvantifiering över funktioner av en viss typ måste vara av högre "ordning" än dessa funktioner. För att använda Russells exempel:

(hat {x}) har alla egenskaper som stora generaler har

är en funktion som är sant för personer (dvs individer), och med tanke på enkel typteori har den samma enkla logiska typ som enskilda kvaliteter hos individer (som tapperhet och beslutsamhet). I förstärkt typteori kommer emellertid funktionen ovan att vara av högre ordning än de speciella egenskaperna hos individer, eftersom till skillnad från de specifika egenskaperna innebär den en kvantifiering jämfört med dessa kvaliteter. Så medan uttrycket "(hat {x}) är modigt" betecknar en funktion av r-typ ((iota) / 1), har uttrycket "(hat {x}) allt de egenskaper som stora generaler har”kommer att ha r-typ ((iota) / 2). I dessa r-typer indikerar siffran efter “/” funktionens nivå. Ordningen på funktionerna kommer att definieras och beräknas med följande definitioner.

Kyrkan definierar r-typerna enligt följande:

  • (iota) (grekisk iota) är r-typen för en individ.
  • Där (tau_1, / ldots, / tau_m) är några r-typer, (ulcorner (tau_1, / ldots, / tau_m) / n / urcorner) är en r-typ; detta är r-typen av a (m) - ary propositioneringsfunktion för nivå (n), som har argument för r-typer (tau_1, / ldots, / tau_m).

En enhets ordning definieras enligt följande (här följer vi inte längre kyrkan, för han definierar beställningar för variabler, dvs uttryck, i stället för beställningar för de saker som variablerna sträcker sig över):

  • ordningen för en individ (av r-typ (iota)) är 0,
  • ordningen för en funktion av r-typ ((tau_1, / ldots, / tau_m) / n) är (n + N), där (N) är den största ordningen av argumenten (tau_1, / ldots, / tau_m).

Dessa två definitioner kompletteras med en princip som identifierar nivåerna för specifika definierade funktioner, nämligen att nivån för en definierad funktion ska vara en högre än den högsta ordningsenheten med ett namn eller variabel som visas i definitionen av den funktionen.

För att se hur dessa definitioner och principer kan användas för att beräkna ordningen för funktionen "(hat {x}) har alla de kvaliteter som stora generaler har", observera att funktionen kan representeras på följande sätt, där "(x, y)”är variabler som sträcker sig över individer av r-typ (iota) (ordning 0),“GreatGeneral ((y))”är ett predikat som anger en proposition av r-typ ((iota) / 1) (och så i ordning 1), och "(phi)" är en variabel som sträcker sig över propositionella funktioner av r-typ ((iota) / 1) (och så av ordning 1) såsom stor general, mod, ledarskap, skicklighet, framsyn osv:

[(phi) {[(y) (textrm {GreatGeneral} (y) supset / phi (y)] supset / phi / hat {x} })

Vi noterar först att med tanke på ovanstående princip är r-typen för denna funktion ((iota) / 2); nivån är 2 eftersom nivån för r-typen för denna funktion måste vara en högre än den högsta ordningen för alla enheter som heter (eller inom en variabel som används) i definitionen. I det här fallet är namnet på GreatGeneral och intervallet för variabeln (phi) av ordning 1, och inga andra uttrycksnamn eller intervall över en enhet med högre ordning. Således definieras nivån på funktionen som nämns ovan till att vara 2. Slutligen beräknar vi ordningen för den funktion som anges ovan som den definierades: summan av nivån plus den största ordningen för argumenten för ovanstående funktion. Eftersom de enda argumenten i funktionen ovan är individer (i ordning 0) är ordningen på vår funktion bara 2.

Att kvantifiera över funktioner av r-typ ((tau) / n) i ordningen (k) i en definition av en ny funktion ger en funktion av r-typ ((tau) / n + 1), och så en funktion av beställning en högre, (k + 1). Två typer av funktioner kan då vara av den andra ordningen: (1) funktioner för första ordningens funktioner för individer, av r-typ (((iota) / 1) / 1) och (2) funktioner av r-typ ((iota) / 2), som vårt exempel "(hat {x}) har alla kvaliteter som stora generaler har". Det senare kommer att vara en funktion som är sant för individer som Napoleon, men av en högre ordning än enkla funktioner som "(hat {x}) är modig", som är av r-typ ((iota) / 1).

Logiker använder idag ett annat begrepp”ordning”. Idag är första ordningens logik en logik med endast variabler för individer. Andra ordningens logik är en logik med variabler för både individer och individers egenskaper. Tredje ordningslogik är en logik med variabler för individer, individernas egenskaper och egenskaper hos individer. Och så vidare. Däremot skulle kyrkan kalla dessa logiker, respektive logiken för funktioner av typen ((iota) / 1) och ((iota, / ldots, / iota) / 1), logiken för funktioner av typerna ((((iota) / 1) / 1) och (((iota, / ldots, / iota) / 1, / ldots, (iota, / ldots, / iota) / 1) / 1), och logiken för funktioner för typerna ((((iota) / 1) / 1) / 1) etc. (dvs. nivå-en-funktionerna för funktionerna av föregående typ). Med tanke på kyrkans definitioner är det logik för funktioner i första, andra och tredje ordningen,respektive, vilket sammanfaller med den moderna terminologin av (n)th- order logik”.

6. Variabler

Som nämnts tidigare finns det inga individuella eller predikatskonstanter i det formella systemet för PM, endast variabler. Inledningen använder emellertid exemplet "(a) som står i relationen (R) till (b)" i en diskussion om atomfakta (PM, 43). Även om "(R)" senare används som en variabel som sträcker sig över relationer i förlängning, och "(a, b, c, / ldots)" är enskilda variabler, låt oss tillfälligt lägga till dem i systemet som predikat respektive enskilda konstanter för att diskutera användningen av variabler i PM.

PM använder speciellt skillnaden mellan "verkliga", eller fria, variabler och "uppenbara", eller bundna, variabler. Eftersom “(x)” är en variabel kommer “(xRy)” att vara en atomformel i vårt utökade språk, med “(x)” och “(y)” verkliga variabler. När sådana formler kombineras med de propositionella anslutningarna (osim), (lor) etc. är resultatet en matris. Till exempel skulle "(aRx / ldot { lor} ldot xRy)" vara en matris.

Som vi såg tidigare finns det också variabler som sträcker sig över funktioner: "(phi), (psi), (ldots, f, g)", etc. Uttrycket “(phi x)”innehåller således två variabler och står för ett förslag, i synnerhet resultatet av att använda funktionen (phi) på individen (x).

Teorier anges med verkliga variabler, vilket ger dem en speciell betydelse när det gäller teorin. Till exempel, (tag * {∗ 10 · 1} vdash / colon (x) ldot / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Pp)

är en grundläggande axiom för kvantifieringsteorin för PM. I detta primitiva förslag är variablerna "(phi)" och "(y)" verkliga (fria), och "(x)" är uppenbar (bunden). Eftersom det inte finns några konstanter i systemet, är detta det närmaste som PM kommer en regel om universal instansering.

Whitehead och Russell tolkar “((x) sdot / phi x)” som”förslaget som säger alla värden för (phi / hat {x})” (PM 41). Användningen av ordet”alla” har särskild betydelse inom teorin om typer. De presenterar "ond cirkelprincipen", som ligger till grund för teorin om typer, som hävdar det

… i allmänhet, med tanke på varje uppsättning objekt så att, om vi antar att uppsättningen ska ha ett totalt, kommer den att innehålla medlemmar som förutsätter detta totalt, då sådana som uppsättningen inte kan ha ett totalt. Genom att säga att uppsättningen har "inget totalt" menar vi i första hand att inget väsentligt uttalande kan göras om "alla dess medlemmar". (PM, 37)

Därför måste ett kvantifierat uttryck, eftersom det talar om "alla" medlemmarna i en totalitet, sträcka sig över en specifik logisk typ för att följa den onda cirkelprincipen. Således, vid tolkning av en bunden variabel, måste vi anta att den sträcker sig över en viss typ av enhet, och därför måste typer tilldelas de andra enheter som representeras av uttryck i formeln, i enlighet med typteorin.

En fråga uppstår emellertid när man först inser att uttalanden om primitiva förslag och teorem i PM såsom ∗ 10 · 1 anses vara "vanligtvis tvetydiga" (dvs tvetydiga med avseende på typ). Dessa uttalanden är faktiskt schematiska och representerar alla möjliga specifika påståenden som kan härledas från dem genom att tolka typer på lämpligt sätt. Men om påståenden som ∗ 10 · 1 är scheman och ändå har bundna variabler, hur tilldelar vi typer till de enheter som de bundna variablerna sträcker sig över? Svaret är att först bestämma vilken typ av sak de fria variablerna i uttalandet går över. Om du till exempel antar att variabeln (y) i ∗ 10 · 1 sträcker sig över individer (av typen (iota)) måste variabeln (phi) sträcka sig över funktioner av typen ((iota) / n), för vissa (n). Då kommer den bundna variabeln (x) också att sträcka sig över individer. Om vi dock antar att variabeln (y) i ∗ 10 · 1 sträcker sig över funktioner av typ ((iota) / 1), måste variabeln (phi) sträcka sig över funktioner av typen (((iota) / 1) / m), för vissa (m). I detta fall kommer den bundna variabeln (x) att sträcka sig över funktioner av typen ((iota) / 1).

Så (y) och (phi) kallas "riktiga" variabler i ∗ 10 · 1 inte bara för att de är fria utan också för att de kan sträcka sig över alla typer. Whitehead och Russell säger ofta att verkliga variabler tas för att otvetydigt beteckna "någon" av deras instanser, medan bundna variabler (som också tvetydigt betecknar) sträcker sig över "alla" av sina instanser (inom en legitim totalitet, dvs typ).

7. Predikativa funktioner och identitet

Utropstecknet "!" följer en variabel för en funktion och föregår argumentet, som i “(f / bang / hat {x})”, “(phi / bang x)”, “(phi / bang / hat { x})”, indikerar att funktionen är predikativ, det vill säga i den lägsta ordningen som kan gälla för dess argument. I kyrkans notation betyder detta att predikativa funktioner är alla på den första nivån, med typer av formen ((ldots) / 1). Som ett resultat kommer predikativa funktioner att vara i ordning en mer än den högsta ordningen för något av deras argument. Denna analys är baserad på citat som följande i introduktionen till PM:

Vi kommer att definiera en funktion av en variabel som predikativ när den är av nästa ordning ovanför dess argument, dvs den lägsta ordningen som är kompatibel med att den har det argumentet. (PM, 53)

I sammanfattningen av ∗ 12 hittar vi tyvärr”En predikativ funktion är en som inte innehåller några synliga variabler, dvs är en matris” [PM, 167]. Att förena detta uttalande med den definitionen i introduktionen är ett problem för forskare.

För att se skriknotationen i aktion, överväg följande definition av identitet:

(tag * {∗ 13 · 01} x = y / ldot {=} colon (phi) colon / phi / bang x / ldot { supset} ldot / phi / bang y / quad / Df]

Det vill säga (x) är identisk med (y) om och bara om (y) har alla predikativa funktioner (phi) som besitter av (x). (Naturligtvis indikerar den andra förekomsten av "=" en definition och har inte oberoende betydelse. Det är den första händelsen, som relaterar individer (x) och (y), som definieras.)

För att se hur denna definition minskar till den mer kända definitionen av identitet (på vilka objekt som är identiska om de delar samma egenskaper), behöver vi Axiom of Reducibility. Axiom of Reducibility säger att för alla funktioner finns en ekvivalent funktion (dvs. en sant för alla samma argument) som är predikativt:

Axiom of Reducibility: (tag * {∗ 12 · 1} vdash / colon (finns f) colon / phi x / ldot { equiv_x} ldot f / bang x / quad / Pp)

För att se hur detta axiom innebär den mer bekanta definitionen av identitet, observera att den mer bekanta definitionen av identitet är:

[x = y / ldot {=} colon (phi) colon / phi x / ldot { supset} ldot / phi y / quad / Df)

för (phi) av "valfri" typ. (Observera att detta skiljer sig från ∗ 13 · 01 genom att skriket inte längre visas.) För att bevisa detta antar du både ∗ 13 · 01 och Axiom of Reducibility, och antar, för bevis genom reductio, att (x = y) och (phi x), och inte (phi y), för någon funktion (phi) av godtycklig typ. Då garanterar Axiom of Reducibility ∗ 12 · 1 att det kommer att finnas en predikativ funktion (psi / bang), som är coextensive med (phi) så att (psi / bang x) men inte (psi / bang y), som motsäger ∗ 13 · 01.

8. Definitiva beskrivningar

Den inverterade grekiska bokstaven iota “(atoi)” används i PM, alltid följt av en variabel, för att påbörja en bestämd beskrivning. ((atoi x) phi x) läses som "the (x) så att (x) är (phi)", eller enklare, som "the (phi)”. Sådana uttryck kan förekomma i ämnesläge, som i (psi (atoi x) phi x), läst som "the (phi) är (psi)". Den formella delen av Russells berömda "teori om definitiva beskrivningar" består av en definition av alla formler "… (psi (atoi x) phi x) …" där en beskrivning förekommer. För att skilja delen (psi) från resten av en större mening (indikeras av ellipserna ovan) där uttrycket (psi (atoi x) phi x) inträffar är beskrivningens räckvidd indikeras genom att upprepa den definitiva beskrivningen inom parentes:

[(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x)

Begreppet räckvidd är tänkt att förklara en åtskillnad som Russell berömt diskuterar i”On Denoting” (1905). Russell säger att meningen "Den nuvarande kungen av Frankrike är inte skallig" är tvetydig mellan två avläsningar: (1) läsningen där det står för den nuvarande kungen av Frankrike att han inte är skallig, och (2) den läsning som förnekar att den nuvarande kungen av Frankrike är skallig. Den tidigare läsningen kräver att det finns en unik kung av Frankrike på listan över saker som inte är kala, medan den senare helt enkelt säger att det inte finns en unik kung av Frankrike som visas på listan över kala saker. Russell säger att det senare, men inte det förra, kan vara sant i en situation där det inte finns någon kung av Frankrike. Russell analyserar denna skillnad i fråga om omfattningen av den definitiva beskrivningen, men som vi kommer att se,vissa moderna logiker tenderar att tänka på denna situation som en fråga om negationsteckens omfattning. Således introducerar Russell en metod för att ange omfattningen av den definitiva beskrivningen.

För att se hur Russells omfattningsmetod fungerar för detta fall måste vi förstå definitionen som introducerar definitiva beskrivningar (dvs. den inverterade iota-operatören). Whitehead och Russell definierar:

(tag * {∗ 14 · 01} [(atoi x) phi x] sdot / psi (atoi x) phi x / ldot {=} colon (existerar b) colon / phi x / ldot { equiv_x} ldot x = b / colon / psi b / quad / Df)

Denna typ av definition kallas en kontextuell definition, som ska kontrasteras med uttryckliga definitioner. En uttrycklig definition av definitionsbeskrivningen måste se ut som följande:

[(atoi x) (phi x) = / kolon / ldots / quad / Df)

vilket skulle göra det möjligt för den definitiva beskrivningen att ersättas i vilket sammanhang som helst som definierar uttrycket fyller ellipsen. Däremot ∗ 14 · 01 visar hur en mening, i vilken det finns en beskrivning ((atoi x) (phi x)) i ett sammanhang (psi), kan ersättas med något annat mening (som involverar (phi) och (psi)) som är ekvivalent. För att utveckla en instans av denna definition, börja med följande exempel:

Exempel.

Den nuvarande kungen av Frankrike är skallig.

Att använda (PKFx) för att representera den propositionella funktionen att vara en nuvarande kung av Frankrike och (B) för att representera den propositionella funktionen att vara skallig, skulle Whitehead och Russell representera ovanstående påstående som:

[(atoi x) (PKFx)] sdot B (atoi x) (PKFx))

vilket med ∗ 14 · 01 betyder:

[(existerar b) kolon PKFx / ldot { equiv_x} ldot x = b / colon Bb)

Med ord finns det en enda en (b) som är en nuvarande kung av Frankrike och som är skald. I moderna symboler, med (b) icke-standardiserat, som en variabel, blir detta:

[(existerar b) (för alla x (PKFx / equiv x = b) amp Bb])

Nu återgår vi till exemplet som visar hur beskrivningens omfattning gör skillnad:

Exempel.

Den nuvarande kungen av Frankrike är inte skallig.

Det finns två alternativ för att representera denna mening.

[(atoi x) (Kx)] sdot / osim B (atoi x) (Kx))

och

(osim [(atoi x) (Kx)] sdot B (atoi x) (Kx))

I det första har beskrivningen "brett" räckvidd, och i det andra har beskrivningen "smalt" räckvidd. Russell säger att beskrivningen har "primär förekomst" i den förstnämnda och "sekundär förekomsten" i den senare. Med tanke på definitionen ∗ 14 · 01 expanderas de två PM-formlerna omedelbart ovan till primitiv notation som:

(start {align} (existerar b) colon PKFx / equiv_x x = b / colon / osim Bb \\ / osim (existerar b) colon PKFx / equiv_x x = b / colon Bb / end {align})

I modern notering blir dessa:

(börja {align} existerar x (forall y (PKFy / equiv y = x) amp / osim Bx] / \ osim / exist x (forall y (PKFy / equiv y = x) amp Bx] end {align})

Den förstnämnda säger att det finns ett och bara ett föremål som är en nuvarande kung av Frankrike och som inte är kala; dvs det finns exakt en närvarande kung av Frankrike och han är inte skallig. Denna läsning är falsk, med tanke på att det inte finns någon nuvarande kung av Frankrike. Den senare säger att det inte är så att det exakt finns en närvarande kung av Frankrike som är kala. Denna läsning är sant.

Även om Whitehead och Russell anser att beskrivningarna i dessa exempel är de uttryck som har räckvidd, föreslår ovanstående avläsningar i både utvidgad PM-notation och i modern notation varför vissa moderna logiker tar skillnaden i läsningar här för att vara en fråga om omfattningen av negationstecken.

9. Klasser

Circumflex "ˆ" över en variabel som föregår en formel används för att indikera en klass, så är (hat {x} psi x) klassen av saker (x) som är sådana att (psi x). I modern notation representerar vi denna klass som ({x / mid / psi x }), som läses: klassen (x) som är sådan att (x) har (psi). Kom ihåg att "(phi / hat {x})", med circumflex över en variabel efter predikatvariabeln, uttrycker den propositionella funktionen att vara en (x) så att (phi x). I typteorin för PM har klassen (hat {x} phi x) samma logiska typ som funktionen (phi / hat {x}). Detta gör det lämpligt att använda följande kontextuella definition, som tillåter en att eliminera klasstermen (hat {x} psi x) från händelser i sammanhanget (f):(tag * {∗ 20 · 01} f { hat {z} (psi z) } ldot {=} colon (exist / phi) colon / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} } quad / Df) eller i modern notation: [f {z / mid / psi z } = _ { df} existerar / phi (forall x (phi x / equiv / psi x) amp f (lambda x / phi x)]) där (phi) är en predikativ funktion av (x)

Observera att (f) måste tolkas som en funktion av högre ordning som förutsätts av funktionen (phi / bang / hat {z}). I den moderna notationen som används ovan måste språket vara ett typspråk där (lambda) uttryck är tillåtna i argumentläge. Som påpekades senare (Chwistek 1924, Gödel 1944 och Carnap 1947) borde det finnas räckviddsindikatorer för klassuttryck precis som för definitiva beskrivningar. Chwistek föreslog till exempel att kopiera notationen för bestämda beskrivningar och ersatte därmed ∗ 20 · 01 med:

[(hat {z} (psi z)] sdot f { hat {z} (psi z) } ldot {=} colon (exist / phi) colon / phi / bang x / ldot { equiv_x} ldot / psi x / colon f { phi / bang / hat {z} })

Samtida formaliseringar av uppsättningsteori använder något av dessa kontextuella definitioner, när de kräver en "existens" -sats av formen (existerar x / för alla y (y / i x / ekviv / ldots y / ldots)), i för att motivera införandet av en singel term ({y / mid / ldots y / ldots }). (Med tanke på lagen om förlängning följer det av (existerar x / för alla y (y / i x / equiv / ldots y / ldots)) att det finns en unik sådan uppsättning.) Förhållandet mellan medlemskap i klasser (in) definieras i PM genom att först definiera en liknande relation mellan objekt och propositioneringsfunktioner: (tag * {∗ 20 · 02} x / in (phi / bang / hat {z}) ldot {=} ldot / phi / bang x / quad / Df) eller, i modern notation: [x / in / lambda z / phi z = _ {df} phi x)

∗ 20 · 01 och ∗ 20 · 02 tillsammans används sedan för att definiera det mer bekanta begreppet medlemskap i en klass. Det formella uttrycket "(y / in { hat {z} (phi z) })" kan nu ses som ett sammanhang där klasstermen inträffar; det elimineras sedan genom den kontextuella definitionen ∗ 20 · 01. (Träning)

PM har också grekiska bokstäver för klasser: (alfa, / beta, / gamma), etc. Dessa kommer att visas som bundna (verkliga) variabler, uppenbara (fria) variabler och i abstrakta för propositionella funktioner sant för klasser, som i (phi / hat { alpha}). Endast definitioner av de bundna grekiska variablerna visas i texten, de andra är informellt definierade i introduktionen: (tag * {∗ 20 · 07} (alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) eller, i modern notation, (forall / alpha \, f / alpha = _ { df} forall / phi f {z / mid / phi z }) där (phi) är en predikativ funktion.

Således definieras universellt kvantifierade klassvariabler i termer av kvantifierare som sträcker sig över predikativa funktioner. Likaså för existentiell kvantifiering: (tag * {∗ 20 · 071} (existerar / alpha) sdot f / alpha / ldot {=} ldot (exist / phi) sdot f { hat {z} (phi / bang z) } quad / Df) eller, i modern notation, (exist / alpha \, f / alpha = _ {df} exist / phi f {z / mid / phi z }) där (phi) är en predikativ funktion.

Uttryck med en grekisk variabel till vänster om (in) definieras: (tag * {∗ 20 · 081} alpha / in / psi / bang / hat { alpha} ldot {=} ldot / psi / bang / alpha / quad / Df)

Dessa definitioner täcker inte alla möjliga förekomster av grekiska variabler. I introduktionen till PM föreslås ytterligare definitioner av (f / alpha) och (f / hat { alpha}), men det påpekas att definitionerna på något sätt är speciella och att de inte visas i arbetets kropp. Definitionen som beaktas för (f / hat { alpha}) är:

[f / hat { alpha} ldot {=} ldot (exist / psi) sdot / hat { phi} bang x / equiv_x / psi / bang x / sdot f { psi / bang / hatt {z} })

eller, i modern notation, (lambda / alpha \, f / alpha = _ {df} lambda / phi f {x / mid / phi x })

Det vill säga, (f / hat { alpha}) är ett uttryck som namnger funktionen som tar en funktion (phi) till ett förslag som säger (f) för klassen av (phi) s. (Den moderna notationen visar att vi i den föreslagna definitionen av (f / hat { alpha}) i PM-notation inte bör förvänta oss (alpha) i definienserna, eftersom det verkligen är en bunden variabel i (f / hat { alpha}); på liknande sätt bör vi inte förvänta oss (phi) i definiendummet eftersom det är en bunden variabel i definienserna.) Man kan också förvänta sig definitioner som ∗ 20 · 07 och ∗ 20 · 071 för att hålla i fall där den romerska bokstaven “(z)” ersätts av en grekisk bokstav. Definitionerna i PM är alltså inte fullständiga, men det är möjligt att gissa hur de skulle utvidgas till att täcka alla förekomster av grekiska bokstäver. Detta skulle slutföra projektet för klasserna utan klasser genom att visa hur alla tal om klasser kan reduceras till teorin om propositionella funktioner.

10. Prolegomena till kardinal aritmetik

Även om filosofistudenter vanligtvis inte läser mer än ∗ 20 i PM, är det faktiskt punkten där matematikens "konstruktion" verkligen börjar. ∗ 21 presenterar "General Theory of Relations" (teorin om relationer i förlängning; i samtida logik behandlas dessa som uppsättningar av ordnade par, efter Wiener). (hat {x} hat {y} psi (x, y)) är förhållandet mellan (x) och (y) som erhålls när (psi (x, y)) är sant. I modern notation representerar vi detta som uppsättningen av ordnade par ({ langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) }), som läses: uppsättningen av ordnade par (langle x, y / rangle) som är sådana att (x) bär relationen (psi) till (y).

Följande kontextuell definition (∗ 21 · 01) tillåter en att eliminera relationsterm (hat {x} hat {y} psi (x, y)) från händelser i sammanhanget (f):

[f { hat {x} hat {y} psi (x, y) } ldot {=} colondot (exist / phi) colon / phi / bang (x, y) ldot { equiv_ {x, y}} ldot / psi (x, x) colon f { phi / bang (hat {u}, / hat {v}) } quad / Df)

eller i modern notation:

[f { langle x, y / rangle / mid / psi (x, y) } = _ {df} existerar / phi (allall xy (phi (x, y) equiv / psi (x, y)) amp f (lambda u / lambda v / phi (u, v))])

där (phi) är en predikativ funktion av (u) och (v).

Principia analyserar inte relationer (eller matematiska funktioner) i termer av uppsättningar av ordnade par utan tänker snarare på föreställningsfunktionen som primitiv och definierar relationer och funktioner i termer av dem. De stora bokstäverna ({R}, {S}) och ({T}) osv. Används efter ∗ 21 för att stå för dessa "relationer i förlängning" och skiljer sig från propositionella funktioner genom att vara skriven mellan argumenten. Således är det (psi (x, y)) med argument efter den propositionsfunktionssymbolen, men (xRy). Från ∗ 21 funktioner “(phi) och (psi)”, etc., försvinner och endast relationer i förlängning, ({R}), ({S}) och ({T }) etc. visas på Principias sidor. Även om propositioneringsfunktioner kan vara sanna för samma objekt men ändå inte vara identiska, är inga två relationer i förlängning sant för samma objekt. Principias logik är alltså "extensional", från sidan 200 i volym I, till slutet i bind III.

∗ 22 i”Calculus of Classes” presenterar elementäruppsättningsteorin för korsningar, fackföreningar och den tomma uppsättningen som ofta är all uppsättningsteori som används i elementär matematik av andra slag. Studenten som letar efter uppsättningsteorin för Principia för att jämföra den med, säger Zermelo-Fraenkel-systemet, kommer att behöva titta på olika nummer senare i texten. Valet Axiom definieras på ∗ 88 som "Multiplikativ axiom" och en version av Axiom of Infinity visas på ∗ 120 i volym II som "Infin axe". Uppsättningsteorin för Principia kommer närmast Zermelos axiomer från 1908 bland de olika kända axiomsystemen, vilket innebär att den saknar Axiom of Foundation och Axiom of Replacement of the now standard Zermelo-Fraenkel axioms of set theory. Systemet med Principia skiljer sig viktigt från Zermelos genom att det formuleras i den enkla typteorin. Som ett resultat finns det till exempel inga kvantifierare som sträcker sig över alla uppsättningar, och det finns en uppsättning av alla saker (för varje typ).

∗ 30 om “Beskrivande funktioner” ger Whitehead och Russells analys av matematiska funktioner när det gäller relationer och definitiva beskrivningar. Frege hade använt begreppet funktion, i matematisk mening, som en grundläggande uppfattning i sitt logiska system. Således är ett Fregean "koncept" en funktion från objekt som argument till en av de två "sanningsvärdena" som dess värden. Ett koncept ger värdet "Sant" för varje objekt som konceptet gäller och "Falskt" för alla andra. Russell, från 1904, långt innan Principia skrev hade föredragit att analysera funktioner i termer av förhållandet mellan varje argument och värde, och begreppet "unikhet". Med modern symbolik skulle hans åsikt uttryckas på följande sätt. För varje funktion (lambda xf (x)) kommer det att finnas någon relation (i förlängning) (R),så att värdet på funktionen för ett argument (a), det vill säga (f (a)), kommer att vara den unika individen som bär relationen (R) till (a). (Numera reducerar vi funktioner till en binär relation mellan argumentet i första hand och värde på andra plats.) Resultatet är att det inte finns några funktionssymboler i Principia. Som Whitehead och Russell säger, kommer de kända matematiska uttryck som "(sin / pi / 2)" att analyseras med en relation och en bestämd beskrivning, som en "beskrivande funktion". Den "beskrivande funktionen", (R'y) ((R) för (y)), definieras enligt följande:) Resultatet är att det inte finns några funktionssymboler i Principia. Som Whitehead och Russell säger kommer de kända matematiska uttryck som "(sin / pi / 2)" att analyseras med en relation och en bestämd beskrivning, som en "beskrivande funktion". Den "beskrivande funktionen", (R'y) ((R) för (y)), definieras enligt följande:) Resultatet är att det inte finns några funktionssymboler i Principia. Som Whitehead och Russell säger kommer de kända matematiska uttryck som "(sin / pi / 2)" att analyseras med en relation och en bestämd beskrivning, som en "beskrivande funktion". Den "beskrivande funktionen", (R'y) ((R) för (y)), definieras enligt följande:

(tag * {∗ 30 · 01} R'y = (atoi x) xRy / quad / Df)

Vi avslutar detta avsnitt genom att presentera ett antal framstående exempel från dessa senare nummer nedan, med deras intuitiva betydelse, placering i PM, definition i PM och en modern ekvivalent. (Vissa av dessa siffror är teorier snarare än definitioner.) Observera dock att den moderna ekvivalenten ibland logiskt skiljer sig från den ursprungliga versionen i PM, till exempel genom att behandla relationer som uppsättningar av ordnade par osv. of Principia, WV Quine (1951) invänder mot komplexiteten och till och med redundansen för mycket av denna symbolik. Dessa formler kan dock utarbetas med en stegvis tillämpning av definitionerna.

För varje formelnummer presenterar vi informationen i följande format:

PM-symbol

(Intuitiv betydelse) [Plats]

PM Definition

Modern Equivalent

(alpha / subset / beta)

((alpha) är en delmängd av (beta)) [∗ 22 · 01]

(x / in / alpha / ldot { supset_x} ldot x / in / beta)

(alpha / subseteq / beta)

(alpha / cap / beta)

(skärningspunkten mellan (alpha) och (beta)) [∗ 22 · 02]

(hat {x} (x / in / alpha / sdot x / in / beta))

(alfa / cap / beta)

(alpha / cup / beta)

(sammanslutningen av (alpha) och (beta)) [∗ 22 · 03]

(hat {x} (x / in / alpha / lor x / in / beta))

(alfa / kopp / beta)

(-\alfa)

(komplementet till (alpha)) [∗ 22 · 04]

(hat {x} (x / osim / in / alpha)) [dvs (hat {x} osim (x / i / alpha)) med ∗ 20 · 06]

({x / mid x / not / in / alpha })

(alpha - / beta)

((alpha) minus (beta)) [∗ 22 · 05]

(alpha / cap - / beta)

({x / mid x / in / alpha / amp x / not / i / beta })

(Mathrm {V})

(den universella klassen) [∗ 24 · 01]

(hat {x} (x) = (x))

(mathrm {V}) eller ({x / mid x = x })

(Lambda)

(den tomma klassen) [∗ 24 · 02]

(- / mathrm {V})

(varnothing)

(R'y)

((R) för (y)) (en beskrivande funktion) [∗ 30 · 01]

((atoi x) (xRy))

(f ^ {- 1} (y)), där (f = { langle x, y / rangle / mid Rxy })

(Breve {R})

(konversationen av (R)) [∗ 31 · 02]

(hat {x} hat {z} (zRx))

({ langle x, z / rangle / mid Rzx })

(Overrightarrow {R} 'y)

(R-föregångarna till (y)) [∗ 32 · 01]

(hat {x} (xRy))

({x / mid Rxy })

(Overleftarrow {R} 'x)

(R-efterträdarna till (x)) [∗ 32 · 02]

(hat {z} (xRz))

({z / mid Rxz })

(D'R)

(domänen till (R)) [∗ 33 · 11]

(hat {x} {(existerar y) sdot xRy })

({x / mid / exist yRxy })

(Backd'R)

(intervallet (R)) [∗ 33 · 111]

(hat {z} {(existerar x) sdot xR z })

({z / mid / exist x Rxz })

(C'R)

(fältet (R)) [∗ 33 · 112]

(hat {x} {(finns y): xRy / ldot { lor} ldot yRx })

({x / mitten / finns y (xRy / lor yRx) })

(R / mitten av S)

(den relativa produkten från (R) och (S)) [∗ 34 · 01]

(hat {x} hat {z} {(existerar y) sdot xRy / sdot ySz })

({ langle x, z / rangle / mid / exist y (xRy / amp ySz) })

(R / restriktion / beta)

(begränsningen av (R) till (beta)) [∗ 35 · 02]

(hat {x} hat {z} [xRz / sdot z / in / beta])

({ langle x, z / rangle / mid z / in / beta / amp Rxz })

(alpha / uparrow / beta)

(den kartesiska produkten från (alpha) och (beta)) [∗ 35 · 04]

(hat {x} hat {z} [x / in / alpha / sdot z / in / beta)]

(alpha X / beta), eller ({ langle x, z / rangle / mid x / in / alpha / amp z / in / beta })

(R '' / beta)

(projektionen av (beta) av (R)) [∗ 37 · 01]

(hat {x} {(existerar y) sdot y / i / beta / sdot x Ry })

({x / mid / existerar y (y / i / beta / amp Rxy) })

(Iota'x)

(singleton av x) [∗ 51 · 11]

(hat {z} (z = x))

({x })

(Mathbf {1})

(kardinalnumret 1) [∗ 52 · 01]

(hat { alpha} {(existerar x) sdot x = / iota'x })

({x / mid / existerar y \; (x = {y }) }) (klassen för alla singletoner)

(Mathbf {2})

(kardinalnumret 2) [∗ 54 · 02]

(hat { alpha} {(existerar x, y) sdot x / neq y / sdot / alpha = / iota'x / cup / iota'y })

({x / mid / existerar y / existerar z (y / neq z / amp x = {y } cup {z }) }) (klassen för alla par)

(x / nedåtpilen y)

(ordinära paret (x) och (y)) [∗ 55 · 01]

(iota'x / uppåt / iota'y)

(langle x, y / rangle) (beställt par (langle x, y / rangle))

Notera: Paperbackens förkortade utgåva av PM till ∗ 56 går bara så långt, så de återstående definitionerna har bara varit tillgängliga för dem som har tillgång till de fullständiga tre volymerna av PM.
(alpha / högermark / beta)

[∗ 70 · 01]

(hat {R} (överskridande {R} “\ backd 'R / subset / alpha / sdot / overleftarrow {R}“D'R / subset / beta)

(f: / alpha / högermark / beta) (funktionerna (f) från (alpha) till (beta))

(alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta)

(klassen för likhetsförhållanden mellan (alpha) och (beta)) [∗ 73 · 01]

(1 / högermark 1 / cap / overleftarrow {D} '\ alpha / cap / overleftarrow { backd } '\ beta)

({f / mid f: / alpha / stackrel {1-1} { longrightarrow} beta })

(Mathrm {sm})

(likhetsförhållandet) [∗ 73 · 02]

(hat { alpha} hat { beta} (existerar! / alpha / mathbin { overline { mathrm {sm}}} beta))

(alpha / approx / beta)

(R _ *)

(förfäderna till (R)) [∗ 90 · 01]

(hat {x} hat {y} {x / i C 'R / colon / breve {R} “\ mu / subset / mu / sdot x / in / mu / ldot { supset _ { mu}} ldot y / in / mu })

Nu skrivet (R ^ *) följer Freges definition: (y) är i allt the (R) - ärftliga klasser (x) är i.

11. Aritmetik i volym II

Volym II av Principia Mathematica börjar med del III, "Cardinal Arithmetic". Föreställningarna om kardinalnummer utvecklas i full generalitet och sträcker sig till oändliga kardinaler. Följaktligen introduceras teorin om naturliga siffror, som i PM kallas "induktiva kardinaler" med en serie definitioner av speciella fall av begrepp som först introduceras i en allmän form som gäller för alla siffror eller klasser. Till exempel tillägg av naturliga nummer, som i det berömda beviset att 1 + 1 = 2 i ∗ 110 · 04 bevisas med det speciella fallet med tillägg av klasser som gäller kardinalnummer, '(+ _ c)'. Dessa definitioner, avslutade med utseendet på Axiom of Infinity på ∗ 120 · 03, kommer att avsluta denna introduktion till symboliken i Principia Mathematica.

(Mathrm {N_c})

(kardinalnumren) [∗ 100 · 01]

(överskridande { mathrm {sm}})

Detta är faktiskt förhållandet mellan en klass och dess kardinalnummer.

({x / mid / forall y (y / i x / leftrightarrow / forall z / forall wz, w / in y / leftrightarrow z / approx w)) })

Kardinalnummer är klasser av likvärdiga (liknande) klasser.

(Mathbf {0})

(kardinalnumret 0) [∗ 101 · 01]

(0 = / mathrm {N_c} '\ Lambda)

({ varnothing })

Klassen för alla klasser som är lika med den tomma uppsättningen är bara singleton som innehåller den tomma uppsättningen.

(alpha + / beta)

(den aritmetiska summan av (alpha) och (beta)) [∗ 110 · 01]

(downarrow (Lambda / cap / beta) “\ iota“\ alpha / cup (Lambda / cap / alpha) downarrow “\ iota“\ beta))

Detta är föreningen av (alpha) och (beta) efter att de görs osammanhängande genom att para in varje element i (beta) med ({ alpha }) och varje element i (alpha) med ({ beta }). Klasserna (alpha) och (beta) är korsade med den tomma klassen, (Lambda) för att justera typen av element i summan.

((beta / gånger { alpha }) cup (alpha / times { beta }))

(mu + _c / nu)

(den kardinala summan av (mu) och (nu)) [∗ 110 · 02]

(hat { xi} {(finns / alfa, / beta) sdot / mu = / mathrm {N_0 c} '\ alpha / sdot / nu = / mathrm {N_0 c}' / beta / sdot / xi \, / mathrm {sm} (alpha + / beta) })

Kardinaltillägg är den aritmetiska summan av "homogena kardinaler", kardinaler av enhetlig typ, till vilka (alfa) och (beta) är relaterade till (mathrm {N_0 c}) (själv definierat [∗ 103 · 01]).

({x / mid x / approx (beta / times { alpha }) cup (alpha / times { beta }) })

Läsaren kan nu uppskatta varför detta elementära teorem inte bevisas förrän sidan 83 i Volym II i PM:

(tag * {∗ 110 · 643} 1 + _c 1 = 2)

Whitehead och Russell påpekar att”Ovanstående förslag är ibland användbart. Det används minst tre gånger, i …”. Detta skämt påminner oss om att teorin om naturliga tal, så central i Freges verk, framträder i PM som endast ett speciellt fall av en allmän teori om kardinal- och ordinalnummer och ännu mer allmänna klasser av isomorfa strukturer.

Denna undersökning av notationen i PM avslutas med definitionen av de naturliga siffrorna och ett uttalande om Axiom of Infinity, som tillåter beviset för de andra axiomerna i Peano Arithmetic som, återigen, speciella fall av mer allmänna uppfattningar.

NC-indukt

(de induktiva kardinalerna) [∗ 120 · 01]

(hat { alpha} { alpha ({+ _ c} 1) _ * 0 })

({x / mid 0 S ^ * x })

De induktiva kardinalerna är de "naturliga siffrorna", är 0 och alla de kardinalnummer som är relaterade till 0 av förfäderna till "efterföljarelationen" (S), där (xSy) bara för fall (y = x +1).

Infin axe

(Axiom of Infinity) [∗ 120 · 03]

(alpha / in / text {NC induct} sdot / supset _ { alpha} sdot / existerar! / alpha)

(för alla y ({x / mid 0S ^ * x } supset y / neq / varnothing))

Axiom of Infinity hävdar att alla induktiva kardinaler är tomma. (Kom ihåg att 0 = ({ varnothing }), och så att 0 inte är tomt.) Axiom of Infinity är inte ett "primitivt förslag" utan istället för att listas som en "hypotes" när den används, det vill säga som föregångare för en villkorad, där den följd kommer att sägas bero på axiom. Tekniskt sett är det inte ett axiom av PM eftersom [∗ 120 · 03] är en definition, så detta är bara ytterligare notering i PM!

12. Slutsats

Definitionerna upp till ∗ 120 · 03 utgör endast ungefär hälften av definitionerna i PM. De sista åtta sidorna (667–674) i volym I i den andra upplagan (1925) består av en komplett”List of Definitions” från alla tre volymerna. Korrespondens i Bertrand Russell Archive antyder att denna lista kan ha sammanställts av Dorothy Wrinch. Listan kan användas för att spåra alla de definierade uttryck för PM tillbaka till notationen som diskuteras i det här inlägget.

Bibliografi

  • Carnap, R., 1947, Meaning and Ncessity, Chicago: University of Chicago Press.
  • Church, A., 1976, "Jämförelse av Russells upplösning av de semantiska antinomierna med Tarski", Journal of Symbolic Logic, 41: 747–60.
  • Chwistek, L., 1924, "The Theory of Constructive Types", Annales de la Société Polonaise de Mathématique (Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego), II: 9–48.
  • Feys, R. och Fitch, FB, 1969, Dictionary of Symbols of Mathematical Logic, Amsterdam: North Holland.
  • Gödel, K., 1944, "Russells matematiska logik", i PA Schilpp, red., The Philosophy of Bertrand Russell, LaSalle: Open Court, 125–153.
  • Landini, G., 1998, Russells Hidden Substitutional Theory, New York och Oxford: Oxford University Press.
  • Linsky, B., 1999, Russells Metaphysical Logic, Stanford: CSLI Publications.
  • ––– 2009, “Från beskrivande funktioner till uppsättningar av beställda par”, i Reduktion - Abstraktion - Analys, A. Hieke och H. Leitgeb (red.), Ontos: München, 259–272.
  • ––– 2011, The Evolution of Principia Mathematica: Bertrand Russells manuskript och anteckningar för andra upplagan, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Quine, WVO, 1951, "Whitehead and the Rise of Modern Logic", The Philosophy of Alfred North Whitehead, ed. PA Schilpp, 2: a upplagan, New York: Tudor Publishing, 127–163.
  • Russell, B., 1905, "On Denoting", Mind (NS), 14: 530–538.
  • Turing, AM, 1942,”Användningen av prickar som parentes i kyrkans system”, Journal of Symbolic Logic, 7: 146–156.
  • Whitehead, AN och B. Russell, [PM], Principia Mathematica, Cambridge: Cambridge University Press, 1910–13, 2: a upplagan, 1925–27.
  • Whitehead, AN och B. Russell, 1927, Principia Mathematica till ∗ 56, Cambridge: Cambridge University Press.

Akademiska verktyg

sep man ikon
sep man ikon
Hur man citerar det här inlägget.
sep man ikon
sep man ikon
Förhandsgranska PDF-versionen av det här inlägget på SEP-samhällets vänner.
ino-ikon
ino-ikon
Slå upp det här ämnet vid Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
phil papper ikon
phil papper ikon
Förbättrad bibliografi för detta inlägg på PhilPapers, med länkar till dess databas.

Andra internetresurser

  • Principia Mathematica, reproducerad i University of Michigan Historical Math Collection.
  • Russells “On Denoting”, från omtrycket i Logic and Knowledge (R. Marsh, red., 1956) av den ursprungliga artikeln i Mind 1905, skrivs in i HTML av Cosma Shalizi (Center for the Study of Complex Systems, U. Michigan)

Rekommenderas: